Cantilever plate in plane strain uniform loading Fixed boundary Problem: Obtain the stresses/strains in the plate Node Element Finite element model model Approximate method Geometric model Node Element Mesh Discretization

Engineering design

View the problem domain as a collection of subdomains (elements) Solve the problem at each subdomain Assemble elements to find the global solution Solution is guaranteed to converge to the correct solution if proper theory, element formulation and solution procedure are followed. Engineering design

1941 – Hrenikoff proposed framework method 1943 – Courant used principle of stationary potential energy and piecewise function approximation 1953 – Stiffness equations were written and solved using digital computers – Clough made up the name “finite element method” 1970s – FEA carried on “mainframe” computers 1980s – FEM code run on PCs 2000s – Parallel implementation of FEM (large-scale analysis, virtual design) Courant Clough Engineering design

 Structural & Stress Analysis  Thermal Analysis  Dynamic Analysis  Acoustic Analysis  Electro-Magnetic Analysis  Manufacturing Processes  Fluid Dynamics  Financial Analysis Applications of Finite Element Methods Engineering design

Physical Problem Mathematical model Governed by differential equations Numerical model e.g., finite element model Continuous body - mathematical model Discretized body – finite element model

Engineering design FEA model FEA results Discretization Numerical solver FEA Pre- processing FEA Solution FEA Post- processing MATHEMATICAL MODEL

Engineering design

Simple Element Equation Example Direct Stiffness Derivation Stiffness Matrix Nodal Force Vector

P L Engineering design

To comply with assumptions of small displacements theory, the displacement must not change the stiffness in a significant way. Note that displacements don’t have to be large to significantly change the stiffness. TYPICAL ANALYSIS ASSUMPTIONS: SMALL DISPLACEMENTS

One-Dimensional Elements Line Rods, Beams, Trusses, Frames Two-Dimensional Elements Triangular, Quadrilateral Plates, Shells, 2-D Continua Three-Dimensional Elements Tetrahedral, Rectangular Prism (Brick) 3-D Continua Engineering design

16 FINITE ELEMENT MESH

Compatible elements The same displacement shape function along edge 1 and edge 2 Incompatible elements Different displacement shape function along edge 1 and edge 2 There is only one node here MESH COMPATIBILITY

18 Model of flat bar under tension. There is a mesh incompatibility along the mid-line between left and right side of the model. The same model after analysis. Due to mesh incompatibility a gap has formed along the mid-line. MESH COMPATIBILITY

Shell elements and solid elements combined in one model. Shell elements are attached to solid elements by links constraining their translational D.O.F. to D.O.F. of solid elements and suppressing their rotational D.O.F. This way nodal rotations of shells are eliminated and nodal translations have to follow nodal translations of solids. Unintentional hinge will form along connection to solids if rotational D.O.F. of shells are not suppressed. MESH COMPATIBILITY Shell elements Solid elements Hinge

Elements before mappingElements after mapping MESH QUALITY

aspect ratio angular distortion ( skew ) angular distortion ( taper ) curvature distortion midsize node position warpage MESH QUALITY

Element distortion: aspect ratio Element distortion: warping MESH QUALITY

Element distortion: tangent edges MESH QUALITY

This stress distribution needs to be modeled This stress distribution is modeled with one layer of first order elements Support Load MESH ADEQUACY

cantilever beam size:10" x 1" x 0.1" modulus of elasticity:30,000,000psi load:150 lbf beam theory maximal deflection:f = 0.2" beam theory maximal stress:  = 90,000psi our definition of the discretization error : ( beam theory result - FEA result ) / beam theory result MESH ADEQUACY

Two layers of second order solid elements are generally recommended for modeling bending. Shell elements adequately model bending. MESH ADEQUACY

Mesh refinement and / or element order upgrade number Convergence criterion Solution of the hypothetical “infinite” Finite element model (unknown) Solution error for model # 3 Convergence error for model # 3 # of D.O.F. CONVERGENCE CURVE

