Optimizasyon Modelleri ve Uygulamaları Doğrusal Programlama Temel Kavramlar Dilay Çelebi

OPERATIONS RESEARCH 1. MS/OR is the application of scientific methods, techniques and tools to problems involving the operations of systems so as to provide those in control of the operations with optimum solutions to the problems. 2. MS/OR is the application of the scientific method to the study of the operations of large, complex organizations or activities. 3. MS/OR is the application of the scientific method to the analysis and solution of managerial decision problems. OR deals with making decisions based on modeling. Its origins date back to the second world war!

YÖNEYLEM ARAŞTIRMASI Yöneylem Araştırması Kavramı ve Tarihçesi  Yöneylem araştırması II. Dünya Savaşında İngilizler tarafından askeri amaçlar için kullanılmak üzere geliştirilmiş bir disiplindir. Daha sonra A.B.D.’de yaygın olarak kullanılmıştır. Yöneylem araştırmasının savaş döneminde kıt kaynakların etkin bir şekilde dağıtımı üzerinde yaptığı olumlu gelişme, bu disiplinin daha sonra işletmelerde karar alma aracı olarak kullanılmasına yol açmıştır. O halde, yöneylem araştırması, bir karar probleminin kıt kaynaklar altında optimum çözümünü belirleyen bilimsel yöntemlere dayanan bir disiplindir.

1.2. Yöneylem Araştırması Kapsamında Ele Alınan Başlıca Konular Stokastik Modeller Belirsizlik Altında Karar Verme Oyun Kuramı Envanter Kuramında Yeni Gelişmeler Markov Zincirleri Dinamik Programlama Kuyruk Kuramı Benzetim Tahmin Modelleri - Çok Amaçlı Karar Verme Deterministik Modeller Doğrusal Programlama - Tamsayılı Programlama Doğrusal Olmayan Programlama Oyun Kuramı Envanter Modelleri Dinamik Programlama - Çok Amaçlı Karar Verme [2] WINSTON, W. L. (2004), Operations Research: Applications and Algorithms , Fourth Edition, Thomson Learning Inc: Canada.

Matematiksel Modelleme Karar Problemi Matematiksel Modelleme Varsayımlar ve Sınırların Belirlenmesi Problem Tanımı Problem Tanımı Alternatiflerin Araştırılması Gözlem Karar Değişkenleri Matematiksel İlişkiler Kısıtlar Model Geliştirme Çözüm Test Değerlendirme En iyi alternatifin seçimi Uygulama Seçim Sonuçların Analizi Introductory Management Science, F.J. Gould, G.D. Eppen, C.P. Schmidt, 1993.   Fundamentals of Management Science, Efraim Turban, Jack R. Meredith, 1981

Matematiksel Modellemenin Bazı Uygulama Alanları Organizasyonlar Uygulamanın Özelliği Yayın Yılı Sağladığı Yıllık Tasarruf (milyon dolar) Hollanda Rijks Waterstatt Ulusal su yönetimi politikasını geliştirme 1985 15 Monsanto Şirketi Kimya fabrikasında minimum maliyetle üretim hedeflerini karşılamak için üretim işlevini optimum kılma 2 Wayer hauser Şirketi Ağaç ürünlerinin getirisini maksimum kılmak için ağaçların kesimini planlama 1986 Eletrobras / CE-PAL, Brezilya Ulusal elektrik üretim sisteminde hidro ve termal kaynakların optimal dağıtımı 43 Birleşik Havayolları Minimum maliyetle müşteri ihtiyaçlarını karşılama ve rezervasyon bürolarında program değişikliği 6 Citgo Petrol Şirketi Rafineri işlemlerini, sunum ve dağıtımı ile ürünlerin pazarlamasını optimum kılma 1987 70 Santos Ltd. Avusturalya 25 yıl içinde doğal gaz üretimi için sermaye yatırımının optimali 3 Elektrik Gücü Araştırma Enstitüsü Elektrik ihtiyacı için petrol ve kömür stoklarını, stok maliyetlerini ve tükenme riskini yönetme 1989 59 San Francisco Polis Departmanı Bilgi işlem sistemi ile polis karakollarının yayılımı ve optimal programlama 11 Texaco, Şirketi Kalite ve satış gereksinmeleri için optimal benzin karışımını elde etme 1990 30 IBM Servis desteğini geliştirmek için yedek kısım envanterlerin ulusal entegrasyonu 20 + 250 milyon az envanter Yellow Freight Sistem Şirketi Ulusal yük taşıma ağının tasarımı ve yükleme yollarının optimali 1992 17.3 A.B.D Askeri Airlift Yönetimi Hızlı şekilde uçak, kargo ve müşteri hizmetlerinin yürütülmesi Zafer Amerikan Hava Yolları Geliri artırmak için uçuşların koordinasyonu ve seyehat düzeni sistemini tasarlama 500 New Haven Sağlık Departmanı Etkili iğne değişimi programı ile maliyetlerde azalma 1993 %33 daha az

