TEMEL KURAM VE AÇMAZLARIYLA BİLGİSAYAR BİLİMİ - Sayılabilirlik - Yılmaz Kılıçaslan

Sunum Planı  Hilbert’in Problemi  Hilbert’e Yanıtlar  Bilgisayar Bilimi –Bilgisayım Kuramı –Enformasyon Kuramı  Hesaplanabilirlik –Sayılabilir Kümeler –Sayılamaz Kümeler 2

Hilbert’in Problemi (1928) ALGORİTMA ? Formel Dil Matematiksel İfade (Önerme) Doğru / Yanlış Algoritma: Bir problemi sonlu sayıda adımla etkin (mekanik) olarak çözen yöntem.

Hilbert’e Kötü Haberler  Aritmetik Sistemlerin Eksikliği (Kurt Gödel) (Incompleteness of Systems of Arithmetic)  (Birinci Dereceden Yüklem) Mantığında Karar Verilmezlik (Alonzo Church) (Undecidability of (First Order) Logic)  Doğruluğun Tanımsızlığı (Alfred Tarski) (Undefinability of Truth)  Fonksiyonların Hesaplanamazlığı / Durma Problemi (Alan Turing) (Uncomputability of Functions / Halting Problem) 4

Gödel’in Eksiklik Teoremi 5  Gödel Yalancının Paradoksunu aşağıdaki şekilde değiştirdi: “Bu önerme ispatlanabilir değildir.”  …  Aritmetiğin her tutarlı biçimselleştirilmesi için öyle aritmetik doğrular vardır ki, bunlar bu biçimsel sistem içinde ispatlanabilir değillerdir.

Durma Problemi ALGORİTMA (BİLGİSAYIM MODELİ) ? Program Input Durur / Durmaz Alan Turing 1936’da, Durma Problemini bütün program-input çiftleri için çözebilecek genel bir algoritmanın olmadığını ispatlamıştır.

Tipik Matematiksel Bilgisayım Modelleri  Durum Modelleri –Sonlu Durum Otomatları –Bask-Bırak Otomatları –Turing Makineleri –etc.  Lambda Calculus gibi fonksiyonel modeller  Mantık programlama gibi mantıksal modeller 7

Bilgisayar Bilimi  Bilgisayım Kuramı  Enformasyon Kuramı 8 - Hesaplanabilirlik - Karmaşıklık

Hesaplanabilirlik  Sayılabilir Kümeler  Sayılamaz Kümeler 9

Sayılabilir Kümeler  Tamsayılar  Rasyonel Sayılar 10

Rasyonel Sayıların Sayılabilirliği 11 1/1 2/1 3/1 4/1... 1/2 2/2 3/2 4/2... 1/3 2/3 3/3 4/3... 1/4 2/4 3/4 4/

Sayılamaz Kümeler  Reel Sayılar  İkili Tabandaki Sayılar  Karmaşık Sayılar 12

Gerçel Sayılar için Köşegenleştirme 13 1r 1 = 0.d 11 d 12 d 13 d r 2 = 0.d 21 d 22 d 23 d r 3 = 0.d 31 d 32 d 33 d r 4 = 0.d 41 d 42 d 43 d d ij = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} r n = 0. a 1 a 2 a 3 a 4... => a n ≠ a n a i ≠ d ii Çelişki! a n... n Bu sayı (0, 1) aralığında yer alamaz...

İkili Tabandaki Sayılar için Köşegenleştirme 14 Bu sayı yukarıdaki sayılar arasında olamaz.

Sayma Sayılarının Güç Kümesinin Sayılamazlığı 15 Bu küme yukarıdaki kümeler arasında olamaz.

Kardinalite 16 X kümesinden Y kümesine bir birebir örten fonksiyonun, f: X → Y, var olması, bu kümelerin kardinalitelerinin eşit olduğunu gösterir. Yukarıdaki örnekte, kümlerin kardinalitesi 4’tür. Sonsuz kümeler için en küçük kardinal sayı.

En Kısa Özet  Bilgisayar Bilimi –Bilgisayım ve –Enformasyon kuramlarını içerir.  Bilgisayım Kuramı –Hesaplanabilirlik ve –Karmaşıklık alt kuramlarını barındırır. 17