ANALİTİK KUYRUK MODELLERİ

Geçiş durumu X Kararlı durum Geçiş durumunda, bir sistemin çalışma özelliklerinin değerleri zamana bağlıdır. Kararlı durumda, sistem özellikleri zamandan bağımsızdır ve sistemin istatistiksel bir denge içinde olduğu düşünülmektedir. Çoğu hizmet sistemi bazen her saat değişen geliş hızıyla dinamik bir ortamda faaliyet göstermektedir; bu nedenle, kararlı durum nadiren gerçekleşir. Ancak, kararlı durum modelleri uzun dönem kapasite planlama kararları için yararlı sistem performans tahminleri sağlayabilir.

ÖZEL POISSON KUYRUK MODELLERİ c tane aynı şekilde paralel hizmet verenin olduğu özel poisson kuyruk durumu. Boştaki ilk hizmet veren tarafından, hizmet verilmek üzere kuyrukta bekleyen bir müşteri seçilir.

ÖZEL POISSON KUYRUK MODELLERİ Sistemdeki geliş hızı birim zamanda λ müşteridir. Tüm paralel hizmet verenler aynı hizmeti sağlarlar, bunun anlamı herhangi bir hizmet veren için hizmet hızının birim zamanda μ müşteri olmasıdır. Sistemdeki müşterilerin sayısı hizmet gören ve kuyrukta bekleyenlerin toplamını içermek üzere tanımlanır.

KENDALL NOTATION (A / B / C ): (D / E / F) A: Geliş dağılımları B: Gidiş (hizmet süresi) dağılımı C: Paralel hizmet verenlerin sayısı(=1,2,...,∞) D: Kuyruk disiplini E: Sistemde (kuyruktaki + hizmet gören) izin verilen maksimum sayı (sonlu veya sonsuz) F: İstek kaynağının (sonlu veya sonsuz) büyüklüğü (A/B/C) : D.G. Kendall (1953) D, E : M. Lee (1966) F : H. Taha (1968)

A: Geliş Dağılımı B: Gidiş Dağılımı M : Markov (veya Poisson) geliş ve gidiş dağılımları (ya da eşdeğeri üstel gelişlerarası veya hizmet süresi dağılımı) D : Sabit (deterministik) süre Ek : Sürenin Erlang veya Gamma dağılımı (veya eşdeğeri bağımsız üstel dağılımların toplamı) GI : Gelişlerarası sürenin genel dağılımı (örn: normal, düzgün, ya da herhangi bir deneysel dağılım) G : Hizmet süresinin genel dağılımı (örn: normal, düzgün, ya da herhangi bir deneysel dağılım)

D: Kuyruk Disiplini FCFS: İlk Gelen İlk Hizmet Görür LCFS: Son Gelen İlk Hizmet Görür SIRO: Rastgele Sırada Hizmet Görme GD: Genel Disiplin (başka bir deyişle, başka herhangi bir disiplin)

Örnek (M/D/10):(GD/20/∞) M: Poisson gelişler (ya da üstel gelişlerarası süre) D: Sabit hizmet süresi 10: 10 paralel hizmet veren GD: Genel kuyruk disiplini 20: Sistemin tamamında 20 müşteri sınırı vardır ∞: Müşterilerin geldiği kaynak büyüklüğü sonsuzdur

Kararlılık Durumu Performans Ölçütleri n : Sistemdeki müşteri sayısı λ : Ortalama geliş hızı (örn: saatte gelen müşteri) μ : Her bir dolu hizmet veren için ortalama servis hızı (örn: saat başına müşteriler için hizmet kapasitesi)  : (λ/ μ) Hizmet gören müşterilerin ortalama sayısı N : Sistemde izin verilen maksimum müşteri sayısı c : Hizmet veren sayısı /c : Kullanım oranı faktörü Pn : Sistemde izin verilen müşterilerin tam n olma olasılığı

Kararlılık Durumu Performans Ölçütleri Ls : Sistemdeki ortalama müşteri sayısı Sistemin kuyruk ve hizmet yerinin her ikisini de kapsadığını hatırlayalım. Lq : Kuyruktaki ortalama müşteri sayısı Lb : Meşgul bir sistem için kuyruktaki ortalama müşteri sayısı Ws : Sistemdeki müşterinin harcadığı ortalama süre Wq : Kuyruktaki müşterinin harcadığı ortalama süre Wb : Meşgul bir sistem için kuyruktaki müşterinin harcadığı ortalama süre

Little’ın formülü Bu ilişkiler böyle genel koşullar altında geçerlidir. λeff : Sistemdeki etkin geliş hızı. Tüm müşterilerin sisteme katılması durumunda geliş hızı λeff = λ’dır. Aksi halde, sistem dolu olduğu için (örneğin otoparkta)bazı müşteriler sisteme katılmazlarsa λeff < λ olur.