Matematiksel Modelleme Bir matematiksel model geliştirilirken aşağıdaki adımların izlenmesi tavsiye edilir: Problemin Tanımlanması Problemin tanımlanması evresi, ele alınan problemin incelenip izlenerek tanımlanmasını kapsar. Bu aşamada çalışmanın amacı/amaçları, bu amaca/amaçlara ulaşmada etkili olan sistem kısıtları ve karar seçenekleri belirlenmelidir. Model Kurma Problem tanımlandıktan sonra problemi etkileyen parametre değerlerinin belirlenerek problemin matematiksel modeli kurulur. Bir başka deyişle problem matematik diline tercüme edilir. [3] . TAHA, H. (2000), Yöneylem Araştırması, 6. Basımdan Çeviri, (Çeviren ve Uyarlayanlar: Ş. Alp Baray ve Şakir Esnaf), Literatür Yayınları:43, İstanbul.

Matematiksel Modelleme 3- Modelin Çözümü Model kurulduktan sonra optimizasyon algoritmaları kullanılarak çözümlenir. Bu evrede aynı zamanda, model çözümlendikten sonra duyarlılık analizleriyle parametrelerdeki değişimlerin optimal çözüm üzerindeki değişimleri incelenir. 4- Modelin Geçerliliği Bu aşamada çözümlenen modelin gerçeği doğru bir şekilde temsil edip etmediği araştırılır. Modelden elde edilen sonuçlarla sistemin gözlenmesiyle elde edilen sonuçlar karşılaştırılır. Böylece modelin beklenen davranışları sergileyip sergilemediği incelenir. [3] . TAHA, H. (2000), Yöneylem Araştırması, 6. Basımdan Çeviri, (Çeviren ve Uyarlayanlar: Ş. Alp Baray ve Şakir Esnaf), Literatür Yayınları:43, İstanbul.

MATEMATİKSEL MODELLEME Gerçek Model Model oluşturulurken soyutlama ve temsil yeteneği arasında bir denge kurulmalıdır.

DOĞRUSAL PROGRAMLAMA (DP) 2.1. DP’nin Tanımı ve Bazı Temel Kavramlar Model: Bir sistemin değişen koşullar altındaki davranışlarını incelemek, kontrol etmek ve geleceği hakkında varsayımlarda bulunmak amacı ile sistemin elemanları arasındaki bağıntıları kelimeler ya da matematik formüllerle belirleyen ifadeler topluluğuna “model” adı verilir. Matematiksel Model: Bir sistemin bileşenlerinin simgeler ile tanımlanıp bunlar arasındaki ilişkilerin fonksiyonlar ile gösterimine "matematiksel model” adı verilir. Karar Modeli: Sistemin yöneticisinin kontrolü altında olup, karar değişkeni olarak isimlendirilen değişkenlere hangi değerlerin verilmesi gerektiğini belirlemek amacıyla kullanılan matematiksel modellere “karar modeli” adı verilir.

