Asimetri ve Basıklık Ölçüleri Ortalamalara dayanan (Pearson) Kartillere dayanan (Bowley) Momentlere dayanan asimetri ve basıklık ölçüleri

III. Asimetri ve Basıklık ölçüleri Asimetri ve basıklık ölçüleri bir serideki gözlem değerlerinin dağılımının şeklini ortaya koyan ölçülerdir. Bu ölçüler yorumlanırken normal dağılım özellikleri dikkate alınır. Normal dağılım eğrisi simetrik ve normal bir basıklığa sahiptir. Asimetri ölçüsü serinin frekans dağılımının simetrik dağılımdan uzaklaşma derecesini gösterirken, basıklık ölçüsü verilerin normal dağılıma göre ortalama etrafında ne kadar yoğun bir şekilde dağıldığını gösteren ölçülerdir. Asimetri ölçüsünün işaret büyüklüğü verinin çarpıklığının yön ve şiddetini gösterirken, basıklık ölçüsünün büyüklüğü verilerin ortalama civarında aşırı yoğunlaştığına, küçüklüğü ise verilerin ortalamaya etrafında fazla dağınık olduğuna işaret etmektedir.

III. 1- Ortalamalara Dayanan (Pearson) Asimetri Ölçüleri Bilindiği gibi asimetrisi hafif bir serilerde ortalamalar arasında aşağıdaki gibi bir ilişki söz konusudur. Bu ilişkinin her iki tarafı standart sapmaya oranlandığında iki asimetri ölçüsü elde edilir. As = 0 ise seri simetrik As > 0 ise seri sağa çarpık As < 0 ise seri sola çarpık olarak nitelendirilir.

Yukarıdaki asimetri ölçülerinden daha çok birincisi kullanılır Yukarıdaki asimetri ölçülerinden daha çok birincisi kullanılır. Modun hesaplanamadığı durumlarda ikinci formül kullanılarak asimetri belirlenir. Bu asimetri ölçüsü ±1 e yaklaştıkça çarpıklık kuvvetli hale gelirken, 0,5 e yaklaştıkça orta şiddette 0’a yaklaştıkça hafif şiddette çarpıklık söz konusu olur. Sağa çarpık durumda gözlem değerlerinin büyük bir kısmı modun sağında, sola çarpık durumda ise solunda yer alacaktır. Diğer bir deyişle sağa çarpık serilerde aritmetik ortalama sağa doğru (büyük değerler yönüne) kayarken, sola çarpık serilerde aritmetik ortalama sola (küçük değerler yönüne) kayma göstermektedir.

Örnek : X marka piller için yapılan ömür testinde, 150 pil tesadüfen seçilmiş ve saat cinsinden ömürleri aşağıda verilmiştir. Pearson asimetri ölçülerini bulup sonucu yorumlayınız. Ömür (saat) Pil sayısı mi fimi fimi2 100-120 10 110 1100 121000 120-140 50 130 6500 845000 140-160 60 150 9000 1350000 160-180 20 170 3400 578000 180-200 190 1900 361000 Toplam 21900 3255000 Pearson asimetri ölçülerini elde edilebilmesi için serinin aritmetik ortalaması, standart sapması, mod ve medyanının bilinmesi gerekir.

Aritmetik ortalama Kareli ortalama Standart sapma Mod Medyan

Serinin şeklinin Histogram ve frekans poligunu ile gösterimi

III.3. Momentlere Dayanan Asimetri ve Basıklık Ölçüleri Moment Tanımı ve Çeşitleri : Moment bir serideki gözlem değerlerinin sıfırdan veya aritmetik ortalamadan farklarının kuvvetlerinin aritmetik ortalamasıdır. Bu ölçüler serinin frekans dağılımının şeklinin belirlenmesinde kullanılan ölçülerdir. Bir serideki gözlem değerlerinin sıfırdan çeşitli derecelerdeki farklarının ortalamasına sıfıra göre moment adı verilir. Sıfıra göre moment “Mr“ şeklinde yazılır. Burada “r” momentin derecesi olup, fark alma işleminin derecesini gösterir. Buna göre sıfıra göre momentler şöyle formüle edilir.

2.moment ise kareli ortalamanın karesine Burada r = 1,2,3,4 değerlerini alır. Asimetri ve basıklık için daha üst derecelerde momentler gerekli değildir. Sıfıra göre 1.moment aritmetik ortalamaya 2.moment ise kareli ortalamanın karesine eşittir. Sıfıra göre momentleri kullanarak asimetri ve basıklık ölçüsünü elde etmek mümkün değildir. Asimetri ve basıklık ölçüleri aritmetik ortalamaya göre momentler yardımı ile elde edilebilir. Ancak sıfıra göre momentler kullanılarak aritmetik ortalamaya göre momentler elde edilebilir.

