EKONOMİK DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ İLİŞKİLERİN TAHMİNİNDE BAYES YAKLAŞIMI [1] Bu konu Griffiths ve diğerleri, Learning and Practicing Econometrics, Bölüm 25’den alınmıştır.

1. Toplam Tüketim İçin Ekonomik Model BÖLÜM 6. EKONOMİK DEĞİŞKENLER ARASINDAKİ İLİŞKİLERİN TAHMİNİNDE BAYES YAKLAŞIMI 1. Toplam Tüketim İçin Ekonomik Model 2. İstatistiksel Model Ve Veri 3. Örnekleme Teorisi Yöntemine Dayalı Tahmin Ve Yorumlama 3. 1 İstatistiksel Model Ve Tahminler 3.2 Örnekleme Teorisi Sonuçlarını Yorumlama 4. Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi 4.1 Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi 5. Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ön Bilgiyi Dahil Etme 5.1 Marjinal Tüketim Eğilimi İle İlgili Ön Bilgi 5.2 2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu 5.2.a Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri 5.2.b 2’nin Nokta Tahmini 5.2c Aralık Tahmini 5.3 1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir? 5.4 Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme 6. İleriye Yönelik Tahminleme 2

BAYESYEN REGRESYON… Bayesyen yaklaşımda, deneme yapılmadan önce parametreye ilişkin sahip olunan ön bilgi, ön bilgiye dayalı olasılık yoğunluk fonksiyonu ile analize dahil edilir. Aslında ön bilgi her araştırmada mevcut olmayabilir veya farklı seviyelerde ön bilgi olabilir. Regresyonda önemli bir aşamayı teşkil eden ön bilgi dağılımın oluşturulması bilgi veren ve bilgi vermeyen olasılık yoğunluk fonksiyonu şeklinde iki başlıkta oluşturulmaktadır.

…BAYESYEN REGRESYON… Bayesyen yaklaşımda klasik regresyonun aksine bilinmeyen; bir sabit değildir. Bayesyen regresyonda bir rastsal değişken P(/) örnek sonrası yoğunluk fonksiyonudur: 1, 2,……, k ve 2 parametreleri birer rastsal değişkendir ve olasılık dağılımları vardır. Bu bölümünde, Bayes kuralıyla değişkenler arasındaki ilişkide bilinmeyen parametrelere ait ön eşitsizlik bilgisini içeren yöntemler incelenecektir.

…BAYESYEN REGRESYON… Ekonomik teoriden, ekonomik ilişkideki parametrelerin işaretleri hakkında çoğu şey bilinir. Örneğin aşağıdaki gibi iki ekonomik değişken arasındaki ilişkide yer alan bir parametrenin işareti hakkında ön bilgi vardır: Bir malın fiyatı arttığı zaman, talep edilen miktarın düşeceğini; Gelir arttığında tüketimin artacağını; Üretim faktörlerinin fiyatları arttığında, çıktının azalacağı bilinmektedir.

…BAYESYEN REGRESYON… X açıklayıcı değişkeni ile Y bağımlı değişkeni arasındaki ilişkiyi açıklayan 1 ve 2 parametreleri aşağıdaki gibidir: X’deki artışın Y’de azalmaya sebep olduğunu, 2’nin negatif olduğu bilindiği varsayılsın. Bu bilgi, 2 < 0 olarak gösterilebildiği için, 2 ile ilgili eşitsizlik bilgisi olarak da ifade edilebilir. Ayrıca bu bilgi, örnekleme sürecinden önce bilindiği için “ön bilgi” veya “örnek dışı eşitsizlik bilgisi” olarak adlandırılır.

…BAYESYEN REGRESYON… Bu bölümün temel amacı, 2’nin büyüklüğü hakkında bilgi elde etmek için kullanılan yöntemlere ön eşitsizlik bilgisini biçimsel olarak dahil etmektir. Diğer bir deyişle, 2<0 eşitsizliği bilindiğinde 2’nin büyüklüğü hakkındaki bilginin elde edilişi ve ifade edilişi incelenecektir.

…BAYESYEN REGRESYON… Toplam tüketim fonksiyonunun parametrelerinin tahmin problemi ele alınsın: (1) C: Tüketim, YD:harcanabilir gelir tüketim fonksiyonunun bilinmeyen parametreleridir. parametresi, otonom tüketimdir, harcanabilir gelir sıfır oldugunda tüketilen miktardır. marjinal tüketim eğilimidir

…BAYESYEN REGRESYON… Bu bölümdeki amaç, bilinmeyen parametreler hakkında tahmin ve yorum yapmaktır. Bu amaç için ilk adım, (1) nolu denkleme ait gözlenmiş örnek verileriyle tutarlı istatistiksel modeli tanımlamaktır. Ekonomik teori tarafından önerilen eşitsizlik bilgisi Buna göre, ön eşitsizlik bilgisini, tahmin ve yorum sürecine sistematik bir şekilde eklemek gereklidir. ve dir.

