OLASILIKLI ENVANTER MODELLERİ SAKARYA UNIVERSİTESİ  ENDUSTRI MUHENDISLIĞI YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI – II OLASILIKLI ENVANTER MODELLERİ   DERS NOTLARI KAYNAK-WINSTON

OLASILIKLI STOK MODELLERİ Bir önceki dersteki bütün modellerde herhangi bir periodda talep kesin olarak bilinmektedir. Bu derste verilen zaman periodunda talebin belirsiz veya olasılıklı olduğu modelleri ele alacağız. TEK PERİYODLU KARAR MODELLERİ Pek çok durumda karar verici bir periyod için q değerine karar verecektir (q stoklanacak ürün miktarını gösteren değerdir). d ise rassal değişken D’ye göre değer almaktadır. Gazeteci problemi tek periyodlu problemdir. Burada karar verici q değerine karar verdikten sonra, q ve d değerlerine bağlı olarak c(d,q) maliyeti oluşur. Burada bu maliyetin beklenen değerini minimize etmeye çalışırız.

MARJINAL ANALİZ KAVRAMI D tamsayı değerli bir kesikli bir değişken olsun ve P(D=d)=p(d) olsun. E(q) karar vericinin q değerini seçtiğinde beklenen değeri olsun. E(q) = 𝑑 𝑝 𝑑 𝑐(𝑑,𝑞) Pek çok pratik uygulamada E(q) fonksiyonu konveks bir fonksiyondur. q* E(q) değerini minimize eden q değeri olsun. Bu durumun grafiği Şekil 1’deki gibidir.

q değerine her seferinde bir marjinal birim ilave eder ve E(q) değerlerine bakarız. q* optimum değerine gelene kadar E(q+1)-E(q) <=0 olur. q* değerine geldiğimizde ilk defa E(q*+1)-E(q*) >=0 olur. Bu nokta dönüm noktasıdır. Minimum noktadır Şekil 1. Marjinal birim ekleyerek kontrol ettiğimiz için bu analize marjinal analiz denir.

F(q*) >= 𝑐𝑢 𝑐𝑢+𝑐0 (3) GAZETE SATICISI PROBLEMİ (KESİKLİ TALEP) Organizasyonlar aşağıdaki olayların oluştuğu durumlarda envanter problemleriyle karşılaşır. Organizasyonlar ne kadar birim sipariş vereceklerine karar verirler. q sipariş verilen birim miktarını göstermektedir p(d) olasılıkla d birim talep oluşur. d nonnegatif tamsayıdır. D ise talebi gösteren rassal değişkendir. d ve q değerlerine bağlı olarak c(d,q) maliyeti oluşmaktadır. co = Fazla stok tutma maliyeti cu= Eksik stok tutma maliyeti F(q) = P (D<= q) Talep dağılım fonksiyonu olsun. Marjinal analiz uygulanabilir olduğundan E(q) aşağıdaki eşitsizliği sağlayan en küçük q değeriyle minimize olacaktır. F(q*) >= 𝑐𝑢 𝑐𝑢+𝑐0 (3)

Ocak 1 tarihine kadar satılması beklenen takvim adedi ÖRNEK 1: Kampüs Kırtasiye Ağustos ayında gelecek yıl için ne kadar takvim sipariş edeceğine karar verecektir. Her bir takvim kırtasiyeye 2 TL’ye malolmakta ve 4,5 TL’ye satılmaktadır. Satılmayan takvimler 75 krş’a iade edilebilmektedir.Kırtasiye Ocak 1 tarihine kadar aşağıdaki tablodaki (Tablo 1) olasılık yoğunluk fonksiyonuna göre takvimlerin satılacağına inanmaktadır. Kırtasiye takvim satışlarından beklenen net karı maksimize etmeye çalışmaktadır. Kırtasiye ağustos ayında ne kadar takvim siparişi vermelidir ? Ocak 1 tarihine kadar satılması beklenen takvim adedi Satılması beklenen takvim adedi Olasılık 100 0,3 150 0,2 200 250 0,15 300 0,05 Tablo 1: Takvim satışları ile ilgili Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu

ÇÖZÜM 1: q = Ağustos ayında sipariş verilen takvim sayısı d = Ocak 1 tarihine kadar talep edilen takvim sayısı F(q*) = P (D<= q) >= 𝑐𝑢 𝑐𝑢+𝑐0 𝑐𝑢 𝑐𝑢+𝑐0 = 2,5 3,75 = 2 3 olur. P (D <= 100) = 0,30 P(D<= 150) = 0,50 P(D<=200) = 0,80 böylece F(200) = P (D<= 200) >= 2 3  0,80 >= 2 3 (200 takvim eşitsizliği sağlayan en küçük q değeridir) 200 takvim siparişi verilmelidir.

