Bölüm 07 Sürekli Olasılık Dağılımları Dr. Halil İbrahim CEBECİ Statistics Lecture Notes

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Sayılamayan (sürekli) değerler alan rassal değişkenler sürekli rassal değişkenler olarak tanımlanır.  Olası değerlerin bir listesi oluşturulamaz (sonsuz sayıda değer)  Sonsuz sayıda olası sonuç olduğundan her bir değerin olasılığı «0» dır. Bu nedenler değerlerden değil, değerler aralığından bahsedebiliriz. Örn. Bir zar atma deneyinde P(X=5) olasılığı önemlidir, fakat bir görevin tam olarak bitiş süresi için aynı olasılıktan bahsetmek uygun olmaz, çünkü gerçekten 5 dakikada bir görevin tamamlanması neredeyse imkansızdır. İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu 𝒇(𝒙) aşağıdaki özellikleri taşır. (𝒂 ≤ 𝒙 ≤ 𝒃 aralığında) 𝒂 ile 𝒃 arasındaki bütün 𝒙 değerleri için 𝒇(𝒙) ≥ 𝟎 dır. Eğrinin altındaki toplam alan (a ile b arasındaki) sıfıra eşittir. f(x) alan=1 İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

P ( a ≤ x ≤ b ) = P ( a < x < b ) Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu a Kümülatif Dağılım Fonksiyonu: 𝑋 sürekli değişkenin 𝑥 değerini aşmadığı alandaki olasılıkların toplamı olarak ifade edilir. 𝐹(𝑥) şeklinde ifade edilir. f(x) P ( a ≤ x ≤ b ) = P ( a < x < b ) (Tek bir değerin olasılığının sıfır olduğunu unutmayalım) a b x İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Düzgün Dağılım İki değer arasında kalan bütün değerlerin olasılıklarının birbirine eşit olduğu dağılım türüdür. f(x) Düzgün olasılık yoğunluk fonksiyonu altındaki alan toplamı bire eşittir. x xmin xmax İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Düzgün Dağılım Düzgün Olasılık Yoğunluk Fonksiyonu: f(x) = 𝑓(𝑥) = 𝑥 değişkeni için olasılık yoğunluk fonksiyonu a = en küçük 𝑥 değeri b = en büyük 𝑥 değeri İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Düzgün Dağılım Düzgün dağılımın ortalaması; Varyansı; İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Düzgün Dağılım İki değer altında kalma olasılığı, düzgün dağılım grafiğindeki ilgili dikdörtgenin alanına eşittir. Bir X değişkeninin 𝑥 1 ile 𝑥 2 değeri arasında olma olasılığı; 𝑃 𝑥 1 <𝑋< 𝑥 2 =𝑃 𝑥 1 ≤𝑋≤ 𝑥 2 = 𝑥 2 −𝑥 1 𝑏−𝑎 İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Düzgün Dağılım Örn7.1 – Bir benzin istasyonunda bir gün içerisinde satılan akaryakıtın 2000 ila 5000 litre arasında düzgün dağıldığı belirlenmiştir. Günlük akaryakıt satışının 2500 ila 3000 litre arasında olması olasılığı nedir? Günlük en az 4000 litre satılması olasılığı nedir? Tam olarak 2500 litre akaryakıt satılması ihtimali nedir? İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Düzgün Dağılım C7.1a – 𝑃 2500<𝑋<3000 = 𝑥 2 −𝑥 1 𝑏−𝑎 = 3000−2500 5000−2000 =0.1667 C7.2a – 𝑃 𝑋>4000 = 𝑥 2 −𝑥 1 𝑏−𝑎 = 5000−4000 5000−2000 =0.3333 C7.3a – 𝑃 𝑋=2500 =0 İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Normal Dağılım Bütün olasılık dağılımları arasında en önemlisi «Normal Dağılım» dır. Normal rassal değişken için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir. Where 𝑒 = 2.71828 𝜋 = 3.14159 𝜇 = Ana kütle ortalaması 𝜎 = Ana kütle standart sapması 𝑥 =  < 𝑥 <  İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Normal Dağılım ‘Çan şeklindedir’ Simetriktir Ortalama, medyan ve mod aynıdır. Dağılım parametreleri ortalama ve standart sapmadır. Rassal değişken teorik olarak her değeri alabilir: +  to   İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Normal Dağılım Sürekli rassal değişkenlerin büyük bir kısmı bu dağılıma uygun olarak dağılırlar. Örneklerin dağılımları, örnek büyüklüğü arttıkça normal dağılıma yakınsanır. Olasılıkların hesabı kolay ve anlaşılırdır. İşletmede alınan birçok karar normal dağılım fonksiyonu yardımıyla gerçekleştirilir. İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Normal Dağılım Normal dağılım için kümülatif olasılık fonksiyonu aşağıdaki gibidir. f(x) x0 x İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Normal Olasılıkları Bulmak Normal Dağılım Normal Olasılıkları Bulmak x a μ b x a μ b x a μ b İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Normal Dağılım Her normal dağılım olasılığı, basit bir dönüşümden sonra rahatlıkla hesaplanabilir. 𝑋 değişkeni standart normal rassal değişkene (𝑍) dönüştürülerek standart normal değerler tablodan okunabilir. Dönüştürme işlemi için aşağıdaki formül uygulanır. f(Z) 1 Z İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Normal Dağılım Eğer bir X değişkeni 100 ortalama ve 50 standart sapma ile normal dağılıyorsa, X=200 değeri için standart normal rassal değişken Z değeri aşağıdaki gibi hesaplanır. Bu değerin manası X=200 değeri ortalamadan 2 standart sapma kadar sapmıştır. İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Normal Dağılım Unutmayalım ki standart normal ve normal rassal değişkenlerin (𝑍 ve 𝑋) dağılımlarının şekli tamamen aynıdır. 100 200 X (μ = 100, σ = 50) 2.0 Z (μ = 0, σ = 1) İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