Bayesyen ve Klasik Yaklaşım Arasındaki Farklar…2 İstatistiksel birçok yöntemin uygulanmasında Bayesyen yaklaşım ile klasik yaklaşım arasında farklılıklar gözlenir. İki yaklaşım arasında en önemli farklılık parametrelerin tanımlanmasında ortaya çıkar: Bayesyen yaklaşımda parametreler raslantı değişkenleri olarak tanımlanırken, klasik yaklaşımda parametreler sabit ancak bilinmeyen değerler olarak tanımlanır. Klasik yaklaşımda yorumlamalar için sadece veriden elde edilen bilgi (olabilirlik fonksiyonu) kullanılırken, Bayesyen yaklaşımda ön bilgi ile veriden elde edilen bilginin birleştirilmesiyle elde edilen örnek sonrası dağılım kullanılır. 10 2 İki Düzeyli Logit ve Probit Modellerde Parametre Tahminlerine Bayesci Yaklaşım, Derya Tektaş, Hacettepe Üniversitesi

…Bayesyen ve Klasik Yaklaşım Arasındaki Farklar2… Başka bir farklılık nokta tahminlerinde ortaya çıkar. Klasik yaklaşımda tahmin değerinin gerçek değerden farklılığı hatanın doğrusal ya da karesel kayıp fonksiyonu ile ölçülürken, Bayesyen yaklaşımda, her bir tahmin edici için beklenen riskler hesaplanır ve beklenen riski en küçük olan tahmin edici en iyi tahmin edici olur. Örnek sonrası dağılımın tepe değeri, Bayesyen yaklaşımda nokta tahminidir. Klasik yaklaşımda aralık tahminleri aralığın parametreyi içermesi olasılığı üzerinden yorumlanırken, Bayesyen yaklaşımda parametrenin aralığa düşme olasılığı üzerinden yorumlanır. Bayesyen istatistikte ön bilgiye ait dağılımların kullanılmasından dolayı varyanslar klasik istatistikte elde edilen varyanslara göre daha küçüktür ve aralık tahminleri daha dar elde edilir 11 2 İki Düzeyli Logit ve Probit Modellerde Parametre Tahminlerine Bayesci Yaklaşım, Derya Tektaş, Hacettepe Üniversitesi

Bayesyen Yaklaşımın Zorlukları ve Üstünlükleri2... Bayesyen yaklaşımda en çok karşılaşılan zorluklar, Ön bilgiye ait dağılımın oluşturulması ve örnek sonrası dağılımın elde edilmesidir. Ön bilgiye ait dağılımın elde edilmesinde, parametre hakkında kesin olmayan bilgilerin önsel dağılıma dönüştürülmesinde ortaya çıkar. Çok değişkenli modeller söz konusu olduğunda, özellikle parametreler arasında ön bilgiye ait ilişkiler varsa, dağılımların belirlenmesi zor olur. Bayesyen yaklaşımın üstünlükleri Klasik istatistikte çözüm bulunamayan problemlere Bayesyen yaklaşım ile çözüm bulur. Bayesyen istatistiğin başka bir üstünlüğü, yorumlama yapmak için örneklem büyüklüğü için bir kısıt olmaması, küçük örneklemlerde de geçerli çıkarsamalar yapılabilmesidir. Ayrıca, Bayesyen yorumlama ile parametreler üzerindeki belirsizlik de azaltılır. Bu üstünlükler, temel olarak Bayesyen yorumlamanın ardışık yapısından kaynaklanır 12 2 İki Düzeyli Logit ve Probit Modellerde Parametre Tahminlerine Bayesci Yaklaşım, Derya Tektaş, Hacettepe Üniversitesi

İstatistiksel Model ve Veri… (1) nolu eşitlikteki tüketim fonksiyonu için ekonomik model istatistiksel modele dönüştürülürse; (2) Burada Yt dönemindeki toplam tüketimi; Xt dönemindeki kullanılabilir geliri; et sıfır ortalamalı ve 2 varyanslı normal dağılımlı T sayıda gözlenemeyen eşitlik hatalarının bağımsız çekilişlerini göstermektedir. Çekilişlerin bağımsız olduğu varsayıldığı için hata çiftleri arasındaki kovaryans sıfırdır.

