Analizinde diferansiyel denklemler kullanılan alanlara örnekler

... konulu sunumlar: "Analizinde diferansiyel denklemler kullanılan alanlara örnekler"— Sunum transkripti:

1 Analizinde diferansiyel denklemler kullanılan alanlara örnekler

2 Diferansiyel Denklemlere Giriş ve Temel Kavramlar
İçinde bazı türevler içeren cebirsel denkleme diferansiyel denklem denir. y = y(x) fonksiyonunun türevlerini içeren bir eşitliktir. Bu eşitlikte türevlerle beraber y = y(x) fonksiyonunun kendisi, x in bilinen fonksiyonları ve sabitler de bulunabilir. Bir diferansiyel denklem; Yada daha genel olarak Şeklinde yazılır. Bu ifade aşağıdaki biçimde de yazılabilir.

3 Türevler denildiğinde I. Mertebeden (,) , II. Mertebeden (,,) ,
III. Mertebeden (,,,) , …. n. Mertebeden (n), türevler kastedilmektedir. Tanım: Denklemdeki en yüksek mertebeden türevin mertebesine diferansiyel denklemin mertebesi denir. 1. Mertebeden Diferansiyel Denklem ( , ) 1. Mertebeden diferansiyel denk. 1. Mertebeden diferansiyel denk.

4 1. Mertebeden diferansiyel denk.
2. Mertebeden Diferansiyel Denklem ( ,, ) 2. Mertebeden diferansiyel denk. ( ,, ) 2. Mertebeden diferansiyel denk. Tanım: Bir diferansiyel denklemde bulunan en yüksel türevin derecesine diferansiyel denklemin derecesi denir 3. Dereceden 2.Mertebeden 3. Mertebeden, 1.Dereceden

5 y, y', y'' Yukarıdaki denklemlerde
fonksiyonları x değişkeninin fonksiyonlarıdır. Genellikle, denklem yazılımında y, y', y'' altındaki x değişkeni yazılmaz Tanım: Bir diferansiyel denklemde 1 veya daha fazla sayıda bağımlı değişken olmasına rağmen, sadece 1 bağımsız değişken mevcutsa, buna basit yada adi diferansiyel denklem denir Yukarıda verilen iki örnekte y bağımlı değişkendir. t ve x ise sırasıyla bağımsız değişkenlerdir.

6 Basit bir diferansiyel denklemin formu aşağıda verildiği biçimdedir:
Genel Çözümü ise aşağıdaki şekildedir :

7 Tanım: İçerisinde bir ya da daha fazla bağımlı değişkenin, bir ya da daha çok bağımsız değişkene göre türevleri bulunan denkleme ise Kısmi Diferansiyel Denklem (KDD) diyeceğiz. Diferansiyel denklemler, lineer olup olmadıklarına göre de sınıflandırılırlar

8 Tanım: Bir diferansiyel denklemdeki bağımlı değişken ve tüm türevleri birinci dereceden ise, diferansiyel denkleme lineer diferansiyel denklem denir. Bir diferansiyel denklem, bağımlı değişkeninin herhangi biri türevinin ikinci veya daha yüksek dereceden kuvvetlerini içeriyor ise yada bağımlı değişkeninin kendisi ve çarpımını içeriyorsa , diferansiyel denkleme lineer olmayan diferansiyel denklem olarak ifade edilir. Dolayısıyla içerisinde y3 ,( y′′ )2 , yy′, y′y′′′, Siny, ey gibi terimler bulunan denklemler lineer değildir. Bunun yanında denklem x2, xy′′, Sinx, lnx ve türünden ifadeler içerebilir.

9 Örnek olarak veya veya veya

10 Tanım: y = f(x) fonksiyonu verilsin
Tanım: y = f(x) fonksiyonu verilsin. Eğer bu fonksiyon ve onun y' = f'(x), y'' = f"(x), ... türevlerini denklemde yazdığımızda denklem x’ e göre bir özdeşliğe dönüşüyorsa, o zaman y = f(x) fonksiyonuna denklemin çözümü denir. Bir diferansiyel denklemi çözmek demek, türevleri ile birlikte verilen diferansiyel denklemde yerlerine konulduğu zaman, denklemi özdeş olarak sağlayan bütün fonksiyonları bulmak demektir. Diferansiyel denklemlerin çözümü genel, özel ve tekil olmak üzere üç türdür. n. mertebeden bir diferansiyel denklemin genel çözümü, sayıca daha aşağı düşürülemeyen n tane keyfi sabiti içerir. Özel çözümler, genel çözümlerden sözü edilen sabitlere özel değerler vermek suretiyle elde edilir. Bunlardan başka bazı diferansiyel denklemlerin, bu denklemi sağlayan, fakat genel çözümlerden bulunamayan bir veya birkaç çözümü olabilir ki bu çözümlere tekil çözümler denir.

