Kararlı Eşleşme Probleminde Teklifleri Sınırlayarak Sonuçları İyileştirme Üzerine Yeni Bir Uygulama Ege ÜNİVERSİTESİ ULUSLARARASI BİLGİSAYAR ENSTİTÜSÜ AYCAN VARGÜN Prof. Dr. Mehmet emin dalkılıç

özet Kararlı eşleşme problemi iki küme elemanları arasında kararlı çiftler kümesini bulmayı amaçlayan problemdir. Bu problemi çözen algoritmalardan en bilineni Gale ve Shapley’in 1962’de yayınladığı ertelenmiş kabul prosedürüdür[1]. Bu bildiride, Gale-Shapley algoritmasında tekliflerin kabulündeki ölçütleri değiştirerek, sonuçların erkek ve kadınlar için iyileştirilmesi incelenmiştir. Elde edilen sonuçlar çeşitli ölçütler kullanılarak karşılaştırılmıştır.

GİRİŞ Kararlı eşleşme problemi, eşit sayıda eleman içeren iki küme arasında tüm elemanları içeren kararlı bir eşleşme bulmayı amaçlayan problemdir. Bir kararlı eşleşme probleminde üstel sayıda çözüm olabilir[2]. Bu bildiri, O(n2) çalışma zamanı karmaşıklıktaki Gale-Shapley algoritması kullanılarak, O(n2logn) çalışma zamanı karmaşıklıkta bu çözümlerin bazılarını bulan bir yöntem ve o yöntemle hazırlarmış bir algoritma sunmaktadır[3].

Algoritmanın Çalışma Şekli Uygulama, ikili arama algoritmasına benzer mantıkla çalışmaktadır ve hem erkek hem de kadınların daha iyi tercihleriyle eşleştiği çözümler ortaya çıkmaktadır. Uygulamanın bitiş koşulunda yeni bir tura geçerken bulunan yeni orta sınır, sağ sınıra eşitse algoritma sonlanmaktadır.

Algoritmanın Çalışma Şekli: Algoritma Sözde Kodu

Algoritmanın Çalışma Şekli: Algoritmanın Örnek Bir Probleme Uyarlanması

Algoritmaların Çalıştırılması: Algoritma karşılaştırma ölçütleri Μ bir problemdeki tüm çözümler kümesi, mr bir m erkeğinin w kadınını tercih etme sırası ve wr bir w kadının m erkeğini tercih etme sırası olmak üzere, bir Mi∈M için, sm(Mi)=∑mr(m,w) ve sw(Mi)=∑wr(m,w) iken, bir kararlı eşleşme Mi için ve ∀ Mj ∈M için, Rank toplamları: min|sm(Mi)+sw (Mi)| Rank farkları: min|sm(Mi)-sw (Mi)|   Standart sapma: Bir çözümde n erkek ve n kadının oluşturduğu n adet çiftte, kadınların eşleştiği erkekleri tercih etme sıraları alınır, ortalaması bulunur ve daha sonra ortalama kullanılarak standart sapma bulunur. Bu ölçütün amacı, sonuçların ne kadar homojen olduğunu ölçmektir.

Algoritmaların Çalıştırılması: Rank Toplamları ile İlgili Sonuçlar

Algoritmaların Çalıştırılması: Rank Farkları ile İlgili Sonuçlar

Algoritmaların Çalıştırılması: Standart Sapma ile İlgili Sonuçlar

Sonuç ve Öneriler Bu bildiride iki algoritma sonuçları bağlamında çeşitli ölçütlerle karşılaştırılarak incelenmiştir.   Birinci ölçüt göstermiştir ki EO algoritması erkekler için en iyi sonucu bulurken sınırlamalı EO algoritması kadınlar için daha iyi olan sonuçları bulmuştur. Bu durum, bütün erkeklerin ve kadınların eşleştiği kişilerin rankları arasındaki farkı azaltmış ve kadınların durumunu iyileştirmiştir. İkinci ölçüt, kadın ve erkeklerin eşleştiği tercihlerin arasındaki farkların toplamını bulma ölçütüdür. Sınırlamalı EO, bu ölçüte göre de az farkla da olsa EO algoritmasının önüne geçmiştir. Sınırlamalı EO algoritmasının bulduğu sonuç, kadın ve erkelerin eşleri ile arasındaki farkı azaltmıştır, yani çiftlerdeki memnuniyetsizlik kısmen azalmıştır.

Sonuç ve Öneriler Son ölçüt ise standart sapma ölçütüdür. EO algoritmasının bulduğu çözümde, erkeklerin eşleştiği tercihlerin arasındaki standart sapma daha az çıkmıştır. Bu durum sınırlamalı EO algoritmasının tam tersidir. Sınırlamalı EO algoritmasında kadınların eşleştiği kişilerin rank standart sapması daha az çıkmıştır. Kadınlarda en memnuniyetsiz oyuncunun durumu iyileşmiştir. Bu ölçütlere her iki kümede eşleşilen en kötü tercih, en iyi tercih gibi yenileri eklenebilir. Sınırlamalı EO algoritmasında, EO algoritmasına konulan kriter tüm oyuncular için ayrı ayrı belirlenebilir ve yeni bir kriter tanımlanabilir.

Kaynaklar [1] Gale, D. and Shapley, L.S., "College Admissions and The Stability Of Marriage", The American Mathematical Monthly, 69(1):9-15 (1962). [2] Knuth, D.E., "Mariages Stables", Les Presses de L’universitb de Montreal, Montreal, (1976). [3] Iwama, K. and Miyazaki, S., “A Survey of The Stable Marriage Problem and Its Variants”, Informatics Education and Research for Knowledge-circulating Society, 2008. Icks 2008. International Conference on IEEE, 131-136 (2008). [4] Mcvitie, D., and Wilson, L., “The Stable Marriage Problem”, Magazine Communications of The Acm, 14:486-490 (1971).  [5] Vien N.A., Viet N.H., Kim H., Lee S., Chung T., “Ant Colony Based Algorithm for Stable Marriage Problem”, Advances and Innovations in Systems, Computing Sciences and Software Engineering, Springer Netherlands, 457- 461 (2007).