GAZETE SATICISI PROBLEMİ: SÜREKLİ TALEP Talep D, f(d) olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahip sürekli rassal değişken olsun. Kesikli talep durumunda olduğu gibi, Karar vericinin beklenen maliyeti aşağıdaki eşitsizliği ilk sağlayan en küçük q* değeri için minimize olur. F(q*) = P(D<=q*) >= 𝑐𝑢 𝑐𝑢+𝑐0 (4) Talep sürekli rassal değişken olduğundan yukarıdaki eşitsizliğin eşitliğe dönüşerek gerçekleştiği ilk noktada optimum q* sipariş değerini buluruz. P(D<=q*) = 𝑐𝑢 𝑐𝑢+𝑐0 veya P(D>=q*) = 𝑐0 𝑐𝑢+𝑐0 (5) olur.

ÖRNEK 2: Tabipler Birliği Antalya’da bir toplantı düzenleyecektir ÖRNEK 2: Tabipler Birliği Antalya’da bir toplantı düzenleyecektir. Toplantıdan 6 ay önce Tabipler birliği ne kadar odanın rezerv edileceğine karar vermelidir. Şimdi Odayı tanesi 50 TL’ye kiralayabilmektedirler. Dernek toplantıya kaç kişinin katılacağını bilmemektedirler fakat dernek oda talebinin normal dağılıma uyacağını ortalamasının 5000 oda ve standart sapmasının 2000 oda olacağını hesaplamaktadır. Gereken oda sayısı rezerv edilen sayıdan fazla olursa komşu otellerden 80 TL’ye oda ayarlanabilmektedir. Toplantıya katılanlar için komşu otellerde kalmak çok da pratik değildir. Bu uygunsuzluk oda başına 10 TL olacak şekilde fiyatlandırılmıştır. Eğer dernek toplam maliyeti minimize edecek sayıda oda rezerv etmek isterse kaç oda rezervasyonu yapmalıdırlar.

ÇÖZÜM 2: q = rezerv edilen oda sayısı d= gerçekte gereken oda sayısı Eğer d<=q ise sadece rezervasyonla maliyet oluşur Toplam maliyet = 50q olur. Eğer d>=q ise maliyetler aşağıdaki gibi olur q odayı rezerv etme maliyeti = 50q d-q odayı komşu otelden kiralama maliyeti = 80 (d-q) Komşu otelden kiramalanın uygunsuz olma maliyeti = 10 (d-q) + Toplam Maliyet = 90d -40q olur. Şu halde 𝑐𝑢 =40 ve 𝑐0 =50 TL olur P(D<=q*) = 𝑐𝑢 𝑐𝑢+𝑐0 = 40 90 = 4 9 olur.

P(D<=q*) = 𝑐𝑢 𝑐𝑢+𝑐0 = 40 90 = 4 9 =0,444 P(D<=q*) =0,444 ise P( 𝐷−5000 2000 <= 𝑞∗−5000 2000 ) =0,444 P(𝑍<= 𝑞∗−5000 2000 ) =0,444  P(𝑍≤- 0,14) =0,444 -0,14 = 𝑞∗−5000 2000 ise q* = 4720 oda olur. Şekil 2: Otel odası rezervasyonu için q* değerine karar verme

ÖRNEK 3: THY İstanbul Paris seferi 200 Euro’dur ÖRNEK 3: THY İstanbul Paris seferi 200 Euro’dur. Her bir uçak 100 yolcuya kadar almaktadır. Genellikle bilet alan bazı yolcular gelmemektedir. Gelmeyen yolculardan dolayı firma 100’den fazla bilet satmaktadır. Bu durumda da fazla yolcu geldiğinde kanunlar bileti olup ta binemeyen her bir yolcu için 100 Euro teselli ücreti ödettirmektedir. Geçmiş veriler bileti olupta gelmeyen yolcuların ortalaması 20 ve standart sapması 5 olan normal dağılıma uyduğunu göstermektedir. Beklenen gelir – teselli ücretini maksimize edilen bilet sayısı kaç adet olmalıdır. Not: Bileti olupta gelmeyen yolcular 200 euronun tamamını geri alabilmektedirler.