… İstatistiksel Model ve Veri… Aşağıdaki tabloda 1969-1978 dönemine ait kişisel harcanabilir gelir ve kişisel tüketim harcamaları verileri verilmiştir. Yıl Kişi Başına Yıllık Kullanılabilir Gelir Kişi başına Tüketim 1969 7891 7185 1970 8134 7275 1971 8322 7409 1972 8562 7726 1973 9042 7972 1974 8867 7826 1975 8944 7926 1976 9175 8272 1977 9381 8551 1978 9735 8808

İstatistiksel Model ve Tahminler … 1 ve 2 ye ait bilginin örnekleme teorisi sonuçları verilmeden önce, istatistiksel modeli oluşturulsun: (3) ve İlk örnekleme teorisi sonuçları, en küçük kareler yöntemi nokta tahminleri; (4)

…İstatistiksel Model ve Tahminler … (5) b için tahmin edilen kovaryans matrisi (6) b1 ve b2’nin standart hataları ,bu matrisin köşegen elemanlarının karekökleridir. (7) (8)

…İstatistiksel Model ve Tahminler … Tahmin modeli (9) s(bi ) (532.94) (0.0604) (9) eşitliğindeki tahminler, her parametre için aralık tahmini oluşturmada standart hatalarıyla birlikte kullanılabilir. 1 için %95aralık tahmini; n-k=10-8 (10) 1 için yapılan aralık tahmini, gelirden bağımsız olarak otonom tüketimin en yüksek 1100$ olduğunu ifade etmektedir. En düşük olarak ise -1358$ dır

…İstatistiksel Model ve Tahminler … 2 için %95aralık tahmini; (11) Bu aralık, marjinal tüketim eğiliminin 0.772 ile 1.051 arasında olduğunu gösterir.

…İstatistiksel Model ve Tahminler … Kamu harcama çarpanının 10’dan daha büyük olup olmadığını öğrenmek isteyelim; çarpanı, marjinal tüketim eğilimi olduğunda ortaya çıkar. Böylece, ilgili hipotez çifti; (12) ’nın doğru olduğu varsayılırsa t- istatistiği için hesaplanan değer (13) Slayt 17

…İstatistiksel Model ve Tahminler … %5 önem seviyesinde, tek taraflı test için kritik değer, dır. olduğu için hipotezi reddedilemez.

Örnekleme Teorisi Sonuçlarını Yorumlama… Örnekleme teorisi sonuçlarına dayanılarak elde edilen nokta ve aralık tahminleri tekrar incelenirse; Otonom tüketim için; nokta tahmini aralık tahmini Yaklaşık olarak -129 olan bu negatif değer anlamsızdır; çünkü gelir sıfır olsa bile tüketim negatif olamaz

…Örnekleme Teorisi Sonuçlarını Yorumlama… Marjinal tüketim eğilimi 2; nokta tahmini aralık tahmini Bulunan 0.91 nokta tahmini marjinal tüketim eğilimi için uygun bir tahmindir. Ancak elde edilen (0.772; 1.051) aralık tahmini bilgi verici değildir. Aralığın alt limiti oldukça düşük olup, üst limit ise 1’den büyük olduğundan mümkün bir sonuç değildir.

…Örnekleme Teorisi Sonuçlarını Yorumlama… Bu sonuçları analiz etmek için, Bölüm 5’de anlatılan Bayesyen yapısına dönülmelidir. İki ekonomik değişken arasındaki ilişki araştırıldığında ve 1 >0 ile 0<2 < 1 eşitsizlikleri hakkındaön bilgiye dayalı örnek dışı bilgiye sahip olunduğunda, Bayesyen yapı kullanılan model için genişletilebilir. İlk olarak belirsizlik durumunda ön bilgi bir kenara bırakılarak, 1 ve 2 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonlarının yapısı incelenecektir.

Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… İlk olarak 1 >0 ile 0<2 < 1 ön bilgiye dayalı eşitsizlik bilgisi hesaba katılmasın. Belirsizlik altında 1 ve 2 için örnek alındıktan sonraki yoğunluk fonksiyonlarını elde etmek yararlı olacaktır. Bu durumda ön eşitsizlik bilgisinin örnek alındıktan sonraki yoğunluk fonksiyonlarına nasıl uyarlandığı incelenecektir.

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… Örnek alınmadan önce Tüketim fonksiyonu parametreleri hakkında: bir belirsizliğin olduğu (1 >0 ile 0<2 < 1 ön eşitsizlikleri kullanılmamaktadır) 2’nin bilindiği varsayımıyla çalışmaya başlansın. 1 ve 2 için aşağıdaki tanımlamalar elde edilir: (14) (15) b1 ve b2 normal şans değişkenleri olduğu için z1 ve z2 de standart normal şans değişkenleridir.

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… Örnek alınmadan önce 2’nin bilindiği durumda standart normal dağılım z1 ve z2 ile ilgili olasılık hesapları kullanılabilir. Testi yapılırken; örnek alınmadan önce H0 doğru ise, b2 için olma olasılığı %5’dir Örnekten önce z2 için normal dağılım kullanılırsa 0.95 olasılıkla 2 aralığında olacaktır.