Tesis kullanım oranı (U) = Sistemdeki ortalama sayı olan Ls ile kuyruktaki ortalama sayı olan Lq’nun farkı, meşgul hizmet verenlerin ortalaması olan ’ye eşit olmalıdır. Tesis kullanım oranı (U) =

Example (Taha, 17.6-1) Bir üniversitenin merkez binasında ziyaretçi otoparkı 5 otomobille sınırlıdır. Otomobiller bu alanı saatte 6 otomobil hızıyla Poisson dağılımına uygun olarak kullanmaktadırlar. Park süresi, ortalaması 30 dakika olan üstel dağılıma uymaktadır. Geldiklerinde boş yer bulamayan ziyaretçiler parkeden otomobillerden biri gidene kadar geçici olarak parkın içinde beklemektedir. Bu geçici park alanı da ancak üç otomobil almaktadır. Park yeri veya geçici bekleme yeri bulamayan otomobiller ise başka bir otoparka gitmek zorunda kalmaktadır.

n otomobilin sistemde bulunma olasılığı Pn c=5 paralel hizmet verici Park alanları hizmet veren gibi davranır Sistemin maksimum kapasitesi 5+3=8 otomobil. Olasılık genelleştirilmiş modelin özel bir hali olarak belirlenebilir. λ=6 oto/saat, n=0,1,2,...,8

P0=0.04812 n 1 2 3 4 Pn 0.14436 0.21654 0.16240 n 5 6 7 8 Pn 0.09744 0.05847 0.03508 0.02105

Otomobillerin otoparka etkin geliş hızı λeff Müşteriler kaynaktan saatte λ otomobil hızıyla gelir. Gelen bir otomobil λeff hızıyla otoparka girmekte veya λlost hızıyla başka bir otoparka gitmektedir. (λ = λeff + λlost) Bir otomobil, otoparkta zaten 8 otomobil bulunuyorsa otoparka giremez. (Otomobil oranı P8 olduğunda girmek mümkün olmayacaktır) λlost= λ x P8= 6 x 0.02105 = 0.1263 oto/saat λeff= λ - λlost = 6 - 0.1263 = 5.8737 oto/saat

Otoparktaki ortalama otomobil sayısı, Ls Otoparktaki ortalama araç sayısı (bekleyen veya parketmiş olan) sistemdeki ortalama sayıya yani Ls’ye eşit olur.

Otoparkın içinde boş park yeri için bekleyen otomobilin ortalama süresi Geçici park alanında bekleyen araç aslında kuyrukta bekleyen araçtır. Böylece, bir yer bulununcaya kadar aracın bekleme zamanı Wq olarak bulunur.

Dolu olan park yerlerinin ortalama sayısı Dolu park yerlerinin ortalama sayısı «meşgul olan hizmet veren» sayısıyla aynıdır.

Park alanının ortalama kullanım oranı

Queuing System Cost Tradeoff Cw = Cost of one customer waiting in queue for an hour Cs = Hourly cost per server C = Number of servers Total Cost = Service Cost + Customer Waiting Cost Total Cost = Cs C + Cw Lq Note: Only consider systems where

Appendix D Equations for selected queuing models Standard M/M/1 Model (0<ρ<1.0) Standard M/M/c Model (0<ρ<c) Standard M/G/1 Model (V(t)=service time variance) Self-service M/G/∞ Model Finite-Queue M/M/1 Model Finite-Queue M/M/c Model

1. Standard M/M/1 Model (0<ρ<1.0) İstekli kişiler anakütlesi. İsteklilerin gelişi sonsuz ya da çok büyük anakütleden. İstekliler birbirinden bağımsızdır ve kuyruk sisteminden etkilenmezler. Geliş süreci. Geliş hızı Poisson dağılımı. Kuyruk yapısı. Uzunluğunda sınırlama olmayan tek bekleme hattı, and no katılmama ya da kuyruğu terk etme yok. Kuyruk disiplini. FIFO Hizmet süreci. Hizmet süresi üstel dağılımlı tek hizmet veren.