q=Firma tarafından satılan bilet adedi ÇÖZÜM 3: q=Firma tarafından satılan bilet adedi q-100 = Ekstra satılan bilet adedi d=Bileti olupta gelmeyen yolcu sayısı Bu durumda Tablo 9’daki maliyetler oluşur. q-d Toplam Maliyet q-d <= 100 (-200(q-d)) q-d >=100 (100(q-d-100) - 200*100) Tablo 9: Toplam maliyetin (q-d) değerine göre hesaplanması Eğer q-100 karar değişkeni olarak düşünülürse Şu halde 𝑐𝑢 =200 ve 𝑐0 =100 euro olur P(D<=q*-100) = 𝑐𝑢 𝑐𝑢+𝑐0 = 200 300 = 2 3 = 0,667 olur. P( 𝐷−20 5 <= q∗−100−20 5 )  P (Z<= q∗−120 5 ) =0,667 ise q∗−120 5 =0,43 q*=122,15 olur.

Şekil 3: Havayolu rezervasyonunda q* değerine karar verilmesi

BELİRSİZ TALEBİN OLDUĞU DURUMDA ESM : (r,q) MODELİ Bu durumda talep rassal olup tedarik süresi 0’dan büyüktür. Büütn talebin sonradanda olsa karşılandığını kabul ediyoruz. Sürekli gözden geçirme modelini çalışıyoruz. Envanter r seviyesine düşene kadar gözden geçirilip, r seviyesine gelince q kadar sipariş verilir. Aşağıdaki notasyonları bu derste kullanacağız. K = Sipariş Maliyeti h= Stok tutma (Elde bulundurma) maliyeti/birim/yıl L=Her bir sipariş için tedarik süresi (Aksi belirtilene kadar bilinmektedir) q=Sipariş Miktarı D= Rassal değişken (sürekli) , Yıllık talebi göstermekte ortalaması E(D) ve varyansı var D ve standart sapması σD dir. cB = Yok satma maliyeti (Ne kadar sürede tedarik edileceğinden bağımsız) B(t) = t zamanında karşılanmamış miktar ES(t) = t zamanında eldeki stoğu gösterir. I(t) = t zamanında net stok (t=ES(t) – B(t)) r= Sipariş noktası (Envanter seviyesi r seviyesine erişince sipariş verilir)

Şekil 3 : Sipariş noktası modelinde stok seviyesinin zamana göre seyri

X = Tedarik süresindeki talebi gösteren rassal değişken E(X) = L * E(D) var X = L *(var D) σx = σD 𝐿 olur (8) Eğer Tedarik süresi deterministik değilde rassal değişken ise L = tedarik süresini gösteren rassal değişken ise Ortalama = E(L) Varyans = var L Standart Sapma = σL olur. Eğer Tedarik süresi (L) rassal değişmekte ve X tedarik süresince talep ise ve tedarik süresinin uzunluğu ile tedarik süresinin her bir birimindeki talep bağımsızsa Tedarik süresince ortalama (beklenen) talep E(X) = E(L)E(D) Varyans var X = E(L)(var D) + E(D)2(var L) (8’) Standart sapma σx = 𝑣𝑎𝑟 𝑋 olur.

SİPARİŞ NOKTASININ , SONRADAN TESLİMİN (TEDARİĞİN) İZİN VERİLDİĞİ DURUMDA BELİRLENMESİ: q* = ( 2𝐾𝐸(𝐷) ℎ )1/2 (13) P (X >= r*) = ℎ𝑞∗ 𝑐𝐵𝐸(𝐷) Eğer ℎ𝑞∗ 𝑐𝐵𝐸(𝐷) > 1 ise (13) çözümsüzdür, Stok tutma maliyeti stok boşalması maliyetine göre oldukça yüksektir ve sipariş noktası izin verilen en küçük stok seviyesi olarak belirlenmelidir. Eğer (13) çözüldüğünde r* değeri negatif çıkarsa, sipariş noktası en küçük kabul edilebilir seviye olarak belirlenmelidir.

ÖRNEK 5-1: Her bir yıl kampüs kırtasiye ortalama 1000 kutu CD satmaktadır. Yıllık talep normal dağılıma uymakta ve standart sapması 40.8 kutudur. Kırtasiye CD’leri bölgesel bir dağıtıcıdan tedarik etmekte ve her bir sipariş iki hafta içinde gelmektedir. Sipariş verme maliyeti 50 TL olup bir kutu CD’yi bir yıl elde tutma maliyeti 10 TL dir. Stok boşalması (Yok Satma) maliyeti ise 20 TL/kutu dur. Yok satma maliyeti içerisinde müşteri memnuniyetsizliği ve özel sipariş açma maliyetleri bulunmaktadır. Bütün taleplerin sonradan karşılanmasına izin verildiği durumda Sipariş miktarına Sipariş verme noktasına Emniyet stoğu seviyesine Yok satma durumunun oluşma ihtimaline karar verin.