Doğrusal Programlama (DP), doğrusal karar modelleriyle ilgili kavram ve teknikler bütünüdür. Doğrusal programlama, bütün model parametrelerinin kesin olarak bilindiğini varsayan deterministik bir tekniktir. Bir doğrusal programlama problemi (DPP) üç bölümden oluşur: Bir DP problemi, karar değişkenlerinin (x1, x2, ....,xn) doğrusal bir fonksiyonu olan amaç fonksiyonunu içerir. Amaç fonksiyonu maksimizasyon ya da minimizasyon amaçlı olabilir. Bir DP problemi, karar değişkenlerinin alacağı değerleri sınırlayan kısıt denklemlerini içerir. Her bir kısıt denklemi doğrusal eşitlik ya da eşitsizlik şeklinde ifade edilmelidir. Her bir değişkene ilişkin işaret kısıtlaması. Her hangi bir xj (j=1,.....,n) değişkeninin işaretinin belirlenmesi gerekir. Bu durum negatif olmama (xj  0, j=1,.....,n) koşulu ya da sınırlandırılmamış (xj –serbest) olması şeklinde belirtilmelidir.

Değişkenler: Bir problemin modeli kurulduktan sonra değeri hesaplanacak olan bilinmeyen simgelerdir. Karar Değişkenleri: Bir karar modelinin çözümlenmesi sürecinde değeri hesaplanacak olan karar unsurlarıdır. Örneğin bir işletmede A ve B tipinde iki farklı ürün üretilmek istenilsin. Karar değişkenleri x1 ve x2 sırasıyla, üretilecek olan A ve B tipindeki iki farklı ürünün üretim miktarlarını gösterirler. Sapma Değişkenleri: Kullanılan faktör ve onun kapasitesi arasındaki dengeyi kurmaya çalışırlar. Faktör < Kapasite  atıl değişken (atıl kapasite) Faktör > Kapasite  artık değişkeni (artık-fazla kapasite)

Bu bağlamda sapma değişkenlerini iki sınıfta toplamak mümkündür: Gölge Değişkenler: Atıl kapasiteyi temsil ederler. “” şeklindeki bir kısıt denklemini (=) şeklinde ifade etmek amacıyla kullanılırlar. Örnek: X1 + X2  5 X1 + X2 +S1 = 5 Artık Değişkenler: Fazla kapasiteyi temsil ederler. “” şeklindeki bir kısıt denklemini (=) şeklinde ifade etmek amacıyla kullanılırlar. X1 + X2  5 X1 + X2 - E1 = 5 Yukarıda sözü edilen sapma değişkenlerinin yanı sıra Simpleks Çözüm Yönteminde kullanılan bir başka değişken çeşidi "yapay değişken"dir. Yapay değişkenler Büyük M Yöntemi (Bölüm 3.2.2.) incelenirken açıklanacaktır.

Parametreler: DP modelinin davranışını etkileyen sabit sayılardır Parametreler: DP modelinin davranışını etkileyen sabit sayılardır. DP modelindeki cj, bi ve aij (i=1 ........m; j=1 ......... n) sayıları parametreler olarak adlandırılırlar. Amaç Fonksiyonu: Karar değişkenlerinden ve bu değişkenlerin parametrelerinden (cj), oluşan en iyi çözümün (maksimum ya da minimum) elde edilmesini sağlayan doğrusal bir fonksiyondur. Kısıt denklemi: Bir modeldeki karar değişkenleri ile parametreler arasındaki zorunlu ilişkilerin kurulduğu doğrusal fonksiyonların her birine “kısıt denklemi” adı verilir. Teknolojik Katsayılar: Her faaliyet için gerekli olan kaynak miktarıdır. aij (i=1 ........m; j=1 ......... n) Sağ Taraf Değerleri: Mevcut kaynak miktarlarını gösteren, problemdeki kısıt denklemlerinin sağ taraflarında yer alan parametrelerdir. bi (i=1 ........m)