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… Örnek aldıktan sonra 1 ve 2 hakkındaki belirsizliği veya bilgiyi ifade etmek amacıyla olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılmaktadır. Örnek gözlenmiş olsa bile standart normal şans değişkenleri olarak z1 ve z2 ele alınır. Bu nedenle b1 ve b2 sabit rastsal olmayan sayılardır (Örnek ile çalıştık b1 ve b2 yi bilyoruz). 2 için bu işlemler gerçekleştirilsin. 2 bilindiğinde Var(b2)’de bilinmektedir. Bu nedenle sabit bir sayı olarak b2 ’yi ele almak, z2 için tek rastgelelik kaynağının 2 parametresi hakkındaki belirsizlik olduğu anlamına gelir.

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… z2 değişkeni, örnek gözlendikten sonra standart normal dağılımlı olmayı sürdürürse, 2 bir şans değişkeniymiş gibi ele alınır. Aslında 2 bir şans değişkeni değil, yapılan deneyin bir sonucudur. 2’nin gerçek değeri hakkındaki belirsizliği tanımlayan subjektif olasılık fonksiyonunun 2’ye atanabilmesiyle 2 rastsal değişken olarak ele alınabilir. Bu subjektif olasılık fonksiyonunu bulmak için, (15) eşitliğinden, (15) (16)

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… b2 ve sabitleri ve standart normal dağılış değişkeni z2 verildiğinde b2 ye göre olasılık yoğunluk fonksiyonunu bulmak için (16) eşitliği nasıl kullanlır? (16) ’nin doğrusal bir fonksiyonu ve normal dağıldığı için, normal dağılır. nin örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu da normal dağılmaktadır.

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… (16) (16) nolu eşitlikten Ortalaması (17) Varyansı (18)

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… (18) Eşitliğinde örnek sonrası normal yoğunluk fonksiyonunun varyans ifadesi, en küçük kareler tahmincisinin varyans ifadesinin aynısıdır. Örnek aldıktan sonraki yoğunluk fonksiyonunun varyansı için notasyon olarak kullanılır, (19) Tüm bu bilgileri kullanarak 2 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu (20)

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… Benzer şekilde, 1 için Tüm bu bilgileri kullanarak 1 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu (21) (22)

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… (20) (21) (20) ve (21) eşitlikleri, örnek alındıktan sonra parametreler hakkındaki bilgi ve belirsizlik durumunu ifade eden olasılık dağılışlarıdır. 1 ve 2 için örnek alındıktan sonraki yoğunluk fonksiyonları- nı gösterir.

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… Ancak örnek sonrası yoğunluk fonksiyonları anlamlı olmalıdır. Bunun için, örnek alınmadan önce 1 ve 2’ye ilişkin bilgi durumunun ne olduğu sorulmalıdır. Örnek bilgisini kullanarak ön bilginin güncellenmesinin ardından, örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu parametreler hakkındaki bilgiyi tanımlar. Ön bilgi x Veri Örnek alındıktan sonraki bilgi (23) Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunun oluşumunda nasıl bir ön bilginin gerekli olduğu sorusunun yanıtı eşitlik (23) dür. Bu da Bayes kuralını ifade etmektedir.

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… Tüketim fonksiyonu örneği kapsamında (20) ve (21) eşitliklerinden örnek alındıktan sonraki yoğunluk fonksiyonları incelensin. 2 =11000 olduğu varsayılsın. Tablo 1’deki verilerle 1 ve 2 için örnek sonrası normal yoğunluk fonksiyonları (24)

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… Beyesyen den gelen standart sapmalar Örneklem teorisi (25) örneklem teorisindeki standart hatalara çok yakındır. Bu yakınlığın nedeni, örneklem teorisindeki varyans tahmini değerinin 2 =11000 değerine yakın olmasıdır.

…Varyansın Bilinmesi ve Ön Bilginin Olmadığı Durumda Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ait Belirsizliğin İfade Edilmesi… Sonuç olarak, b1 ve b2 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonları şeklen en küçük kareler tahmincileri b1ve b2 için tahminlenen olasılık yoğunluk fonksiyonlarına benzerdir. Aynı ortalamalara ve hemen hemen aynı standart hatalara sahiptir. BU DURUM BAYESYEN YORUMLAMA İLE ÖRNEKLEME YÖNTEMLERİNE DAYALI TAHMİN VE YORUMLAMALAR AÇISINDAN KARŞILAŞTIRMA YAPMAYI SAĞLAR.

Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi … Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonundan özet ölçüler hakkında bilgi vermek, tüm örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunun kendisi hakkında bilgi vermekten daha uygundur. Üç yararlı özet ölçüsü: 1)Parametreler , 2)aralık tahminleri ve 3)hipotezlerin karşılaştırılması ile ilgili olasılık hesaplarıdır

Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi … Parametreler: İki olasılık ifadesi ilgilenilsin. Otonom tüketimin negatif olması ve marjinal tüketim eğiliminin birden büyük çıkması imkansızdır. Örnek sonrası yoğunluk fonksiyon bilgileri ile (26a) (26b) Böylece, verilen model ve tahminlerle marjinal tüketim eğiliminin birden büyük olması ihtimali vardır. (yaklaşık olarak %7). Benzer şekilde, otonom tüketimin negatif olma olasılığı 0.6’dır.

…Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi … 2. Aralık tahminleri %95 aralık tahminlerini bulmak için 3. kısımdaki yöntemler kullanılsın. s2 bilinmektedir. Dağılım z ye daha uygundur. Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonlarıyla yapılan 1 ve 2 için olasılık hesapları: 2 için, (27) 1 için, (28)

…Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi … En küçük kareler sonuçlarında olduğu gibi, bayesyen ile ilgili aralık sonuçları da uygun olmayan alanlarda ortaya çıkmıştır. ( 1 <0 ve 2 >1). Bu durumun ortaya çıkmasının nedeni, 1 ve 2 üzerine hiçbir koşul konmadığı ve tamamıyla bilgi olmamasından kaynaklanmaktadır.

…Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi … 3. Hipotezlerin karşılaştırılması Son olarak, fark oranı üzerine kurulan iki hipotez karşılaştırılsın. 2>0.9 olup olmadığıyla ilgilenilsin. H1 hipotezi lehine fark oranı, 2’nin 0.9 dan büyük olması, 2’nin 0.9’dan küçük olmasına göre 1.35 kat daha fazla olasılığa sahiptir.

…Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonlarından Bilginin Özetlenmesi … H0 hipotezi lehine fark oranı,

Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ön Bilgiyi Dahil Etme… Tüketim fonksiyonu parametreleri için örnek alındıktan sonraki yoğunluk fonksiyonunu incelerken sadece örnek bilgisi bu yoğunluk fonksiyonuna dahil edilmiştir. Ön ve örnek eşitsizlik bilgisinin her ikisinden de bilgi edinme süreci içerisinde problem dâhilinde yararlanılmaktadır. Bu kısımda ön ve örnek eşitsizlik bilgileri dahil edilecektir. Otonom tüketim 1 ve marjinal tüketim eğilimi 2 aşağıdadır: (29) Hata varyansı 2’nin bilindiği varsayılmaktadır.

…Tüketim Fonksiyonu Parametrelerine Ön Bilgiyi Dahil Etme… Kısım 5.1’den 5.3’e kadar ki bölümlerde, aşağıdaki sorular araştırılacaktır. (1) Ön olasılık yoğunluk fonksiyonuna göre 0<2 <1 olan ön bilgi nasıl ifade edilir? (2) Ön olasılık yoğunluk fonksiyonunu örnek bilgisiyle birleştirmek için Bayes kuralını kullandıktan sonra, 2 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunun niteliği nedir? Örnek gözlemlendikten sonra bilgi nasıl ifade edilir? (3) Nokta ve aralık tahminlerini bulmak ve olasılık ifadelerini oluşturmak için, ön eşitsizlik bilgisini içeren 2’nin yeni örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu nasıl kullanılır? (4) 2’nin ön eşitsizlik bilgisi, 2’in örnek alındıktan sonraki bilgisini etkiler mi?

Marjinal Tüketim Eğilimi ile İlgili Ön Bilgi… İlk olarak birinci soru ele alınırsa; 0<2 <1 ön eşitsizlik bilgisi, ön olasılık yoğunluk fonksiyonu yönünden nasıl ifade edilecektir. Eğer 0<2 <1 olduğu bilinirse, fakat 2’nin (0,1) aralığında nerede olduğu bilinmiyorsa, o zaman eşit olasılıkla 0 ile 1 arasındaki bütün değerleri öneren bir olasılık yoğunluk fonksiyonu uygun bir fonksiyon olacaktır. Bu özellikteki bir olasılık yoğunluk fonksiyonu, uniform yoğunluk fonksiyonudur: (30)

…Marjinal Tüketim Eğilimi ile İlgili Ön Bilgi… Bu fonksiyonla (0,1) aralığında bulunan bir aralıkta uzanan b2’nin olasılığı, sadece o aralığın uzunluğuna bağlıdır. 1 Şekil 2: (0,1) aralığındaki 2’nin ön uniform olasılık yoğunluk fonksiyonu

2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu… 2=11000 olduğu varsayıldığında ve tam olarak ön eşitsizlik durumuna karşılık 2 için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu incelediğinde aşağıdaki sonuçlar bulunmuştu: (31) (Bayes sonuçları) (32) %95 aralık tahmini, (Bayes güven aralığı sonuçları) (33) (0,1) aralığı dışında olma olasılığı (0,1) aralığı dışında olma olasılığı (34)

…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu… (35) ’nin altında yer alan N, normal dağılım simgesini göstermektedir. Ayrıca, /y ise örnek bilgisi üzerindeki koşulu ifade etmektedir. Örnek “y” gözlendikten sonra 2 hakkındaki bilgi veya belirsizliği ifade eden normal bir dağılışı ifade etmektedir.