Aritmetik Ortalamaya Göre Momentler Serideki gözlem değerlerinin aritmetik ortalamalardan çeşitli derecelerdeki farklarının ortalamalarına aritmetik ortalamaya göre momentler adı verilir. Aritmetik ortalamaya göre momentler “r” şeklinde gösterilir. Burada “r” momentin derecesi olup 1,2,3,4 değerlerini alır. Aritmetik ortalamaya göre momentler şöyle yazılır.

r =2 için 2 = 2 yani varyans olur. r =1 için 1 = 0 olur r =2 için 2 = 2 yani varyans olur. 3.1. Momentlere Dayanan Asimetri Ölçüsü (3) Momentlere dayanan asimetri ölçüsü (3), asimetrik ortalamaya göre 3. momentin standart sapmanın küpüne oranlanması ile elde edilir. olup 3 = 0 ise seri simetrik 3 > 0 ise seri sağa çarpık 3 < 0 ise seri sola çarpık olmaktadır. 3 için bir üst sınır olmamakla birlikte olursa asimetrinin kuvvetli olduğu kabul edilir.

3.2. Momentlere Dayanan Basıklık Ölçüsü (4) Momentlere dayanan basıklık ölçüsü, asimetrik ortalamaya göre 4. momentin standart sapmanın 4. kuvvetine oranlanması ile elde edilir. olup, 4 = 3 ise serinin basıklığı normal 4 > 3 ise seri normal dağılıma göre daha sivridir. 4 < 3 ise seri normal dağılıma göre daha basıktır. Eğer bir seri 3 = 0 ve 4 = 3 şeklinde bir dağılım gösteriyorsa bu serinin dağılımının normal olduğu söylenir.

Örnek: Yukarıdaki pil örneği için; a-) Sıfıra göre momentleri bulunuz. b-) Aritmetik ortalamaya göre momenti hesaplayınız. c-) 3 asimetri ölçüsünü bularak yorumlayınız. d-) 4 basıklık ölçüsünü bularak yorumlayınız. Ömür (x10) fi mi fimi fimi2 fimi3 fimi4 10–12 10 11 110 1210 13310 146410 12–14 50 13 650 8450 109850 1428050 14–16 60 15 900 13500 202500 3037500 16–18 20 17 340 5780 98260 1670420 18–20 19 190 3610 68590 1303210 Toplam 150 2190 32550 492510 7585590

a) Sıfıra göre momentler b) Aritmetik ortalamaya göre momentler -3,6 -36 129,6 -466,56 1679,616 -1,6 -80 128 -204,8 327,68 0,4 24 9,6 3,84 1,536 2,4 48 115,2 276,48 663,552 4,4 44 193,6 851,84 3748,096 Toplam 576 460,8 6420,48

b) Aritmetik ortalamaya göre momentler: c) 3 asimetri ölçüsü: olduğundan seri sağa çarpıktır.

d) Basıklık Ölçüsü Şu halde seri normal dağılan bir seriye göre sağa çarpık ve hafif basık bir dağılış göstermektedir. Kabaca grafiği şöyle çizilebilir. olduğundan seri hafif basıktır.

Sıfıra Göre Momentlerden Hareketle Aritmetik Ortalamaya Göre Momentlerin Bulunuşu Sıfıra göre momentlerden yararlanarak aritmetik ortalamaya göre momentler elde edilerek serinin asimetri ve basıklığı hesaplanabilir. Burada basit seri için aritmetik ortalamaya göre momentlerin sıfıra göre momentlerden bulunuşu gösterilecektir. Diğer seriler için de aynı formüller geçerlidir. Aritmetik ortalamaya göre 1. moment: Aritmetik ortalamaya göre 2. moment

Aritmetik ortalamaya göre 3. moment

Örnek: Yukarıdaki pil örneği için sıfıra göre momentleri kullanarak aritmetik ortalamaya göre momentleri bularak asimetri ve basıklığı belirleyiniz. Çözüm: Yukarıda bu örnek için sıfıra göre momentler bulunmuştu. Buna göre; Bu verilenden hareketle 2, 3 , 4 ‘ü yukarıda verilen formülleri kullanarak bulalım. Standart sapma 3. moment

Aritmetik ortalamaya göre 4. moment: 3 asimetri ölçüsü: 4 basıklık ölçüsü:

Kaza sayısı Gün sayısı fiXi fiXi2 fiXi3 fiXi4 5 1 10 2 12 24 48 96 192 Aşağıda D100 karayolunun Adapazarı İzmit kesiminde meydana gelen kazaların günlere göre dağılımı verilmiştir. Bu veriler göre serinin; a) Sıfıra ve aritmetik ortalamaya göre momentleri bulunuz. b) Asimetri ölçüsünü bulunuz. c) Basıklık ölçüsünü bulup yorumlayınız. Kaza sayısı Gün sayısı fiXi fiXi2 fiXi3 fiXi4 5 1 10 2 12 24 48 96 192 3 18 54 162 486 1458 4 11 44 176 704 2816 20 100 500 2500 Toplam 60 152 496 1796 6976

a) Sıfıra göre momentler Sıfıra göre 4 moment şöyle olur.

