Kesikli ve Sürekli Dağılımlar

Bu Bölümde İncelenecek Konular Kesikli dağılımlar Binom Dağılımı Poisson Dağılımı Sürekli dağılım Normal dağılım

Binom dağılımı-Koşullar Bir deneyde iki sonuç vardır. Başarılı olma olasılığı p, başarısız olma olasılığı (1-p)=q olarak tanımlanır. Deney boyunca yapılan n adet deneme, aynı koşullar altında gerçekleştirilir. Başarılı olma olasılığı (p) ve başarısızlık olasılığı (q) her deneme için aynıdır. Denemeler birbirinden bağımsızdır. Deneme boyunca n sabit kalır.

Örnekler 3 çocuklu ailelerde kız çocuğu sayısının dağılımı Bir paranın 4 kez atılmasında yazının üste gelmesinin dağılımı Bir kitlede beslenme bozukluğu oranının 0,03 olduğu biliniyor, 10’arlık guruplarda beslenme bozukluğu olan kişi sayısının dağılımı

Dağılımın Elde Edilmesi Örnek : Bir hastanede servislerden memnuniyetsizliğin oranı 0,10’dur. 4 kişilik bir odada iki kişinin şikayet etme olasılığını bulunuz

Odalarda bulunan hasta sayısına n, Şikayet sayısı olan X’in aldığı değerlere de x denilirse, X’in olasılık fonksiyonu; Olarak, ya da olarak da verilebilir.

Örnek: Dört kişilik bir odada iki kişinin şikayet etme olasılığı,

Binom Dağılımının Karakteristikleri Ortalama Varyans ve standart sapma

Örnek: 5 çocuklu ailelerde erkek çocuk sayısına ilişkin dağılımı oluşturunuz ve aşağıdaki soruları cevaplayınız. (erkek çocuk sayısı X, ailede erkek çocuğu olma olasılığı ise p=1/2’dir) a) 3 ve daha az erkek çocuk olması olasılığı nedir? b) 2 den daha çok erkek çocuk olma olasılığı nedir?

Erkek Çocuk Sayısı (X) 1 2 3 4 5

a) 3 ve daha az erkek çocuk olması olasılığı nedir? P(X3)=P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)= 0,0313+0,1563+0,3125+0,3125=0,8126 b) 2 den daha çok erkek çocuk olması olasılığı nedir? P(X>2)= P(X=3)+ P(X=4)+ P(X=5)= 0,3125+0,1563+0,0313=0,5001

Örnek Kapıdan satış yapan bir satıcının satış yapma olasılığı %10’dur. Bu satıcı 5 kapıya gidiyor. a)Dağılımın ortalamasını, varyansını ve standart sapmasını bulunuz b)Satıcının gittiği 5 kapıdan 3’üne satış yapma olasılığını bulunuz c)En fazla 4 kapıya satış yapma olasılığını bulunuz.

örnek a) b)

örnek c) P(X4)=P(X=0)+ P(X=1)+ P(X=2)+ P(X=3)+P(X=4) P(X4)=1-P(X=5) P(X4)=1-0,0001=0,9999

Poisson Dağılımı Belli bir zaman aralığında, belli bir alanda ya da hacimde nadir rastlanan olayların olasılık dağılımları Poisson dağılımı ile modellenebilir. Örnekler Üretim bandından yeni çıkmış bir parti aracın boyalarındaki kusurların sayısı Alıcı firmaya bir partide yapılan yüklemelerdeki kusurlu mal sayısı Bir lokantada belirli bir sürede hizmet edilmeyi bekleyen müşteri sayısı Bir kavşakta bir ay içinde meydana gelen ölümcül trafik kazalarının sayısı Gişelerden belirli bir zaman aralığında geçen araç sayısı

Poisson Dağılımı Varsayımlar İhtimal aralığın genişliğine bağlıdır. Aralık arttıkça ihtimal artar. Bir aralıkta olayların meydana gelme sayısı diğer aralıkta meydana gelme sayısını etkilemez Verilen çok küçük bir zaman veya mekan diliminde ilgilenilen türden sonucun bir defada gerçekleşme olasılığı (p) değişmemekte ve p<0,05 eşitsizliğine uymaktadır.

olarak tanımlanır. Burada, e=2,71828 Poisson dağılımının ortalaması ve varyansı aynı olup tek bir parametresi vardır ve bu parametre  ile gösterilir. X Poisson raslantı değişkeninin olasılık fonksiyonu, olarak tanımlanır. Burada, e=2,71828 x=belirli bir aralıkta ilgilenilen olay sayısı, =belirli bir aralıkta ilgilenilen olayın ortalama oluş sayısı

Poisson Dağılımının Karakteristikleri Dağılıma ilişkin ortalama, E(X)= ==np Dağılıma ilişkin varyans, 2==np Dağılıma ilişkin standart sapma,

Örnekler Northwest havayolları firmasının yaptığı ve tesadüfi olarak alınmış 1000 uçuşta 300 bagajın kaybolduğu bulunmuştur. a)Hiç bagaj kaybetmeme ihtimali nedir? b)1 bagaj kaybetme ihtimali nedir?

Örnekler Ortalama kayıp bagaj sayısı=300/1000=0,3 a) b)

Örnekler Bir sağlık ocağına bir yılda gelen yaşlı ve sosyal yardım isteyen hastaların ortalama sayısı 20 olsun. a)Üç ayda gelecek hasta sayısı ortalama olarak nedir? b)üç ayda 1 hasta gelme olasılığı nedir?

Örnekler Burada 3 aylık zaman dilimi bir yılın ¼’üdür. [t=12(1/4)=3] t=1 yıl iken =20, t=1/4 ay iken t=201/4=5 olur. 3 ayda1 hasta gelme olasılığı,

Örnekler Yılda 2000 dosyanın kayıtlara geçtiği bir hastanede hatalı bilgi içeren dosyalarda ortalama hata sayısı =0,4 olup Poisson dağılımına uymaktadır. Bir sosyal hizmetler kurumunda bir yıl içinde tutulan dosyalarda, hiç hatalı bilgi içermeyen, 1 hata içeren, 2 hata içeren, 3 hata içeren dosyaların bulunma olasılıklarını ve 2000 dosyada kaç tane bulunacağını hesaplayınız.

Örnekler 0,670320001340 adet 0,26812000536 adet

0,05362000107 adet 0,0072200014 adet

Poisson birikimli olasılık tablosu X  0.10 0.20 0.30 0.40 0.50 0.60 0.70 0.80 0.90 1 2 3 4 5 6 7 0.9048 0.0905 0.0045 0.0002 0.0000 0.8187 0.1637 0.0164 0.0011 0.0001 0.7408 0.2222 0.0333 0.0033 0.0003 0.6703 0.2681 0.0536 0.0072 0.0007 0.6065 0.3033 0.0758 0.0126 0.0016 0.5488 0.3293 0.0988 0.0198 0.0030 0.0004 0.4966 0.3476 0.1217 0.0284 0.0050 0.4493 0.3595 0.1438 0.0383 0.0077 0.0012 0.4066 0.3659 0.1647 0.0494 0.0111 0.0020 Örneğin:  = .50 için P(x = 2)

Örnekler Ayşe hanım bir bankada kredilerden sorumlu müdürdür. Yılların verdiği tecrübeyle kredi alan birisinin geri ödememe ihtimalinin %5 olduğunu biliyor. Geçen ay 40 krediye onay vermiştir. 3 kredinin geri ödenmeme ihtimali nedir? Cevap: a)0,0613