ÇÖZÜM 5-1: h=10 TL /kutu/yıl, K = 50 TL /sipariş E(D)=1000 /yıl ESM değerini bularak işe başlayalım q* = ( 2𝐾𝐸(𝐷) ℎ )1/2 = ( 2∗50∗1000) 10 )1/2 = 100 (Sipariş Miktarı  Cevap a) Şimdi q*= 100 değerini eşitlik (13)’te kullanarak sipariş noktasını buluruz. Bunu yaparken tedarik süresinin olasılık dağılımına karar vermemiz gerekir. Bu arada L=2 hafta verilmiştir. E(X) = E(D)/26 = 1000/26 = 38.46 σx = σD 𝐿 = 40.8 * 2/52 = 8 cB = 20 TL şimdi eşitlik (13) kulanılırsa P (X >= r*) = ℎ𝑞∗ 𝑐𝐵𝐸(𝐷) = 10∗100 20∗1000 = .05 (14) Sipariş noktası öyle ayarlanmalıdır ki yok satma olasılığı %5 olsun. (Yok satma ihtimali %5  Cevap d)

P ( 𝑋−38.46 8 >= 𝑟−38.46 8 ) = .05 P ( 𝑍 >= 𝑟−38.46 8 ) = .05 (14)’ü X rassal değişkenine göre standardize edersek P ( 𝑋−38.46 8 >= 𝑟−38.46 8 ) = .05 P ( 𝑍 >= 𝑟−38.46 8 ) = .05 Standart normal dağılım tablosundan P ( 𝑍<= 1.65) = .9505 bulunur Öyleyse P ( 𝑍>= 1.65) =1- .9505 =.0495 olur. 𝑟−38.46 8 = 1.65 ise r*= 38.46 + 8*1.65 = 51.66 olur. (Sipariş noktası  cevap b) Emniyet stoğu = r* - E(X) = 51.66 – 38.46 = 13.20 (Emniyet stoğu  Cevap c )

SORU 5-2: Şimdi sipariş noktası ve emniyet stoğunun değişken tedarik süresinden nasıl etkileneceğini görelim. Şimdi tedarik süresinin ortalaması 2 hafta standart sapması 1 hafta olduğunu kabul edelim. CEVAP 5-2: (8’) Eşitliklerini kullanırsak Tedarik süresince ortalama (beklenen) talep E(X) = E(L)E(D) = (2/52)*1000 =38.46 Varyans σx2= var X= E(L)(var D)+E(D)2(var L)=(2/56)*(40.8)2+10002*(1/52)2 =433.84 Standart sapma σx = 𝑣𝑎𝑟 𝑋 = 433.84 = 20.83 olur. r* = 38.46 + 1.65*(20.83) = 72.83 (Yeni sipariş Noktası - Eski 51.66 idi) Emniyet stoğu = 1.65*(20.83) = 34.37 ( Eski emniyet stoğu = 13.20 idi) Görüldüğü gibi tedarik süresi değişken olunca sipariş noktası eskiye göre yükselmiş ve belirsizlikten dolayı emniyet stoğu neredeyse üç katına çıkmıştır.

SATIŞ KAYBI DURUMUNDA SİPARİŞ NOKTASINA KARAR VERME: Şimdi ise stok boşalması durumunda oluşan bütün taleplerin kaybedildiğini kabul edersek bu durumda sipariş noktası ne olur? Bu durum sonradan teslimin olduğu duruma benzer. Benzer şekilde ESM ‘ye karar veririz ve ardından sipariş noktasına aşağıdaki formülleri kullanarak karar veririz. Yeni durumda cB değeri yerine cLS değerini kullanır ve aşağıdaki yeni formülleri uygularız. cB = Sonradan teslime izin verilen durumda ceza maliyeti /birim cLS = Sonradan teslime izin verilmeyen durumda satış kaybı maliyeti/birim q* = ( 2𝐾𝐸(𝐷) ℎ )1/2 (15) P (X >= r*) = ℎ𝑞∗ ℎ𝑞∗+𝑐𝐿𝑆𝐸(𝐷)