Bu bilgilere bağlı olarak bir DP problemi simgesel olarak aşağıdaki gibi ifade edilir: Amaç Fonksiyonu: Kısıt Denklemleri: İşaret Kısıtlaması:

Uygun Çözüm: Bir DP problemi için uygun çözüm, DP’nin tüm kısıtlarını ve işaret sınırlamalarını sağlayan tüm noktalardan oluşan settir. Optimal Çözüm: Bir DP modelinin karar değişkenlerinin, mevcut kısıtlar altında (uygun çözüm alanında) amaç fonksiyonunun en iyilenmesi (optimum kılınması) sonucunda aldığı değerler “optimal çözüm” olarak adlandırılır. Bir maksimizasyon problemi için optimal çözüm uygun çözüm alanında en büyük amaç fonksiyonu değerini veren noktadır. Bir minimizasyon problemi için optimal çözüm uygun çözüm alanında en küçük amaç fonksiyonu değerini veren noktadır. (Not: Alternatif çözümün olduğu özel durumlarda optimal çözüm uygun çözüm alanı içinde bir doğru ile elde edilir. (Bölüm 3.2.3’de kısaca açıklanmıştır.) Optimal Değer: Optimal çözüme bağlı olarak amaç fonksiyonun aldığı değer “optimal değer” olarak adlandırılır.

2.2. DP’nin Bazı Uygulama Alanları Çok sayıda değişkenli ve kısıt denklemli DP problemleri bilgisayar programları yardımıyla hızlıca çözümlenebildiği için bir çok alanda önemli uygulamalardan söz edilebilir. DP’nin bazı uygulama alanları aşağıda verilmiştir: Üretim Planlama ve Envanter Kontrolü Ulaştırma ve Lojistik Problemleri Atama Problemleri Personel Programlaması Reklam Ortamı Seçimi Problemleri Sermaye Bütçeleme Problemleri Portföy Seçimi Problemleri Yatırım Problemleri Karışım Problemleri Beslenme (Diyet) Problemleri

DP'nin beş temel varsayımı vardır. Bu varsayımlar aşağıda verilmiştir: 2.3. DP’nin Varsayımları DP'nin beş temel varsayımı vardır. Bu varsayımlar aşağıda verilmiştir: Belirlilik (Certainity) Doğrusallık (Linearity) Bölünebilirlik (Divisibility) Toplanabilirlik (Additivity) Orantısallık (Proportionality)

Belirlilik Varsayımı: Bir DP modelinde yer alan parametrelerin bilindiği ve değişmediği kabul edilir. Yani, birim başına kar ya da maliyetlerin (cj), her faaliyet için gerekli olan kaynak miktarlarının (aij) ve mevcut kaynak miktarlarının (bi) kesin olarak bilindiği varsayılır. Bu varsayımın kabul edilmesiyle DP problemlerinin çözümü kolaylaşmaktadır. Ancak, uygulamada bu parametrelerin sık sık değişme eğiliminde olması, DP’de duyarlılık analizi çalışmalarının yürütülmesini gerektirmektedir. Problemin optimum çözümü elde edildikten sonra duyarlılık analizi başlığı altında parametrelerdeki değişmelerin optimal çözüm üzerindeki etkileri incelenebilir. Bölünebilirlik Varsayımı: Bölünebilirlik varsayımı ile karar değişkenlerinin optimal çözüm değerlerinin kesirli değerler alabileceği kabul edilir. Örneğin herhangi bir DP modelinin optimal çözümünde 4.6 adet araba üretileceği gibi bir üretim çıktısı sonucuna ulaşılabilir. Kesirli optimal çözüm değerleri “Tam Sayı Programlama” algoritmalarıyla tamsayılaştırılır.