…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu… 0.072 0.8 0.911 1.00 Şekil 3 Örnek sonrası normal yoğunluk fonksiyonu (0,1) aralığı dışında olma olasılığı

…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu… Eğer (0,1) aralığı dışında değerleri için örnek öncesi yoğunluk fonksiyonu sıfır olasılık veriyorsa, o zaman bu bilgiyi içeren ve örnekle sağlanan ek bilgili örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu (0,1) aralığı dışındaki değerlere sıfır olasılığını vermelidir. olması için (35) eşitliğindeki fonksiyonunun nasıl değiştirilebileceği araştırılsın. Şekil 3’deki tüm durumlar için olduğu açıkça görülmektedir. (35)

…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu… kısıtını incelemek için sadece fonksiyonunu değiştirerek incelemek gerekir. Böyle bir değişiklik örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunu 1’de kesmektir. Yoğunluk fonksiyonunu 1’de kesmek, olasılık yoğunluk fonksiyonu altında 1’in sağındaki taralı bölgeyi çıkartıp, yoğunluk fonksiyonun tamamı üzerine oransal olarak dağıtmak anlamına gelir. Elde edilen olasılık yoğunluk fonksiyonu kesikli normal dağılım dır.

…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu… Bu yoğunluk fonksiyonu dur. 1.00 Şekil 4. için normal ve kesikli normal örnek sonrası yoğunluk fonksiyonları Bu fonksiyon, Şekil 4’de normal dağılış boyunca çizilmiştir. Yeni kesikli normal yoğunluk fonksiyonu (0,1) aralığı dışında bir alana sahip değildir. Ayrıca daha önceki normal dağılıştan biraz daha yüksektir.

…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu… Çünkü (0,1) aralığı dışındaki olasılıklar (0,1) aralığı içerine aktarılmaktadır. Yani (0,1) dışındaki gölgeli alan, =Toplam alan- kesikli alan Kesikli normal dağılım fonksiyonu örnek sonrası yoğunluk fonksiyonudur. (0,1) aralığında uniform bilgisi ve Bayes kuralının birleştirilmesi ile elde edilmektedir.

…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu… yoğunluk fonksiyonu eşitliğinden yoğunluk fonksiyonu eşitliği nasıl elde edilebilir? Normal dağılımdan hesaplanan olasılıklar için Kesikli normal dağılış olasılıkları için kullanılsın . ve olasılıkları bilinmektedir. (0,1) aralığı içinde örnek sonrası kesikli normal dağılım için yoğunluk fonksiyonu;

…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu… (36) (0,1) aralığında, ’nin bölünmesi ile fonksiyonu elde edilir. Bir başka ifadeyle aralık içerisinde normal dağılım eşitliğini, olasılığı ile böleriz. olasılığı (36 nolu ifadedeki payda), 1’den küçük olduğu için yoğunluk fonksiyonunun yüksekliği artar.

…2’nin Örnek Alındıktan Sonraki Yoğunluk Fonksiyonu… Kesikli normal dağılım fonksiyonu örnek sonrası yoğunluk fonksiyonudur ve ön eşitsizlik bilgisi ve b2 ye ilişkin örneklem bilgisini birleştirmektedir. Kesikli normal yoğunluk fonksiyonu örnek alındıktan sonra b2 hakkındaki bütün bilgiyi (önceki eşitsizlik ve örnek bilgisini) temsil eder. Bu durum b2 hakkındaki bilginin tam ifadesi olduğu için marjinal tüketim eğilimi araştırma sonuçları hakkında bilgi vermenin uygun bir yoludur. Bununla birlikte, olasılık ifadeleri ve nokta-aralık tahminleri gibi (36) eşitliğinden türetilen bazı özet ölçüler verebilir.

…Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri… Kesikli normal dağılıştan elde edilen olasılık ifadelerini hesaplamak için aşağıdaki ifade yazılır: Eğer c ve d noktaları (0,1) aralığındaysa, (37) Normal dağılımdan elde edilen aralık, bir yoğunluk fonksiyonundan başka bir yoğunluk fonksiyonuna dönüşümde kullanılan aynı olasılık sabitine karşılık gelen olasılığa bölünür. (0,1) aralığı dışındaki c ve d noktaları için olduğu bilinmektedir.

…Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri… ve olsun. Normal dağılımdan elde edilen sonuçlar: ve olasılıkları bulunmuştu. b2 nin 1’den daha büyük olamadığı bilindiğinde ve kesikli normal dağılım kullanıldığında; olasılığı bulunur. (38)

…Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri… ’den ’ye giderken 0.9’un sol tarafındaki yoğunluk fonksiyonu altında kalan alan 0.426’dan 0.459’a artar. (39) (38) ve (39) denklemlerinin olasılıklarının toplamının bir olması beklenmektedir.

…Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri… 0.9’un sağındaki bölgede, b2’nin 0.9 ve 1 arasında olma olasılığı 0.502’den 0.541’e çıkmıştır. fonksiyonunun sağ kuyruğundan gelen 0.072 olasılık değerine dikkat etmek gerekir. 0.072’nin bir bölümü 0.9’un sol tarafında kalan alandan (0.459-0.426=0.033) ve diğer bir bölümü 0.9’un sağ tarafında kalan alandan (0.541-0.502=0.039) aktarılarak bulunmuştur.

…Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri… (38) ve (39) eşitliklerindeki gibi olasılıkları elde etmenin veya “tahmin etmenin” başka yolu daha vardır. Bu yöntemi tanıtmak için bir oranı tahmin etmenin problemi incelensin. 50.000$’dan daha yüksek gelirli San Francisco hanehalkının oranı için bir hanehalkı şans örneği alınıp ve 50.000$’dan daha fazla gelirli olan hanehalkı sayısı bulunur. Oran tahmini, örnekteki 50.000$’dan daha yüksek gelirli hanehalkı sayısının örnekteki toplam hanehalkı sayısına bölümüyle verilir. Bu oranı tahmin etmek ile bir olasılığı tahmin etmek aynıdır. Açık olarak, rastgele seçilen bir San Francisco hanehalkının 50.000$’dan daha yüksek gelire sahip olma olasılığı tahmin edilecektir.

…Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri… Benzer bir strateji, (38) ve (39) eşitliklerindeki olasılıkları tahmin etmek için uygulanabilir. (38) ve (39)’deki hesaplamaları yapmak olanaksız ise bilgisayar kullanmak yararlı bir yöntemdir. Bilgisayardan rastgele sayılar türeterek yapay bir şekilde ortalaması b2=0.9113ve standart sapması 0.0605 olan normal bir dağılımdan istenilen büyüklükte bir örnek oluşturulabilir. Daha sonra (0,1) aralığı dışındaki gözlemler çıkarılır. Kalan gözlemler kesikli normal dağılıştan gelen rastgele bir örneği oluşturur. 0.9’un altında olan bu kalan gözlemlerin oranı, ’nın bir tahminidir. (39) nolu ifade de bulunan gözlemlerin oranı , için bir tahmindir.

…Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri… Atılan orijinal gözlemlerin oranının, için bir tahmin olduğuna dikkat edilmelidir. Bu yaklaşımı örneklemek için 0.9113 ortalamalı ve 0.06065 standart sapmalı normal dağılıştan 5000 rastgele sayı türetilsin. Elde edilen sonuçlar Tablo 2’de.

…Kesikli Normal Dağılımdan Elde Edilen Olasılık İfadeleri… Tahmin edilen olasılıklar, normal dağılımdan doğrudan hesaplanan olasılıklara çok yakındır. 5000’den daha fazla gözlem alınırsa daha yakın tahminler elde etme şansı vardır. Gözlem sayısı arttığında sonuçlar birbirine daha da yakınlaşacaktır.

Tablo2.Yapay olarak üretilen örneğe ilişkin gözlenen ve tahminlenen olasılıklar Gerçek Olasılık

2’nin Nokta Tahmini… Kayıp fonksiyonu karesel olduğunda, örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu ortalaması, beklenen kaybı minimize eden parametre tahminidir. Karesel kayıp fonksiyonunun konuyla bağlantılı olduğunu ve bu nedenle 2 için bir nokta tahmini olarak kesikli normal dağılışın ortalamasına ihtiyaç olduğu varsayılsın. Elde edilecek nokta tahmini ortalama, her zamanki normal dağılıştan elde edilen ortalama ile aynı olmayacaktır. Nedenini anlamak için normal dağılım ortalamasının tanımını incelemek gerekmektedir.

…2’nin Nokta Tahmini… (40) Eşitlik (40), 2 için olasılık yoğunluk fonksiyonu ile verilen ağırlıklarla, tüm değerlerinin ağırlıklı ortalaması alınır. Birden büyük değerleri içeren b2 değerleri ile ağırlıklandırılır.. Kesikli normal dağılış kullanıldığında , (0,1) aralığı dışındaki ağırlıklar 0 ve (0,1) aralığı içindeki ağırlıklar da normal dağılım ile sağlanan ağırlıklardan daha büyüktür. 2 < 0 olduğunda her iki dağılımdaki ağırlıklar 0’dır.