11 y = ex fonksiyonu y' - y = 0 denkleminin çözümüdür. Çünkü
Örneğin y = ex fonksiyonu y' - y = 0 denkleminin çözümüdür. Çünkü y' = (ex)' = ex olduğundan denklemde y yerine ex ve y' yerine de ex yazarsak ex - ex = 0 gibi bir özdeşlik elde ederiz. Aynı zamanda C keyfi sabit olmak üzere y = Cex fonksiyonunun da çözüm olduğunu görmek zor değildir. Keyfi sabit (veya sabitler) içeren çözümlere genel çözümler denir. y' - y = 0 denkleminin genel çözümü 1. mertebeden diferansiyel denklemlerin genel çözümleri bir keyfi sabit, 2. mertebeden denklemlerin genel çözümleri ise iki keyfi sabit içerir.

12 ÖRNEK denklemi verilmiştir. Bu denklemin genel çözümünün olduğunu gösterelim ÇÖZÜM denkleminin türevini alırsak (Bölümün türevi)

13 y'' + 4y = 0 denkleminin genel çözümünün y = C1Sin2x + C2Cos2x
y ve y’ değerlerini eşitliğinde yerine yazarsak özdeşliği elde ediliyor. Buna göre C keyfi sabitine bağlı fonksiyonlar ailesi genel çözümdür. ÖRNEK y'' + 4y = 0 denkleminin genel çözümünün y = C1Sin2x + C2Cos2x Burada C1 ve C2 keyfi sabitlerdir olduğunu gösterelim.

14 y = C1 Sin2x + C2 Cos2x fonksiyonunun türevlerini alıp
ÇÖZÜM y = C1 Sin2x + C2 Cos2x fonksiyonunun türevlerini alıp y'' + 4y = 0 denklemde yerine yazalım. y' = 2C1 Cos2x - 2C2 Sin2x y'' = -4C1 Sin2x - 4C2 Cos2x y ve y'' değerlerini denklemde yerlerine yazarsak -4C1 Sin2x - 4C2 Cos2x + 4(C1 Sin2x + C2 Cos2x) = 0=0 özdeşliği elde edilir . Böylece iki keyfi C1 ve C2 sabitlerine bağlı y = C1 Sin2x + C2 Cos2x fonksiyonu C1 ve C2 sabitlerinin her bir değerinde deklemi sağlamış olur ve dolayısıyla genel çözümdür.

15 Genel çözümden, keyfi sabite (veya sabitlere) değerler verilmesiyle elde edilen çözümlere denklemin özel çözümleri denir. Örneğin; diferansiyel denkleminin genel çözümü Olarak bulunmuştu. Özel çözümleri ise ….. olarak elde edilir.

16 y = x y = x y’ = 1  1(x- x) + x(x) - x2 = 0 = 0 Tekil Çözüme Örnek
diferansiyel denkleminin genel çözümü olarak bulunur. Aynı zamanda bu denklemin, genel çözümünde sabite değer verilerek elde edilemeyen y = x y = x çözümü de bulunmaktadır. denkleminde her iki tarafın türevini alıp yukarıdaki diferansiyel denklemde yerine yazarsak y’ = 1  1(x- x) + x(x) - x2 = 0 = 0 Buna göre y = x tekil çözümdür.

17 G(x,y) = 0 x2 + y2 = 3 yy' + x = 0 x2 + y2 = 3 yy' + x = 0 x2 + y2 = 3
Tanım: x ile y arasındaki bir G(x,y) = 0 bağıntısı diferansiyel denklemi sağlıyorsa o zaman bu bağıntıya denklemin kapalı çözümü denir. Örneğin x2 + y2 = 3 bağıntısı yy' + x = 0 diferansiyel denkleminin kapalı çözümüdür. Çünkü x2 + y2 = 3 denkleminin türevini alırsak: elde edilir. Bu sonuç, yy' + x = 0 diferansiyel denkleminin kapalı çözümünün x2 + y2 = 3 denklemi olduğunu gösterir.