Doğrusallık Varsayımı: Bir DP modelinin amaç fonksiyonu ve kısıt denklemleri doğrusal olmalıdır. Bir başka deyişle xj’ler birinci dereceden değişkenler olmalıdır. Bir işletmenin girdiler ile çıktıları arasında doğrusal bir ilişki olduğu varsayılır. Toplanabilirlik Varsayımı: Herhangi bir değişkenin amaç fonksiyonuna katkısı, diğer karar değişkenlerinin değerlerinden bağımsızdır. Örnek olarak, Zmaks.= 3x1 + 2x2 şeklinde bir amaç fonksiyonu olsun. x2’nin değeri ne olursa olsun x1 birim ünite üretimiyle amaç fonksiyonuna her zaman 3x1 pb. katkı yapılacaktır. Bir değişkenin her bir kısıt denkleminin sol tarafına yaptığı katkı diğer değişkenlerin değerlerinden bağımsızdır. 2x1 + 1x2  6 (Kısıt I) x1 + 3x2  9 (Kısıt II) şeklinde 2 adet kısıt denklemi olsun. x1’in değeri ne olursa olsun x2 birim ünite üretimi 1 birim Kaynak I ve 3 birim Kaynak II kullanımı gerektirir.

5. Orantısallık Varsayımı: Her bir karar değişkeninin amaç fonksiyonuna ve kısıt denklemlerinin sol tarafına yapacağı katkı karar değişkeninin değeri ile orantılıdır. Örnek olarak bir adet A tipi oyuncağın amaç fonksiyonu katkısı 0.8 YTL ise dört adet A tipi oyuncağın amaç fonksiyonuna toplam katkısı bunun dört katı olan 3.2 YTL (4x0.8) olacaktır. Bir adet A tipi oyuncak plastik departmanında 4 dakikada işleniyorsa, 5 adet A tipi oyuncak bunun beş katı olan 20 dakikada (4x5=20) işlenecektir.

Primal modelin matematiksel gösterimi aşağıdaki gibidir: 1. Primal (Özgün) Form: Herhangi bir DP problemi temel alınarak kurulan ilk modele primal (özgün) problem adı verilir. Primal modelin matematiksel gösterimi aşağıdaki gibidir: xj- serbest

Bir DP problemi, standart formda aşağıdaki gibi ifade edilir. Standart formun özellikleri aşağıdaki gibidir. Amaç fonksiyonu maksimizasyon ya da minimizasyon amaçlı olabilir. Tüm kısıt denklemleri (=) şeklinde ifade edilmelidir. Sağ taraf değerleri negatif olmayan değerler almalıdır . Tüm değişkenler için negatif olmama işaret kısıtının belirlenmesi gerekir.

DP Model Kurma Örnekleri Gas Tekstil kumaş ve boya hammaddelerini kullarak üç çeşit giysi üretmektedir. Bu ürünlerden birer tane üretmek için gerekli hammadde miktarları ve gelecek hafta itibariyle bu hammaddelerin mevcut miktarları aşağıdaki gibidir: Kot Pantalon Elbise T-şört Miktar Kumaş 4 m 3 m 60 m Boya 2 kg 4 kg 5 kg 50 kg Ürünler ile ilgili parasal bilgiler şu şekildedir: Kot Pantalon Elbise T-şört Satış Fiyatı 1300 1000 950 Değişken Üretim Maliyeti 490 400 430 İşletmenin sabit maliyetleri 1200 TL’dir ve üretilen her ürünün satılabildiği varsayılmaktadır. Buna göre işletme karını maksimum yapacak DP modelini kurunuz.

DP Model Kurma Örnekleri Bir önceki problemde bayilerle yapılan bir anlaşma ile Kot pantalon satış fiyatı yeniden belirlenmiştir. Anlaşmaya göre kot pantalon fiyatı 8 birime kadar 1.300 TL, daha sonraki ürünler için 1.200 TL olmuştur. Bu duruma uyum sağlamak için modeli geliştiriniz.