ÖRNEK 5-3: Örnek 5-1 ‘deki örneği tekrar ele alırsak; Her bir CD kutusu 50 TL’ye satılmakta ve 30 TL’ye alınmakta olsun. Stok boşalması maliyeti (müşteri memnuniyetsizliği ) 20 TL idi şimdi buna kaybolan karıda (50-30=20) eklersek cLS = 20 +20 = 40 olur. Örnek 5-1’den hatırlayacak olursak E(D)=1000/yıl h=10/kutu/yıl K=50/sipariş ve q*=100 (100 bulmuştuk. q* aynı şekilde bulunduğu için satış kaybı durumundada 100 olur) Şimdi formül (15)’i kullanarak r* (Sipariş noktasına karar verelim) P (X >= r*) = ℎ𝑞∗ ℎ𝑞∗+𝑐𝐿𝑆𝐸(𝐷) = 10∗100 10∗100+40∗1000 =0.024 (15’) olur. E(X) = E(D)/26 = 1000/26 = 38.46 σx = σD 𝐿 = 40.8 * 2/52 = 8 (15’) Eşitliğini standardize edersek P ( 𝑋−38.46 8 >= 𝑟∗−38.46 8 ) = 0.024 P (𝑍 >= 𝑟∗−38.46 8 ) = 0.024 Standart normal dağılım tablosundan P (𝑍 <= 1.98) = 0.9762 böylece

P (𝑍 >= 1.98) =1- 0.9762=0.0238 𝑜𝑙𝑢𝑟. 𝑟∗−38.46 8 =1.98  r* = 38.46 + 8*1.98 = 54.30 Satış kaybı durumunda Emniyet Stoğu = r* - E(X) = 54.30 – 38.46 = 15.84 olur.

STOK POLİTİKALARI : (r,q) sürekli gözden geçirme politikası : Stok seviyesi sürekli kontrol edilir ve r* (Sipariş noktası ) seviyesine indiğinde q* (Sipariş miktarı) kadar sipariş verilir. (s,S) sürekli gözden geçirme politikası : Bazen talepler birden fazla olmaktadır. O zaman stok birden yukarıdaki (r,q) politikası kullanıldığında r’nin altına düşmektedir. Bu durumda (r,q) uygun olmayabilir. (s,S) politikasında stok seviyesi s değerine yada aşağıya düşerse bu seviyeyi S değerine eşitleyecek şekilde sipariş verilir. Eğer talepler birer birer oluşuyorsa o zaman s ile r benzer ve S-s ile de q değerleri benzer düşünülebilir ve (s,S) politikası ile (r,q) politikası aynı olur. (R,S) periodik gözden geçirme modeli : Bu durumda stok sürekli gözlenmez sadece belli periodlarda gözlemlenir ve bu periodlarda stok seviyesi tekrar S seviyesine çıkacak kadar sipariş verilir. Örneğin (0.25, 100) politikası kullanılıyorsa stok her bir çeyrekte gözden geçirilir ve tekrar 100 seviyesine kadar sipariş verilir. Örneğin çeyrekte stoğu kontrol ettiğimizde stokta 27 ürün varsa o zaman 100-27 = 73 birim sipariş verilir.

ABC SINIFLANDIRMA SİSTEMİ Stoktaki ürünler A sınıfı B sınıfı ve C sınıfı diye sınıflandırılır. A sınıfı ürünler en önemli ürünlerdir. Stok yüzdesinin az bir bölümünü oluşturmasına karşın satış geliri hacminin yüksek bir bölümünü oluşturur. B sınıfı ürünler orta derecede önemli ürünler olup, stok yüzdesi ve satış geliri yüzdesi ortalama olan ürünlerdir. C sınıfı ürünler en az önemli ürünlerdir. Stok yüzdesinin büyük bir kısmını oluşturmasına karşılık satış gelirinin düşük bir yüzdesini oluşturur. Aşağıdaki tablo ürün sınıflarını ve stok yüzdesi ile satış geliri yüzdesi değerlerini yaklaşık vermektedir. Ürün Sınıfı Stok Yüzdesi Satış Geliri Yüzdesi A %5-%20 %55-%65 B %20-%30 %20-%40 C %50-%75 %5-%25 Tablo : ABC Sınıflandırma Sistemi En önemli ürünler örneğin A sınıfı ürünler sürekli veya daha sık kontrol edilirken, Az önemli ürünler Örneğin C sınıfı ürünler daha seyrek veya periyodik olarak kontrol edilir.