P(Z > 1.6) ? Normal Tabloları Kullanmak 1.6 P(Z > 1.6) = .5 – P(0 < Z < 1.6) = .5 – .4452 = .0548 İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

P(Z < -2.23) ? Normal Tabloları Kullanmak P(0 < Z < 2.23) 2.23 P(Z < -2.23) = P(Z > 2.23) = .5 – P(0 < Z < 2.23) = .0129 İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

P(Z < 1.52) ? Normal Tabloları Kullanmak P(Z < 0) = .5 1.52 P(Z < 1.52) = .5 + P(0 < Z < 1.52) = .5 + .4357 = .9357 İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

P(0.9 < Z < 1.9) ? Normal Tabloları Kullanmak 0.9 1.9 P(0.9 < Z < 1.9) = P(0 < Z < 1.9) – P(0 < Z < 0.9) =.4713 – .3159 = .1554 İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Normal Dağılım Örn7.2 - Bir bilgisayarın montajlanması işi 50 dakika ortalamalı ve 10 dakika standart sapmalı normal dağılıma uymaktadır. Herhangi bir bilgisayarın 45 ila 60 dakika arasında monte edilmesi ihtimali nedir? C7.2 – Problemin cebirsel olarak ifadesi 𝑷 𝟒𝟓 < 𝑿 < 𝟔𝟎 =? şeklindedir. İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Normal Dağılım Ortalama 50 ve standart sapma 10 İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