DP Model Kurma Örnekleri Bir önceki problemde, elde bulunan kumaş miktarının sanılanın aksine 60 değil 10 metre olacağı anlaşılmıştır. Bu durumda kurum yeni kumaş satınalma işlemlerine başlamıştır. Kumaş tedarikçisinden alınan fiyatlar aşağıdaki tabloda gösterilmiştir. Miktar Fiyat 1-50 m 110 TL 51-90 m 135 TL 91-120 m 160 TL

DİYET PROBLEMİ Bir üniversitenin kantininde kakaolu kek, elmalı kek, dondurma ve lokma olmak üzere dört çeşit tatlı satılmaktadır. Her tatlı çeşidinin fiyatı sırasıyla aşağıdaki gibidir: 1 dilim kakaolu kek 0.3 pb 1 dilim elmalı kek 0.2 pb 1 kepçe dondurma 0.18 pb 1 kutu lokma 0.14 pb Ayşe her gün en azından 500 kalorilik tatlı yemek istemektedir. Ayrıca günde en azından 180 gram kakaolu, 300 gram şekerli ve 240 gram yağlı besin almak istemektedir. Her bir tatlının besin değeri Tablo 2’de verilmiştir. Ayşe'nin en az maliyetle yiyebileceği günlük tatlı miktarını belirleyen DP probleminin modelini kurunuz. Tatlı Çeşitleri Kalori Kakaolu Besin (gr.) Şekerli Besin (gr.) Yağlı Besin (gr.) Ç.K. 400 90 60 E.K. 150 120 30 D. 200 L. 500

ÜRETİM PLANLAMA PROBLEMİ Tot araba ve kamyonet olmak üzere iki farklı tipte ürün üretmektedir. Her bir araba, boyama ve montaj departmanında işlenmektedir. Eğer boyama departmanında sadece kamyonetler boyanırsa, günde sadece 40 adet kamyonet boyanmaktadır. Eğer boyama departmanında sadece arabalar boyanırsa, günde sadece 60 adet araba boyanmaktadır. Eğer işleme departmanında sadece kamyonetler işlenirse günde sadece 50 adet kamyonet işlenmektedir. Eğer işleme departmanında sadece arabalar işlenirse günde sadece 50 adet araba işlenmektedir. Her bir kamyonetin birim katkısı 3.000 pb ve her bir arabanın birim katkısı 2.000 pb'dır. Tot’un toplam katkısını en büyükleyen günlük üretim miktarını belirleyen DP probleminin modelini kurunuz.

ÜRETİM PLANLAMA PROBLEMİ Bir fırıncının 90 kg unu ve 30 paket mayası bulunmaktadır. Bir paket ekmek üretimi için 0.5 kg una ve 1 paket mayaya gereksinim duyulmaktadır. Bir paket ekmeğin satış fiyatı 1.2 pb’dir. Fırıncı gün içinde ihtiyaç duyduğunda, ek olarak kilosu 0.400 pb’den un alabilmekte veya aynı fiyattan artan ununu satabilmektedir. Fırıncının kazancını en çoklayan doğrusal programlama probleminin modelini oluşturunuz. WINSTON, W.L. (1994), Operations Research, Second Edition, PWS-Kent Publishing Company, Boston,s.-176