Equations 1. Ortalama geliş hızı: 2. Ortalama servis hızı: 3. Hizmet gören müşterilerin ortalama sayısı: 4. Sistemdeki müşterilerin tam n olma olasılığı: 5. Sistemde “k” ya da daha fazla müşteri olma olasılığı: 6. Sistemdeki ortalama müşteri sayısı: 7. Kuyruktaki ortalama müşteri sayısı : 8. Sistemde geçen ortalama süre: 9. Kuyrukta geçen ortalama süre:

Example 14.2. (page 449) λ=6 bot/saat (poisson) μ=6 dakika/bot (10 bot/saat) (üstel) M/M/1 model (sonsuz anakütle, kuyruk uzunluğu kısıtlaması yok, kuyruğa katılmama ya da kuyruğu terk etme yok, ve FCFS kuyruk disiplini) λ Tek hizmet veren Ls Lq μ

ρ=λ/μ=6/10= 0.60 Sistemin dolu olma ve gelen müşterinin bekleme olasılığı : P(n≥1)= ρ1=0.601=0.60 Rampayı boş bulma olasılığı: P0=1- ρ=1-0.60=0.40 Sistemdeki ortalama bot sayısı:

Kuyruktaki ortalama bot sayısı: Sistemde geçen ortalama süre: Kuyrukta geçen ortalama süre:

Bot rampası zamanın %60’ında dolu. Bu nedenle gelişlerin zamanın %40’ında gecikmesiz anında erişimi beklenebilir. 15 dakika olan sistemde geçen ortalama süre 9 dakikalık kuyrukta geçen ortalama süre ve 6 dakikalık ortalama hizmet süresinin toplamıdır.

Sistemdeki müşteri sayısı sistem durumunu tespit etmek için kullanılabilir. Örneğin, n=0 olduğunda, sistem boştur. n=1 olduğunda, servis veren dolu fakat kuyruk yoktur. n=2 olduğunda, hizmet veren dolu ve 1 kuyruk oluşmuştur. n için olasılık dağılımı, bekleme yerinin uygun büyüklüğünü belirlemede çok yararlı olabilir (örn: sandalye sayısı- belirli bir olasılıkla gelen müşterilere uyum sağlamak için her müşterinin boş sandalye bulacağını vaat edecek)

Bot rampası örneği için, zamanın %90’ını garanti etmek için ihtiyaç duyulan park alanı sayısını belirleyin, bot rampasına gelen bir kişi denize indirmeyi beklerken park için boş yer bulacak. n Pn P (müşteri sayısı≤ n) (0.6)0(0.4)=0.40 0.40 1 (0.6)1(0.4)=0.24 0.64 2 (0.6)2(0.4)=0.144 0.784 3 (0.6)3(0.4)=0.0864 0.8704 4 (0.6)4(0.4)=0.05184 0.92224

Artan n değeri için, sistem durumu için olasılık dağılımını tekrar tekrar kullanarak, %90 garantisi aşılana kadar sistem durum olasılıklarını topluyoruz. n=4 ya da daha az bir sistem durumu zamanın %92’sinde oluşacaktır. 4 bot römorku için yer önerisi sağlanmalıdır çünkü zamanın %92’sinde gelenler denize inmek için kuyrukta 3 ya da daha az insan bulacaklar.

EXAMPLE A Social Security Administration branch is considering the following two options for processing applications for social security cards: Option 1: Three clerks process applications in parallel from a single queue. Each clerk fills out the form for the application in the presence of the applicant. Processing time is exponential with a mean of 15 minutes. Interarrival times are exponential. Option 2: Each applicant first fills out an application without the clerk’s help. The time to accomplish this is exponentially distributed, with a mean of 65 minutes. When the applicant has filled out the form, he or she joins a single line to wait for one of the three clerks to check the form. It takes a clerk an average of 4 minutes (exponentially distributed) to review an application. The interarrival time of applicants is exponential, and an average of 4.8 applicants arrive each hour. Which option will get applicants out of the more quickly?

For Option 1 Option 1 is an M/M/c system with λ = 4.8 applicants/hr. and µ = 4 applicants/hour. c=3 and ρ = 4.8/4 = 1.2 , from table Lq = 0.094 applicants Ls=Lq + ρ = 0.094 + 1.2 = 1.294 applicants Ws = Ls/λ = 1.294/4.8 = 0 .27 hours

For Option 2 Option 2 is a 2-stage series queuing system M/M/ + M/M/3 Stage 1 is an M/G/ system Ws1 = 1/µ = 1.08 hours. Stage 2 is an M/M/c with ρ = 4.8/15=0.32 c=3 and ρ = 0.32 from table Lq = 0 applicants Ls = Lq +λ/µ = 0 + 0.32 = 0.32 customers Ws2 = Ls/λ =0.32/4.8 = 0.07 hours. Ws= Ws1 + Ws2 = 1.08 + 0.07 = 1.15 hours. Option 1 results in a much smaller customer waiting time than Option 2.