Aritmetik ortalamaya göre momentlerin hesaplanması Kaza sayısı Gün sayısı 5 -2,53 32,09 -81,29 205,94 1 10 -1,53 23,51 -36,05 55,28 2 12 -0,53 3,41 -1,82 0,97 3 18 0,47 3,92 1,83 0,85 4 11 1,47 23,66 34,70 50,90 2,47 24,34 60,03 148,08 Toplam 60   110,93 -22,60 462,02

Aritmetik ortalamaya göre momentlerin farklar serisinden hesaplanması

Sıfıra göre momentlerden aritmetik ortalamaya göre momentlerin bulunuşu

c) Asimetri ve basıklık ölçüleri Asimetri ölçüsü (3) Basıklık ölçüsü (4)

SPSS’te Asimetri ve Basıklık Ölçüleri SPSS’te α3 asimetri ve α4 basıklık ölçüleri için aşağıdaki formüllerden faydalanılır. α3 = 0 için serinin simetrik olduğu, α3 > 0 için sağa çarpık, α3 < 0 için sola çarpık olduğu kabul edilir. α4 = 0 ise serinin normal basık olduğu, α4 > 0 ise serinin sivri, α4 < 0 ise serinin basık olduğu kabul edilir.

SPSS’te Asimetri ve Basıklık Ölçüleri SPSS’te α3 asimetri ve α4 basıklık ölçülerini bulmak için Analyze menüsünden Reports ve case summaries tıklanır. Gelen ekranda asimetri ve basıklığı aranan değişken(ler) variables kısmına taşınır ve Statistics tıklanır.

SPSS’te Asimetri ve Basıklık Ölçüleri Gelen ekranda Kurtosis (basıklık) ve Skewness (asimetri) Cell Statistics kısmına taşınır. Sonuçlar çıktı ekranında aşağıdaki şekilde görüntülenir. Çıktılardan Motor gücü sivri, gidilen yol, motor hacmi ve ağırlık basık çıkmıştır. Değişkenlerin tümü sağa çarpık olup motor gücü ve motor hacmi sağa çok şiddetli çarpık çıkmıştır. Case Summaries Galon başına Mil Motor hacmi boyutu Beygir gücü Aracın ağırlığı Kurtosis -,533 -,756 ,749 -,793 Skewness ,458 ,717 1,095 ,527

SPSS’te Asimetri ve Basıklık Ölçüleri SPSS’te α3 asimetri ve α4 basıklık ölçülerini Analyze menüsünden Descriptive statistics tıklanır. Gelen seçeneklerden frequencies, descriptives veya explore seçenekleri tıklanarak ta bulunur. Gelen ekranda α3 asimetri ve α4 basıklık ölçüsü araştırılan değişken(ler) Variables kısmına taşınır.

SPSS’te Asimetri ve Basıklık Ölçüleri Options seçeneği tıklanarak gelen ekrandan Skewness ve Kurtosis işaretlenerek continue ve OK tıklanarak sonuçlar çıktı ekranında görüntülenir. Çıktılar aşağıdaki gibi bir tabloda görüntülenir. Descriptive Statistics N Skewness Kurtosis Statistic Std. Error Galon başına Mil 392 ,458 ,123 -,533 ,246 Motor hacmi boyutu 393 ,717 -,756 Beygir gücü 1,095 ,749 Aracın ağırlığı ,527 -,793 Hızlana Saatte 60 mile ulaşma süresi ,298 ,473 Valid N (listwise) 391

Örnek: Basit bir seri için aşağıdaki verilere ulaşılmıştır Örnek: Basit bir seri için aşağıdaki verilere ulaşılmıştır. Bu verilerden hareketle; a) Aritmetik ortalamayı (8.5) b) Kareli ortalamayı (10,238) c) Gözlem sayısını (N=6) d) Modu tahmin ediniz ( Mod=10,6) e) α3 asimetri ölçüsünü (1,07) f) µ4 aritmetik ortalamaya göre 4. momenti (3230,6) g) α4 Basıklık ölçüsünü (3,04) h) Değişim katsayısını bulunuz. (%67,17)

Örnek: Basit bir seri ile ilgili aşağıdaki veriler elde edilmiştir. M2 = 69,8 DK= 38,38 Xi3 = 3429 3 = 0,059 M4 = 7282 Xi = 1920 Mod= 8,4 a) Aritmetik ortalamayı, (7,8) b) Gözlem sayısını, (5) c) Geometrik ortalamayı bulunuz. (4,536) d) Standart sapmayı, (3) e) Medyanı tahmin ediniz. ( 8 ) f) 4 basıklık ölçüsünü, (3,21)