𝑷(–.𝟓 < 𝒁 < 𝟎) + 𝑷(𝟎 < 𝒁 < 𝟏) Normal Dağılım 𝑷(–.𝟓 < 𝒁 < 𝟏) olasılığını iki parçaya ayırarak hesaplayabiliriz. 𝑷(–.𝟓 < 𝒁 < 𝟎) + 𝑷(𝟎 < 𝒁 < 𝟏) Normal dağılımın simetrik olduğu göz önüne alınırsa: 𝑃(–.5 < 𝑍 < 0) = 𝑷(𝟎 < 𝒁 < .𝟓) Hesaplanması gereken olasılık aşağıdaki şekildedir. 𝑷(–.𝟓 < 𝒁 < 𝟏) = 𝑷(𝟎 < 𝒁 < .𝟓) + 𝑷(𝟎 < 𝒁 < 𝟏) İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Normal Dağılım 𝑷(–.𝟓 < 𝒁 < 𝟏) = .𝟏𝟗𝟏𝟓 + .𝟑𝟒𝟏𝟒 = .𝟓𝟑𝟐𝟖 ND tablosu bize olasılıkları verir. 𝑷(𝟎 < 𝒁 < 𝒛) İlk sütun= tamsayı + ilk ondalık hane Üst satır = İkinci ondalık hane P(0 < Z < 0.5) P(0 < Z < 1) 𝑷(–.𝟓 < 𝒁 < 𝟏) = .𝟏𝟗𝟏𝟓 + .𝟑𝟒𝟏𝟒 = .𝟓𝟑𝟐𝟖 İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Normal Dağılım Verilen bir olasılık için 𝑋 değeri hesaplamak: Hesaplama adımları; 1. 𝑍 değerini hesaplayın. 2. Hesaplanan değeri 𝑋 değişkenine aşağıdaki formül yardımıyla döndürün. İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Normal Dağılım Örn7.3 – X değişkeninin 8 ortalama ve 5 standart sapma ile normal dağıldığını varsayalım. Bütün değerlerin %20 sinin altında olduğu X değerini belirleyin? X ? 8.0 .2000 Z İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Normal Dağılım A7.3 – 1. Bilinen olasılık için tablo kullanarak Z değerini hesaplayın. Standart Normal Dağılım Tablosu 𝑍 𝐹(𝑍) .82 .7939 .80 .20 .83 .7967 .84 .7995 .85 .8023 X ? 8.0 Z -0.84 İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Normal Dağılım A7.3 – 2. X değerini aşağıdaki formül kullanarak hesaplayın. Sonuç olarak bütün değerlerin %20 si 3,80 değerinin altında olması beklenir. İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Üstel Dağılım İki olayın oluşu arasındaki zamanın dağılımının genelde üstel olduğu kabul edilir. Örnekler: Bir boşaltma alanına kamyonların gelişleri Bir ATM den para çekişlerin arasındaki süre Bir firma müşteri hizmetlerine gelen telefonlar arası süre Üstel dağılım için olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıdaki gibidir. e= 2.71828 İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Üstel Dağılım 𝑃 𝑋>𝑥 = 𝑒 −𝜆𝑥 𝑃 𝑋<𝑥 = 1−𝑒 −𝜆𝑥 Tek bir  (lambda) parametresi ile tanımlanır. 𝜇=𝜎= 1 𝜆 Eğer X bir üstel rassal değişken ise, 𝑃 𝑋>𝑥 = 𝑒 −𝜆𝑥 𝑃 𝑋<𝑥 = 1−𝑒 −𝜆𝑥 𝑃 𝑥 1 <𝑋< 𝑥 2 =𝑃 𝑋< 𝑥 2 −𝑃 𝑥 1 <𝑋 = 𝑒 −𝜆 𝑥 1 − 𝑒 −𝜆 𝑥 2 İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Üstel Dağılım Örn7.4 – Bir alkalin pilin ömrünün 𝜆=0.05 olacak şekilde üstel dağıldığı belirlenmiştir. Standart sapma ve ortalama nedir? Bir pilin 10 ila 15 saat arasında bitmesi ihtimali nedir? Bir pilin 30 saatten fazla dayanma ihtimali nedir? İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Üstel Dağılım C7.4a – Ortalama ve standart sapma aynıdır ve aşağıdaki gibi hesaplanır. 𝜇=𝜎= 1 𝜆 = 1 0.05 =20 ℎ𝑜𝑢𝑟𝑠 C7.4b – 10 saat ile 15 saat arasında pil ömrünün olması olasılığı aşağıdaki gibi hesaplanır. 𝑃 10≤𝑋≤15 = 𝑒 −𝑜.