EXAMPLE Last National Bank is concerned about the level of service at its single drive-in window. A study of customer arrivals during the window’s busy period revealed that, on average, 20 customers per hour arrive, with a Poisson distribution, and they are given FCFS service, requiring an average of 2 minutes, with service times having an exponential distribution.

What is the expected number of customers waiting in queue? If Last National were using an automated teller machine with a constant service time of 2 minutes, what would be the expected number of drive-in customers in the system?

Cumulative Probability There is space in the drive for 3 cars (including the one being served). What is the probability of traffic on the street being blocked by cars waiting to turn into the bank driveway? Traffic will block the street when there are four or more cars in the system. n Pn Cumulative Probability 1/3 = 0.333 0.333 1 2/9 = 0.222 0.555 2 4/27 = 0.148 0.703 3 8/81 = 0.099 0.802 The probability of traffic being blocked is equal to 1 - 0.802 = 0.198.

Last National is considering adding tellers at the current drive-in facility. It has decided on $5 per hour as the imputed cost of customer waiting time in the system. The hourly cost of a teller is $10. The average arrival rate of customers has reached 30 per hour. On the basis of the total hourly cost of tellers and customer waiting, how many tellers do you recommend? Assume that with use of pneumatic tubes, tellers can serve customers as though there were a single queue. This is a single queue, multiple server arrangement or M/M/c system. Thus, Lq can be found using table. #Tellers, c Lq $10c $5Ls Total 2 0.333 1.333 $20.00 $6.67 $26.67 3 0.045 1.045 $30.00 $5.23 $35.23 4 0.007 1.007 $40.00 $5.04 $45.04 Recommend two tellers.

EXAMPLE (Winston, page 1106) The last two things that are done to a car before its manufacture is complete are installing the engine and putting on the tires. An average of 54 cars per hour arrive requiring these two tasks. One worker is available to install the engine and can service an average of 60 cars per hour. After the engine is installed, the car goes to the tire station and waits for its tires to be attached. Three workers serve at the tire station. Each works on one car at a time and can put tires on a car in an average of 3 minutes. Both inter arrival times and service times are exponential. Determine the mean queue length at each work station. Determine the total expected time that a car spends waiting for service.

This is a 2-stage series queuing system. λ = 54 cars per hour c=1 and μ1 =60 cars per hour c=3 and μ2=20 cars per hour. Since λ< μ1 and λ< 3μ2, neither queue will blow up.

For stage 1 (engine): ρ =54/60=0.90 Lq (for engine) =( ρ2/(1- ρ)) =[(0.90)2 / (1-0.90)] =8.1 cars Wq (for engine)=Lq / λ = 8.1 / 54 = 0.15 hour

For stage 2 (tires): ρ =54/(3.20)=0.90 P(j≥3)=0.83 Lq (for tires =[(0.83)(0.90) / (1-0.90)] =7.47 cars Wq (for tires) =Lq / λ = 7.47 / 54 = 0.138 hour Thus the total expected time a car spends waiting for engine installation and tires is 0.15 + 0.138 = 0.288 hour

EXAMPLE A company has a central document – copying service. Arrivals are assumed to follow the Poisson probability distribution, with a mean rate of 15 per hour. Service times are assumed to follow the exponential distribution. With the present copying equipment, the average service time is 3 minutes. A new machine is available that will have a mean service time of 2 minutes. The average wage of the people who bring the documents to be copied is $8 an hour.

If the new machine can be rented for $10 per hour more than the old machine, should the company rent the new machine? Consider lost productive time of employees as time spent waiting in queue only because the copying machine is a self-serve device.

For the old copying machine, what is the probability when a person arrives that he or she will encounter people already waiting in line for service? (Be careful to identify properly the number of customers who might be present for this situation to arise.)

Suppose the new copying machine is rented Suppose the new copying machine is rented. How many chairs should be provided for those waiting in line if we are satisfied when there will be enough chairs at least 90 percent of the time? n Pn Cumulative Pn