İŞGÜCÜ ÇİZELGELEME PROBLEMİ Haftanın 7 günü faaliyetini sürdürmekte olan bir şirketin ihtiyaç duyduğu eleman sayısı günlere göre farklılık göstermektedir. Tam gün çalışacak şekilde her gün için ihtiyaç duyulan eleman sayısı aşağıdaki tabloda verildiği gibidir: Gün Eleman Sayısı Pazartesi 17 Salı 13 Çarşamba 15 Perşembe 19 Cuma 14 Cumartesi 16 Pazar 11 Diğer yandan kurallar gereğince, tam gün çalışan kişiler bir haftalık bir sürede birbirini izleyen beş gün çalışmakta ve iki gün dinlenmektedirler. Örneğin, Pazartesi günü işe başlayan bir kişi Cuma günü de çalıştıktan sonra iki gün dinlenmektedir. Şirket günlük faaliyetlerini tam gün çalışacak bu kişilerle yürütmek istemektedir. Şirketin istihdam edeceği personel sayısını en aza indirecek doğrusal programlama modelini kurunuz.-Kent Publishing Com., Boston,pp.74- 75

İŞGÜCÜ ÇİZELGELEME PROBLEMİ Müşterilerine bakım ve onarım hizmeti vermekte olan bir şirket, gelecek beş ay için müşterilerinin gereksinim duyacağı hizmet sürelerini aşağıdaki gibi tahmin etmektedir: Ocak: 6000 saat Şubat: 7000 saat Mart: 8000 saat Nisan: 9500 saat Mayıs: 11000 saat Bakım ve onarım faaliyetleri tecrübeli teknik elemanlar tarafından yerine getirilmekte ve her teknik eleman ayda 160 saat çalışmaktadır. Ocak ayı başında şirkette 50 tecrübeli teknik eleman bulunmaktadır. Yönetim gelecek aylardaki müşteri gereksinimlerini karşılayabilmek için, yetiştirilmek üzere şirkete yeni elemanlar alınmasına karar vermiştir. Yeni elemanların yetiştirilmesi için bir aylık bir sürenin yeterli olacağı düşünülmektedir. Bu bir ay içinde her yeni eleman tecrübeli bir eleman tarafından 50 saatlik bir eğitime tabi tutulacaktır. Diğer yandan, her ayın sonunda tecrübeli elemanların % 5’inin işten ayrıldığı gözlenmektedir. Şirket, tecrübeli elemanlara ayda 500 pb, yetiştirilen elemanlara ise bu ilk ayında 250 pb ödemektedir. Şirketin müşteri gereksinimlerini karşılayacak şekilde toplam işgücü maliyetini en aza indirecek doğrusal programlama modelini kurunuz. WINSTON, W.L. (1994),

2.İşlemin maliyeti (pb/kg) KARIŞIM PROBLEMİ Bir geri-dönüşüm merkezi olarak faaliyetini sürdürmekte olan bir şirket Madde 1, Madde 2, Madde 3 ve Madde 4 olmak üzere dört çeşit katı atık madde toplamaktadır. Toplanan bu maddeler önce ayrı ayrı kimyasal bir işleme tabi tutulmakta (1.İşlem) ve daha sonra bu maddelerin karışımından (2.İşlem) A, B ve C olmak üzere 3 çeşit ürün üretilmektedir. Ürün çeşitleri, karışımda kullanılan maddelerin oranlarına (üründe kullanılan madde ağırlığı/ürünün ağırlığı)*100 göre farklılık göstermektedir. Her ürün çeşidi için kullanılan madde oranlarında bir esneklik söz konusu olmakla birlikte , kalite spesifikasyonları bu oranlarla ilgili bazı alt ve üst limitler getirebilmektedir. Örneğin, ürün C’deki madde 1 oranının % 70’den daha fazla olmaması gerekmektedir. Bu spesifikasyonlar, her çeşit ürünün satış fiyatı ve 2. işlemin maliyeti aşağıdaki tabloda verilmektedir. Ürün Madde Spesifikasyonlar 2.İşlemin maliyeti (pb/kg) Satış Fiyatı (pb /kg) A Madde 1 Madde 2 Madde 3 Madde 4 % 30’dan fazla olmamalı % 40’dan az olmamalı % 50’den fazla olmamalı % 20 olmalı 3.00 8.50 B % 10’dan az olmamalı %10 olmalı 2.50 7.00 C % 70’den fazla olmamalı 2.00 5.50