18 Ör. Aşağıda verilen diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz.
C : İntegral Sabiti

19 ( ) Örnek: Hareket Verilen: Bulunacak: m ? 8 = s
Bir yarışçı durma pozisyonundan ivmelenerek hızını artırmaktadır. Skalar hızı saniyede 40t m’dir. Araç 8 saniyede ne kadar mesafe gidecektir? s(t) : metre cinsinden mesafe t : saniye cinsinden zaman Verilen: ( ) m ? 8 = s Bulunacak:

20 ( ) Çözüm: m 1280 8 20 = s Başlangıç şartını uygula: s(0) = 0
Araç 8 saniyede 1280 metre yol kateder.

21 Ör: Aşağıda verilen diferansiyel denklemin özel çözümünü bulunuz.
Başlangıç şartını uygula: y(0) = 1

22 Ör. Aşağıda verilen diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz.
C : İntegral Sabiti

23 1.Mertebeden Diferansiyel Denklemler
1.1.Değişkenlerine Ayrılabilen Diferansiyel Denklemler M(x) N(y) dx + P(x) Q(y) dy = 0 Tanım: şeklindeki diferansiyel denklemlere değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklemler denir. x ‘ li terimler denklemin bir tarafına y li terimler ise denklemin diğer tarafına toplanırsa M(x) N(y) dx =- P(x) Q(y) dy

24 Genel bir tanımlama olarak değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklemler
olarak da tanımlanır ve Genel Çözümü: Örnek: diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz.  

25 Sağlamasını yaparsak:
türevini alalım elde edilir. olarak elde edilir

26    Ör. diferansiyel denklemini çözünüz Bileşenlerine ayıralım:
kuralına uygun hale getirelim  

27    Ör. diferansiyel denklemini çözünüz
diferansiyel denklemini değişkenlerine ayıralım:   

28   diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz Ör.
açılımını dikkate alırsak:   Aynı şekilde:

29   

30 Ör. dif. denklemini çözünüz     

31 Çözüm: a.) Ör: Diferansiyel denkleminin. a. Genel çözümü bulunuz.
b. y(0) = 2 başlangıç şartını sağlayan özel çözümü bulunuz. Çözüm: a.) Adım 1 — Değişkenlerine ayıralım: Adım 2 — Her iki tarafı integre edelim: Adım 3 — Bağımsız değişken için denklemi çözünüz:

32 Bu genel çözümdür. b.) Başlangıç (veya sınır) şartlarını uygulayınız. Yani x için 0 ve y için 2 değerlerini genel çözümde yerlerine giriniz. Böylece aradığımız özel çözüm

33 Alıştırma: Aşağıda verilen diferansiyel denklemin genel çözümünü bulunuz.
) ( C e A Ax y =

34 Örnek: Yükselen Sağlık Giderleri
yılları arasında sağlık giderleri için yapılan harcamaların sürekli olarak yılda 3.7% oranında arttığı görülmüştür yılından itibaren sağlık giderleri y ’yi t zamanının bir fonksiyonu olarak bulunuz. Verilenler: y(t) : dolar olarak sağlık gideri t : 2000 yılından itibaren zaman Bulunuz:

35 Çözüm: Sağlık gideri

36 (x,y)=(1, 2) kullanılarak C = 0 bulunur.
Örnek. Aşağıda verilen dif. denklem için özel çözüm bulunuz. (x,y)=(1, 2) kullanılarak C = 0 bulunur.