COMPARISION BETWEEN h & p ELEMENTS

The maximum von Mises stress criterion is based on the von Mises-Hencky theory, also known as the shear-energy theory or the maximum distortion energy theory. The theory states that a ductile material starts to yield at a location when the von Mises stress becomes equal to the stress limit. In most cases, the yield strength is used as the stress limit. Factor of safety (FOS) =  limit /  von Mises VON MISES STRESS CRITERION

30 Applications: Aerospace Engineering (AE)

31 Applications: Civil Engineering (CE)

32 Applications: Electrical Engineering (EE)

33 Applications: Biomedical Engineering (BE)

34 The Future – Virtual Engineering

Example 2D Truss

Create Part ‘a tıkla Seçenekleri işaretle ve Continue düğmesine bas 12

Create Line: Connected komutu ile şekli çiziniz. Add Dimension komutu ile istenilen ölçüye getiriniz. 34

Done düğmesine tıklayarak işlemden çıkınız. 5

Property: malzeme özelliklerinin tanımlanması için seçilir. Create Material :tıklanır Mechanical:Elasticity:Elastic seçilir. 678

OK’e Tıklayarak çık. Create Section: Continue’e Tıklayarak çık. OK’e Tıklayarak çık

Assign Section: Tüm geometri bir pencere içine alınarak seçilir. Done’a tıklanır OK’e sonra Done’a tıklayarak çık Sonraki aşamada; çözüm için çalışma alanı olan Assembly’ geçilir

Tıklanarak modelin bir kopyası çözüm alanına taşınır. 17 OK’e Tıklayarak çık. 18 Modellin bir kopyası ekranda belirir. 19 Diğer bir aşamada; çözüm için gerekli olan Step’ e geçilir. Burada genel olarak çözüm zamanı veya adımları tanımlanır. 20

Create Step: 2122 Continue’e Tıklayarak çık. OK’e Tıklayarak çık. 23

Sonraki aşamada; çözüm için çalışma alanı olan Assembly’ geçilir Create Boundary Conditions: tıklayınız 2425 Continue’e Tıkla. Shift tuşun basılı tutarak gösterilen iki nokta seçilir. 26

İki kutu işaretlenerek bu noktaların x ve y’de hareket kabiliyeti sınırlandırılır. OK’e Tıklayarak çık Aynı işlem aşağıdaki nokta içinde yapılır fakat x yönündeki hareket kabiliyeti sınırlandırılmaz. OK’e Tıklayarak çık.

Create Load: seçilerek. Yükleme tanımlamaları yapılır. Shift tuşun basılı tutarak gösterilen iki nokta seçilir Concentrated force seçildikten sonra Continue: tıklanır. +x ekseninde yük tanımlandıktan sonra OK’e tıklayarak çık.

Bu aşamada; modelin bölüntüleme aşamasına gelinir. Model küçük elemanlara bölünür. Her şeyden önce bölüntülemenin kopya üzerinde değilde orijinal parça üzerinde yapılabilmesi için Part kutusu seçilir Seed Part: seçeneği ile model üzerindeki geometrinin ne kadar sıklıkla bölüneceği belirtilir birim (bu problemde inç) aralıkla bölüntüleme yapılması için değer girilir ve OK’e tıklayarak çıkılır. Assign Element Type: bölüntülemede hangi eleman tipinin kullanılacağı belirlenir. 36

Tüm geometri bir pencere içine alınarak seçilir. Done’a tıklanır. 36 OK’e sonra Done’a tıklayarak çık.

Model son olarak Mesh Part Instance: komutu ile bölüntüleme başlatılır. Yes: seçeneği ile işlem başlar ve bölüntüleme işlemi biter. Modelin rengi değişir ve bölüntü (mesh) oluşturulmuş olduğu anlaşılır.

Burada; modelin oluşturduğu denklem sisteminin çözümü için Job: aşamasına geçilir. Create Job: seçneğini tıkla Continue: seç. OK’e Tıklayarak çık.

Job Menager: komutu seçilir. Daha önceden bir çözüm yapılmış ise “Job-1“ dosyası üzerine yazmak için izin isteyebilir. OK:’i tıklayın Submit: komutu ile çözüm başlatılır

Sonuçları görmek için tıklayın. 45 Çözün sonuçlarının renkli görüntüsünü elde etmek için seçiniz