6. Nyquist Diyagramı, Bode Diyagramı, Kazanç Marjı, Faz Marjı, İleri Kol Nyquist diyagramı, bir kapalı kontrol sisteminin, ileri kol transfer fonksiyonunun [KGp(s)] farklı ω frekanslarındaki harmonik girdilere olan cevabının kompleks düzlemde çizilmesi ile elde edilmektedir. Nyquist diyagramından KGp(s)’in genliği ve faz bilgisi grafiksel olarak görülebilmektedir. Kapalı kontrol sisteminin paydasının [1+KGp(s)] sıfır olması veya diğer bir deyişle ileri kol transfer fonksiyonu KGp(s)’in değerinin -1 olması kapalı kontrol sisteminin kararlılığı açısından kritik bir durumdur. Nyquist diyagramı, KGp(s)’in değerinin farklı ω (rad/s) frekansları için hesaplanması ve kompleks düzlemde çizilmesi ile elde edilir. K=5 için

Im Re Girdi genliği 1 Çıktı genliği 0.7906 ω= 2 rad/s frekansında ve 1 genliğindeki bir harmonik girdi için KGp(s)’in çıktısı aşağıdaki şekilde hesaplanabilir clc;clear w=2; s=i*w; K=5; KGp=K/(s^3+4*s^2+5*s+10) genlik=abs(KGp) faz=angle(KGp)*180/pi KGp = -0.7500 - 0.2500i genlik = 0.7906 faz = -161.5651 Im Re -0.75 -0.25 Girdi genliği 1 Çıktı genliği 0.7906

KGp(s) düzlemi Im Re Artan ω Nyquist eğrisi -1 -0.75 -0.25i KGp(s) düzlemi -1 ω=2.2 rad/s için KGp(s)=-0.5334 - 0.0201i ω=2.0 rad/s için KGp(s)=-0.7500 - 0.2500i ω=1.8 rad/s için KGp(s)=-0.7873 - 0.8427i ω=1.7 rad/s için KGp(s)=-0.5098 - 1.1722i -0.5334 -0.0201i -0.8427i -0.78 -1.1722i -0.5098 Nyquist eğrisi Artan ω ω=1.7 rad/s ω=1.8 rad/s ω=2.0 ω=2.2 Nyquist diyagramı KGp(s)’in farklı ω frekansları için değerlerinin birleştirilmesi ile elde edilir.

KGp(s)=-1 olduğunda sistem stabilite sınırındadır. pay=[K]; payda=[1 4 5 10]; nyquist(pay,payda) Kapalı kontrol sisteminin transfer fonksiyonunun paydası Routh-Hurwitz’den KGp(s)=-1 olduğunda sistem stabilite sınırındadır.

Bode diyagramı Nyquist diyagramı Vektör uzunluğu [KGp(s)]= a Vektör uzunluğu [KGp(s)]= 1 olduğunda logaritmik ölçekte genlik φ, KGp(s)’in faz açısıdır. Faz açısı -180º olduğunda KGp(s) vektörü reel eksen üzerindedir ve genlik -a ile gösterilmiştir. Nyquist eğrisi -1 üzerinden geçtiğinde, sistem stabilite sınırındadır. K için KGp(s)=-a Kc için KGp(s)=-1 Genlik Marjı (gm) Logaritmik skalada genlik marjı Kritik kontrolcü kazancını belirlemek için aşağıdaki orantı kullanılabilir. Genlik 1, desibel değeri 0 Vektör yatay, faz -180º Vektör yatay olduğunda genlik desibel olarak ne? Vektör 1 genliğinde olduğunda yatayla arasında kaç derece var?

veya KGp(s) GM PM Kc=K*gm=5*2=10 pay=K*[1]; payda=[1 4 5 10]; clc;clear K=5; ng=K*[1]; dg=[1 4 5 10]; sistem=tf(ng,dg); bode(sistem) [gm,pm,w2,w1]=margin(sistem) Bode diyagramı, bir kapalı kontrol sisteminin, ileri kol transfer fonksiyonunun [KGp(s)] farklı ω frekanslarındaki harmonik girdilere olan cevabının genlik ve faz çıktısı olarak Logaritmik skalada gösterimidir. Genlik desibel, faz ise derece olarak verilmektedir. Genlik ve faz marjı ile bu değerlerin okunduğu frekanslar sırasıyla ω2 ve ω1 ile gösterilir ve Matlab ile aşağıdaki gibi gesaplanır. pay=K*[1]; payda=[1 4 5 10]; bode(pay,payda) [gm,pm,w2,w1]=margin(pay,payda) veya gm = 2.0024 pm = 33.2155 w2 = 2.2367 w1 = 1.8830 PM GM ω1 ω2 Matlab programı Kazanç Marjını lineer skalada vermektedir ve gm ile gösterilmektedir. Bu değeri kullanılan K kazanç değeri ile çarparak kritik kontrolcü kazancı hesaplanır. Kc=K*gm=5*2=10 Kazanç marjı Bode diyagramından desibel olarak elde edilir. GM ile gm arasındaki ilişki GM=20log10(gm) gm=10GM/20 ile verilmektedir. tf transfer fonksiyonunu oluşturan Matlab komutudur. -180º faz kesişiminden çıkılan dikme ile Genlik eğrisi negatif bölgede kesiliyor ise sistem kararlıdır. Pozitif bölgede kesiliyor ise kararsızdır. Genlik marjının okunduğu frekans Faz marjının okunduğu frekans Faz marjı (derece) Lineer skalada genlik marjı Sönüm Oranı KGp(s)

Köşe frekansı=a (rad/s) Rezonans Birinci mertebe sistemlerin tipik Bode diyagramları İkinci mertebe sistemlerin tipik Bode diyagramları

Farklı tipte kontrolcü tasarımları: Faz ekle (phase-lead) devresi φM=41.48 : a=4.92 ωM=9.05: T=0.0498

Faz azalt (phase-lag) devresi Faz ekle-azalt (phase lead-lag) devresi Faz ekle devresi: PM artar, sönüm artar, aşma azalır, ess değişmez Faz azalt devresi: PM azalır, sönüm azalır, ess (1/a) kadar azalır