37 (x,y)=(1, 1) kullanılarak C = 1 bulunur.
Örnek. Aşağıda verilen dif. denklem için özel çözümü bulunuz. (x,y)=(1, 1) kullanılarak C = 1 bulunur. Dikkat: y(1) = 1 > 0

38 L kalınlığındaki ve içinde ısı kaynağı olmayan bir duvardan transfer olan ısıyı hesaplamak için gerekli diferansiyel denklemi oluşturarak duvardaki sıcaklık dağılımını veren bağıntıyı elde ediniz. ÖRNEK :

39 L kalınlığındaki bir duvarda olan ısı akısı q ise:
Yüzey Zaman Sıcaklık Duvar kalınlığı Malzemenin ısı iletkenliği k Isı Akıs

40 Böyle bir denklemi doğrudan yazman mümkün değildir. Aşağıdaki yorumlar
çıkartılabilir: Levhanın kalınlığı arttıkça ısı iletim miktarı azalır. Fakat bunun oranının Mertebesi belli değildir. 2. Termodinamiğin 2. yasasına göre, q akışının olabilmesi için bir sıcaklık farkının Olması gerekir. Isı düşük sıcaklıklı ortamdan yüksek sıcaklıklı ortama gerçekleşir. n: orantı derecesi 3. Isı iletiminde, ısı iletiminin gerçekleştiği malzemenin iletkenlik özelliği “ Isı iletim katsayısı” k ile doğru orantılıdır.

41 4. A ısı akış yoğunluğuna dik olan yüzey olup ısı akışı ile doğru orantılıdır.
Bu orantı tanımlamaları birlikte değerlendirilirse: Birim yüzey için orantı katsayısı k alınarak, orantı eşitliği elde edilir

42 A ve t de dikkate alındığında:
i : Bölüm sayısı Buna göre: A ve t de dikkate alındığında: Birim yüzey ve bir anlık durum için

43   Duvar malzemesinin ısı geçirgenlik (ısı iletim) katsayısı
denkleminden hesaplanır:  Sınır şartları kullanılırsa: 

44  x = L T= T2 T(x) q L = -k T2 + kT1

45 Alıştırma: Satış  Aylık yeşil çay satışınız ayda 5% oranında düşüş göstermektedir. Şu anda aylık satışınız 1000 adet ise satışınızda meydana gelen değişikliği gösteren diferansiyel denklemi bulunuz ve aylık satışlarınızı tahmin etmek için çözünüz. Verilenler: s(t), t ay kadar sonraki aylık satıştır. t, ay olarak zamandır. t=0 iken s=1000’ dir. Bulunuz:

46 Çözüm: Başlangıç şartlarını uygulayın: s(0) = 1000 Aylık satış

47 Örnek: Newton’un Soğutma Kanunu
Newton’un soğutma kanunu sıcak bir cismin kendi sıcaklığı ile çevre sıcaklığı arasındaki farkla orantılı bir hızda soğuyacağını belirtmektedir. Eğer 170°F sıcaklıktaki bir kahve bardağı 70°F sıcaklıktaki bir odaya bırakılırsa zamana bağlı olarak kahvenin sıcaklığı nasıl değişecektir? Verilenler: H(t) ºF cinsinden kahvenin sıcaklığıdır. t dakika cinsinden zamandır. Ayrıca H(0)=170 ºF ‘dır. Bulunuz:

48 Çözüm: Başlangıç şartlarını uygula., H(0) = 170, A = 100
Kahve sıcaklığı

49 Alıştırma: Verilen: Bulunuz:
Isıtma  Newton’un ısıtma kanunu aynen soğutma kanunu gibidir. Sıcaklıktaki değişimin hızı cismin sıcaklığı ile çevre sıcaklığı arasındaki farkla orantılıdır. Farzedin ki 20F sıcaklıktaki bir pasta 350F sıcaklıktaki bir fırına konmakta. 15 dakika sonra pastanın sıcaklığı 80F ’a yükselmekte. Zamanın fonksiyonu olarak pastanın sıcaklığını veren denklemi bulunuz. Verilen: Bulunuz:

50 Çözüm: veya

51 Çözüm: Başlangıç şartlarını uygulayın, H(0) = 20,
Sınır şartlarını uygulayın, H(15) = 80, Böylece, pastanın sıcaklığı,

52 Alıştırma Yatayla = 370 açısı yapan bir eğik düzlem üzerinde bulunan bir cisim, eğik düzlem boyunca ve yukarı doğru vo=12 m/sn’lik bir ilk hızla fırlatılıyor. Cisim ile eğik düzlem arasındaki sürtünme katsayısı  = 0,25 olarak biliniyor. Buna göre; a) Cisim eğik düzlem boyunca hangi uzaklığa kadar gidebilir? b) Cisim atıldığı noktaya geri döndüğünde hızı ne olur? Not: yerçekimi ivmesi g= 10 m/sn2 alınacaktır)

