Determinant Bir kare matrisin tersinir olup olmadığına dair bilgi veriyor n- boyutlu uzayda matrisin satırlarından oluşmuş bir paralel kenarın hacmine.

... konulu sunumlar: "Determinant Bir kare matrisin tersinir olup olmadığına dair bilgi veriyor n- boyutlu uzayda matrisin satırlarından oluşmuş bir paralel kenarın hacmine."— Sunum transkripti:

1 Determinant Bir kare matrisin tersinir olup olmadığına dair bilgi veriyor n- boyutlu uzayda matrisin satırlarından oluşmuş bir paralel kenarın hacmine ait bilgi veriyor Pivotlara ilişkin bağıntılar veriyor hatırlatma

2 Determinant hesaplamanın yolları A tersinir ise ve Bu yaklaşımı onuncu kuralda elde ettik Determinant hesaplamanın bir başka yolunu birinci kuraldan yararlanarak elde edeceğiz: 0 0 pivots

3 Özellik 10: Ortak özellikleri ne? Hepsinin determinantı 1’e eşit Bir de P ve P T ‘ye bakalım veya Neden? ayrıca veya Sonuç: Bunlar için ne diyeceğiz? hatırlatma

4 Özellik 1:Determinant birinci satıra lineer bağımlıdır Üç matris oluşturalım öyle ki ilk satırları farklı diğer satırları aynı olsun: Şimdi neyi göstereceğiz? √ hatırlatma

5 3X3’lük matris için:

6 Biraz daha basitleştirelim… Permutasyon matrislerinin determinantları -1 veya 1 olacak Yer değiştiren satır sayısı tek ise -1, çift ise 1

7 Determinant hesaplamanın bir başka yolu… kofaktör A matrisinin i. satırı ve j. sütunu çıkarılarak elde edilen matris

8 Nerede işimize yarayacak? A ’nın tersini hesaplamada…. A ’nın determinantını tüm satırlardan yararlanarak defalarca hesaplasak

9 ‘nin çözümünü bulmada…. Bunu biraz farklı ifade etmenin bir yolu: Cramer Kuralı j. sütun

10 İki küçük örnek A matrislerinin tersini hesaplayınız. Denklem takımının çözümünü Cramer kuralından yararlanarak bulunuz

11 Özdeğerler ve özvektörler Bir matris Lineer bir dönüşüm Bir vektör Bir skaler ve, A için özel bir skaler ve vektör Özdeğer ve özvektör

12 Bu özel skaler ve vektör neden önemli? Çok karşılaşacağınız bir problem ile işe başlayalım İlk değer problemi

13 İddia: Bu denklem takımının çözümleri Bu iddianın doğru olduğunu göstermem gerek: Bunu daha önce de görmüştük özdeğer özvektör

14 ‘in çözümünü arayacağız Bu ifadeye bakarak λ ve x için ne diyebilirsiniz? λ öyle seçilmeli ki sıfırdan farklı olsun. λ’ yı bulmak için bir yol önerebilir misiniz? Determinant hesaplamayı da biliyorsunuz… kökleri A’nın özdeğerleridir Karakteristik çok terimli

15 Özdeğer ve özvektörü belirlemek için hangi adımları atacağız veya ‘nın determinantını hesaplayacağız, çok terimlisinin köklerini belirleyeceğiz, Her özdeğer için lineer denklem takımının çözümlerini bulacağız. özdeğerler özvektörler

16 Sizce özdeğerleri bulmak kolay mı? Çok terimlinin köklerini analitik olarak bulmanın yolları hakkında ne biliyorsunuz? Çok terimlinin köklerini yaklaşık olarak bulmanın yolları hakkında ne biliyorsunuz? Kolaylık sağlayacak bazı özel durumlar var mı? A matrisi köşegen ise….. A matrisi izdüşüm matrisi ise….. A matrisi üçgen ise…..

17 Özdeğerlere ilişkin iki sınama….

18 Özdeğerleri değiştirmeden matris nasıl köşegenleştirilir? A, nxn boyutunda, n tane lineer bağımsız özvektörü olan bir matris olsun S sütunları özvektörler olan matris olmak üzere:

19

20 Bazı sonuçlar: n farklı özdeğeri olan nxn boyutlu her matris köşegenleştirilebilir. Köşegenleştirmeyi sağlayan S matrisi tek değildir Köşegenleştirilemeyenler için bir çare yok mu? Jordan kanonik form elde edilir

21 Sonuçlara devam…. Köşegenleştirme özvektörlerle ilişkili Tersinir olma özvektörlerle ilişkili ‘nın özdeğerleri ‘nın özdeğerlerinin k katıdır ve aynı özvektörlere sahiptir. A ve B köşegenleştirilebilir olsun, AB=BA ise aynı özvektör matsisi S ’e sahiptirler.

22 Fark denklemleri Pisa’lı Leonardo Fibonacci (1175-1250) Liber Abacis 0,1,1,2,3,5,8,13,…. Bu diziye ilişkin genel kuralı ifade edelim Bu kuralı bir daha daha farklı şekilde yazalım: Önce yeni bir değişken tanımlayalım:

23 Bu denklem sizin için ne ifade ediyor?

24 Bu fark denkleminin çözümünü nasıl buluruz? ●●●●●●

25 ‘i hesaplamanın kolay bir yolu var mı? Köşegenleştirirsek işler kolaylaşır S’ sütunları için ne diyebilirsiniz Ne işe yarıyorlar?

26 Artık Fibonacci için bir çözüm yazabiliriz …. İlk koşullara da ihtiyacımız var