𝑜5(10) − 𝑒 −0.05(15) = 𝑒 −0.5 − 𝑒 −0.75 =0.6065 −0.4724 =0.1341 İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Üstel Dağılım 𝑃 𝑋>20 = 𝑒 −0.05(20) = 𝑒 −1 =0.3679 C7.4c – İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Çalışma Soruları S7.1 – THY İstanbul’dan Gaziantep’e uçuş süresini 2 saat 5 dakika olarak açıklamıştır. Gerçekte uçuş sürelerinin 2 saat ile 2 saat 20 dakika arasında düzgün dağıldığı gözlemlenmiştir. Olasılık yoğunluk fonksiyonu grafiğini çiziniz. Uçuşun 5 dakikadan daha fazla gecikmemesi ihtimali nedir? Beklenen uçuş süresi nedir? İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Çalışma Soruları S7.2 –Dünyada ilk 100 sırada bulunan golfçülerin ilk vuruş mesafeleri 284,7 ila 310,6 metre arasında düzgün dağılmaktadır. a. Olasılık yoğunluk fonksiyonunu matematiksel olarak ifade ediniz? b. Golfçülerin ilk vuruşlarının 290 metreden aşağıda olması ihtimali nedir? c. Golfçülerin ilk vuruşlarının 300 metreden fazla olması ihtimali nedir? d. Golfçülerin ilk vuruşlarının 290 ila 305 metre arasında olması ihtimali nedir? e. Kaç golfçü en az 290 metre başlangıç vuruşuna sahiptir? İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Çalışma Soruları S7.3 – Bir eksoz firması 30 dakikadan daha fazla sürede değişim yapılması durumunda bu işlemden ücret alınmayacağını reklamlarla duyurmuştur. Değişim süresinin 25 dakika ortalama ve 2,5 dakika standart sapma ile normal dağıldığı farz edilirse; Müşterilerin ücret ödemeden eksoz taktırma ihtimali nedir? Montajın 22 ila 26 dakika arasında olması ihtimali nedir? Firma geri ödeme yapılacak müşterilerin %1 aşmamasını istiyorsa reklamlardaki 30 dakika değerini nasıl güncellemelidir. İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Çalışma Soruları S7.4 – Amerika’daki beysbol maçlarının yaklaşık olarak ortalama 156 ve 34 dakika standart sapma değeri ile normal dağıldığı gözlemlenmiştir. Bir maçın 3 saatten fazla sürme ihtimalini bulunuz? Maçların % kaçı 2 ila 3 saat arasında biter? Herhangi bir maçın 1,5 saatten önce bitmesi ihtimali nedir? İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Çalışma Soruları S7.5 – İstanbul menkul kıymetler borsasındaki hisse senetlerinin ortalama değerlerinin 30 TL ve standart sapmalarının 8,2 TL olduğu bilinmektedir. Hisse senedi fiyatlarının normal dağıldığı farz edilirse; Bir firmanın hisse senedi fiyatının 40 TL den fazla olması ihtimali nedir? Herhangi bir firmanın hisse senedi değerinin 20 dolardan fazla olmaması ihtimali nedir? Bir firmanın hisse senedi değeri açısından ilk %10 luk dilimde olması için, hisse senedi fiyatı ne olması gereklemektedir? İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Çalışma Soruları S7.6 – Bir ampulün ömrünün 5000 ortalama ile üstel dağıldığı farz edilmektedir. Bir ampulün ilk 1000 saat içerisinde bozulmasının ihtimali nedir? Bir ampulün en az 7000 saat dayanması ihtimali nedir? Bir ampulün ömrünün 2000 ila 8000 saat arasında olması ihtimali nedir? İstatistik Ders Notları – Bölüm 7

Çalışma Soruları S7.7 – Bir kavşak noktasına gelen araçların gelişler arası sürelerinin 12 saniye ortalama ile üstel dağıldığı öngörülmektedir. Üstel dağılım grafiğini çiziniz. Araçların gelişleri arası sürenini 12 saniyeden az olması ihtimali nedir. Kavşağa 30 saniye boyunca araba gelmeme ihtimali nedir? İstatistik Ders Notları – Bölüm 7