53

54 Çözüm Yukarıdaki şekillerden de görülebileceği gibi, cisim fırlatıldıktan t sn sonra eğik düzlem üzerinde x ekseni üzerinde bir P noktasında v hızı ile hareket halinde olacaktır. Cisim ağırlığının eğik düzlem doğrultusunda ve eğik düzleme dik doğrultudaki bileşenleri ve sürtünme kuvveti göz önüne alınırsa;

55

56 Newton yasası da dikkate alınarak, cismin hareket denklemi, diğer bir ifade ile cismin hareketinin diferansiyel denklemi ivme Genel çözüm özel çözüm

57 alınan yol Genel çözüm özel çözüm elde edilir.

58 v = 0  cismin durmasına kadar geçen zaman bulunur.
denklemleri, hareketle ilgili gereken bilgiyi içerdiğine göre; problemde verilen değerler yerine yazılarak v = 0  cismin durmasına kadar geçen zaman bulunur. bulunur.

59 problemde verilen değerler yerine yazılarak
bu bağıntıda t yerine yazılırsa; a) alınan yol

60 b) alınan yol şeklinde yazılır. Geri dönüşte, cismin eğik düzlem boyunca aşağıya doğru ivmesi, 4 m/sn2 dir.

61 bulunur. x = 0 için v = 0 başlangıç şartı bu denkleme uygulanırsa, C = 0 olacaktır. Böylece geri dönüş hareketinde x ‘ e bağlı olarak v ’ nin değerini veren ifade ; elde edilir. Burada x = 9 m yazılırsa, cismin başlangıç noktasına geri ulaştığındaki hızı; olacaktır.

62 Değişkenlerine Ayrılabilen Hale Getirilebilen Diferansiyel Denklemler
şeklindeki diferansiyel denklemlere değişkenlerine ayrılabilen hale getirilebilen diferansiyel denklemler denir. Çözüm için; dönüşümü yapılır. Her iki tarafın x’ e göre türevi alınırsa: yerine yazılırsa, değişkenlerine ayrılabilen diferansiyel denklem elde edilir.

63 Örnek 1 diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm:

64 Örnek 2 diferansiyel denklemini çözünüz.

65 2 1 2 ( – 9) du 2 1 2

66 Örnek 3 diferansiyel denklemini çözünüz. Çözüm
İlk denklemde u yerine konulursa:

67

68 Alıştırma: Tümör büyümesi  Hayvanlarda var olan tümörün büyümesi şu denklemle modellenir: y tümörün boyutu, t zaman, ve a ve b ise tümörün tipine ve ölçü birimine bağlı sabittir. .y ’yi t ‘nin fonksiyonu olarak çözünüz. Eğer a = 1, b = 10, ve y(0) = 5 cm3 ise ( t gün cinsinden), özel çözümü bulunuz.

69 Çözüm:

70 Homojen Diferansiyel Denklemler
f(x,y,z, ….) fonksiyonu için, Tanım: f(x,  y,  z, ….) = n f(x,y,z, ….) özelliği var ise, f(x,y,z, ….) fonksiyonu, n. Mertebeden HOMOJEN dir.

71 3 terimi ortak paranteze alınamadığı için yukarıda verilen denklem
Örnek 1: fonksiyonunun homojen olup olmadığını gösteriniz Çözüm: 3 terimi ortak paranteze alınamadığı için yukarıda verilen denklem HOMOJEN DEĞİLDİR.

72 4 mertebeden HOMOJENDİR.
Örnek fonksiyonunun homojen olup olmadığını gösteriniz Çözüm: 4 mertebeden HOMOJENDİR.

73 Euler Teoremi f(x,y,z,…) fonksiyonu n. Mertebeden HOMOJEN ise, dir.

74 Örnek Çözüm: fonksiyon 4. mertebeden homojen idi. Buna göre;
fonksiyonunun Euler Teoremini sağlayıp sağlamadığını gösteriniz Çözüm: fonksiyon 4. mertebeden homojen idi. Buna göre;

75

76

77 P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 y = ux Tanım:
P(x,y) ve Q(x,y) x ve y’ nin aynı mertebeden fonksiyonları olma üzere; P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 şeklindeki bir diferansiyel denklem de, P(x,y) ve Q(x,y) aynı mertebeden homojen fonksiyonlar ise, bu diferansiyel denkleme homojen diferansiyel denklem denir. y = ux dönüşümü yapılır.

78 Örnek ÇÖZÜM: diferansiyel denklemin çözümünü bulunuz
Öncelikle denklemin homojen olup olmadığına bakalım Tanım gereğince iki fonksiyonda aynı mertebeden olmadığından, diferansiyel denklem HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEM DEĞİLDİR

79 Örnek ÇÖZÜM: diferansiyel denklemin çözümünü bulunuz
Öncelikle denklemin homojen olup olmadığına bakalım 1 1 I. mertebeden dönüşümü yapılır I.Mertebeden Homojen I.Mertebeden Homojen

80 denkleminde yerine konulursa:
her iki tarafın x’ e göre türevini alırsak denkleminde yerine konulursa:

81

82 Örnek ÇÖZÜM: diferansiyel denklemin çözümünü bulunuz
Öncelikle denklemin homojen olup olmadığına bakalım olduğundan 2. mertebeden Homojen bir diferansiyel denklemdir.

83 denkleminde yerine konulursa:
dönüşümü yapılır her iki tarafın x’ e göre türevini alırsak denkleminde yerine konulursa:

84

85 Örnek ÇÖZÜM: diferansiyel denklemin çözümünü bulunuz
Öncelikle denklemin homojen olup olmadığına bakalım 1.Mertebeden Homojen bir diferansiyel denklemdir.

86 denkleminde yerine konulursa:
her iki tarafın x’ e göre türevini alırsak denkleminde yerine konulursa: dönüşümü yapılırsa

87

88 Örnek ÇÖZÜM: diferansiyel denklemin çözümünü bulunuz
Öncelikle denklemin homojen olup olmadığına bakalım Tanım gereğince iki fonksiyonda aynı mertebeden olduğunda, diferansiyel denklem 2. MERTEBEDEN HOMOJEN DİFERANSİYEL DENKLEMDİR.

89 1 X dönüşümü yapılır ve her iki tarafın x’ e göre türevi alınırsa
denkleminde yerine konulursa: 1 X 2

90

91 Örnek ÇÖZÜM: diferansiyel denklemin çözümünü bulunuz
Öncelikle denklemin homojen olup olmadığına bakalım 1. Mertebeden homojen diferansiyel denklem her iki tarafın x’ e göre türevini alırsak

92 denkleminde yerine konulursa:

93

94 Örnek ÇÖZÜM: diferansiyel denklemin çözümünü bulunuz
olduğundan 3. Mertebeden homojen diferansiyel denklemdir. her iki tarafın x’ e göre türevini alırsak denkleminde yerine konulursa:

95

96 HOMEJEN HALE GETİRİLEBİLEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER
Tanım: şeklinde tanımlanan diferansiyel denklemlerdir x = X + h y = Y + k dönüşümü yapılır. Bu tür diferansiyel denklemlerde: “0” yapılacak biçimde “0” yapılacak biçimde

97 h ve k nın çözümü yapılırsa:
Çözüm için: gerçek h ve k değerleri vardır. h ve k değerleri bulunur ve yerine yazılırsa yeni diferansiyel denklem elde edilir. bu durumda ; dönüşümleri yapılır.

98 Örnek ÇÖZÜM: diferansiyel denklemin çözümünü bulunuz
Değerleri yerine konulursa

99 gerçek h ve k değerleri vardır
gerçek h ve k değerleri vardır. h ve k değerleri bulunur ve yerine yazılarak yeni diferansiyel denklem elde edilir 2 

100 1 ( ) X 1.Mertebeden HOMOJENDİR.
dönüşümü yapılır ve her iki tarafın türevi alınırsa; 1 ( ) X

101

102

103 Örnek ÇÖZÜM: diferansiyel denklemin çözümünü bulunuz
değerleri yerine konulursa

104 bu durumda; dönüşümleri yapılır.

105

106

107 Alıştırmalar Aşağıdaki diferansiyel denklemleri çözünüz

108

109

110 TAM DİFERANSİYEL DENKLEMLER
Tanım: P(x,y) ve Q(x,y) fonksiyonlarında; P’y (x,y)dx ve Q’x (x,y)dy kısmi türevleri SÜREKLİ olmalıdır. P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 Bu durumda; denkleminin I. yanı; du = P(x,y)dx + Q(x,y)dy şeklinde bir u(x,y) fonksiyonunun TAM DİFERANSİYELİ ise, bu tür diferansiyel denklemleri TAM DİFERANSİYEL DENKLEMLER denir. olduğuna göre; Buna göre; y ‘ye göre türevi x ‘ e göre türevi  olacağından;

111  verilen diferansiyel denklemler TAM DİFERANSİYEL DENKLEMLER dir.
Diğer bir ifade ile; P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 TAM DİFERANSİYEL DENKLEM ise dir. Eğer üç bağımsız hal varsa, yani P(x,y,z) , Q(x,y,z) ve R(x,y,z) sürekli ve türevi bulunabilen fonksiyonlar ise; P(x,y,z)dz + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz = 0 Şeklinde bir diferansiyel denklemin TAM DİFERANSİYEL DENKLEM olması için; P x Q y R z

112 TAM DİFERANSİYEL DENKLEMİN çözümü için 2 Metot uygulanır;
1. Diferansiyel işlemlerden yararlanılır 2. Direk integral alma metodu uygulanır 1. Diferansiyel işlemlerden yararlanılır P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 TAM DİFERANSİYEL DENKLEM olsun den belirlenir.

113 P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 Örnek 2. Direk integral alma metodu uygulanır
denklemin TAM DİFERANSİYEL DENKLEM olduğu görüldükten sonra; şeklinde integral alınarak çözüme gidilir. Örnek diferansiyel denklemin çözümünü bulunuz Çözüm 1. Metot olduğundan Tam Diferansiyel denklem değildir.

114 Örnek diferansiyel denklemin çözümünü bulunuz Çözüm
olduğundan Tam Diferansiyel denklemdir.

115 1. Metot

116 2. Metot

117 Örnek diferansiyel denklemin çözümünü bulunuz Çözüm 1. Metot
olduğundan Tam Diferansiyel denklemdir.

118 diferansiyel denklemin çözümünüdür.

119 2. Metot

120 Örnek Çözüm olduğundan Tam Diferansiyel denklemdir.
diferansiyel denklemin çözümünü bulunuz Çözüm olduğundan Tam Diferansiyel denklemdir.

121

122 2. Metot Kısmi integral

123

124 TAM DİFERANSİYEL HALE GETİRİLEBİLEN DİFERANSİYEL DENKLEMLER
Tanım: P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 denkleminde; denklem Tam Diferansiyel denklem değildir. Bunun Tam Diferansiyel denklem olması için denklemin çarpılacağı Çarpana İNTEGRASYON ÇARPANI veya EULER ÇARPANI denir. İntegrasyon çarpanı, (x,y) olsun. denklemi, Tam Diferansiyel denklem ise; olacaktır.

125 türevi açarsak;  Sadece x ‘ e bağlı ise 1. Durum:

126 P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 denklemi homojen ise, İntegrasyon Çarpanı;
 Sadece y ‘ e bağlı ise 2. Durum: P(x,y)dx + Q(x,y)dy = 0 denklemi homojen ise, İntegrasyon Çarpanı; 3. Durum:

127 Eğer, P = yP ve Q = xQ; ise 4. Durum: Eğer, M(x) N(y) dx + R(x) S(y) dy = 0 tipinde bir diferansiyel denklem ise 5. Durum: Eğer, Q’x - P’y ifadesi u(x)Q’x – v(y)P’y şeklinde yazılıyorsa İntegral Çarpanı; 6. Durum:

128 Örnek diferansiyel denklemin İntegrasyon Çarpanını bulunuz ve denklemi çözünüz. Çözüm: olduğundan Tam diferansiyel denklem değildir y ‘ ye bağlı olduğundan 2. Durum:

129 O halde, İntegrasyon Çarpanı;
ile denklemin her iki yanını çarpalım. Tam Diferansiyel Denklemdir. 2.Metodu kullanırsak