…2’nin Nokta Tahmini… Sonuçta, ve ortalamalarını karşılaştırırken sadece 2 , 0 ile 1 arasında ve 2’nın 1’den büyük olduğunda ortaya çıkan ağırlıkları incelemek gerekir. (Kesikli normal dağılım) ortalaması için önemli farklılıklar şunlardır, 1’den büyük b2 değerleri artık ortalamaya katılmaz 1’den küçük değerler daha fazla katkı yapmaktadır. Bu şartlar altında,. ortalaması < ortalaması

…2’nin Nokta Tahmini… (41) Kesikli normal dağılımın ortalamasını ifade eden (41) eşitliğindeki integral hesaplamak için Bilgisayar tabanlı sayısal bir integrasyonu kullanmak veya Yapay olarak oluşturulan örneği kullanarak ortalamayı tahmin etmek gerekir.

…2’nin Nokta Tahmini… olduğu fonksiyonundan gözlemler üretmek için bilgisayar kullanıp birden büyük gözlemler atılabilir. Kalan gözlemler kesikli normal dağılımdan bir şans örneği oluşturur. Bu kalan gözlemlerden elde edilen örnek ortalaması, (41) eşitliğinde verilen (kesikli normal dağılımın) ortalamasının bir tahminidir.

…2’nin Nokta Tahmini… Yapay olarak üretilen örnekte, 2 < 1 olduğu 4615 gözlem alınıp 385 gözlem atılmıştır. (42) 4160.8 değeri; 2 için 1’den küçük 4615 tane sayının sayısal değerlerin toplamıdır. Bütün 2’ lerin değeri 1den küçük olduğu için 4615 sayının toplamı da 4615den küçük olacaktır. Beklendiği gibi marjinal tüketim eğilimi için 0.9016 tahmini, 0.9113 tahmininden daha düşüktür. 0.9113 değeri 2 için uygun alan üzerindeki ön bilgiyi hesaba katmaz.

…2’nin Nokta Tahmini… Kesikli normal dağılışın dağılım ölçüsü de elde edilebilir. Kalan gözlemlerden elde edilen 2 ’nin örnek varyansı varyansının bir tahminidir. Tahmin edilen varyans için notasyonu kullanılarak, 4615 gözlemden, (43) Kesikli dağılışın standart sapması (0.05283), ön bilgi kullanıldığında ve sadece 0 ile 1 arasındaki 2 değerleri mümkün olduğunda oluşan dağılımdaki azalmayı yansıtarak, normal dağılım standart sapmasından (0.06065) daha azdır.

…Aralık Tahmini… Tablo 3: 2 için Örnek Sonrası Yoğunluk Fonksiyonunun Ortalamaları ve Standart Sapmaları   Belirsizlik Altında Ön Bilgi Ön Eşitsizlik Bilgisi Ortalama 0.9113 0.9016 Standart Hata 0.06065 0.05283

Aralık Tahmini… Geriye kalan özet ölçü kesikli normal örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunda aralık tahminidir. %95 olasılıkla bir aralık tahmini a1 ve a2 değerlerini bulma problemi olmaktadır: (44) Ön bilgi olmadığında aralık tahmini (0.792, 1.030) idi.( 33 eşitliğinde) olarak verildiğinde ve ’den ortak olasılığın büyük kısmı sadece 1’in altında toplandığında, aralığın üst limitini a2=1 almak uygundur. O zaman problem, a1 ’i elde etme problemi olur:

…Aralık Tahmini… (45) a1 değeri; kesikli normal dağılım olasılıkları ile normal dağılım olasılıkları arasındaki ilişkiyi kullanarak bulunabilir: veya Sonuçta kesikli normal dağılımdan %95 olasılıkla bir aralık tahmini bulma problemi, normal dağılımdan 0.882 olasılıkla bir aralık tahmini bulma açısından yazılabilir:

…Aralık Tahmini… ve Standart normal dağılım tablosundan z değeri kullanılarak a1 = 0.809 değeri elde edilir. 77

…Aralık Tahmini… 2 ’nin aralığı hakkında ön bilgiyi vermeden önce, uygun aralık tahmini (0.793, 1.030) Ön bilginin verilmesi (0.809, 1) Ön bilginin verilmesi ile daha dar, daha bilgilendirici aralık tahmini elde edilmiştir.

1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?... 2 ye ilişkin ön eşitsizlik bilgisi, 1’e ilişkin örnek sonrası bilgiyi değiştirir mi? Bir başka ifadeyle, marjinal tüketim eğilimi hakkındaki ön eşitsizlik bilgisi otonom tüketim hakkındaki örnek sonrası bilgiyi değiştirebilir mi?

…1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?... İlk olarak  vektörü üzerinde ön bilgi olmadığı varsayılacaktır. En küçük kareler tahmincisi için (47) Tüketim problemi için, b tahmincisi ortalama vektörü  ve kovaryans matrisi olan iki değişkenli normal dağılıma sahiptir.

…1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?... Örneği gözlemledikten sonra  hakkındaki belirsizliği ifade etmek için bir olasılık yoğunluk fonksiyonu kullanılır: (48)  için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu, b ortalamalı ve kovaryans matrisi olan iki değişkenli normal dağılımdır. Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu, 2 bilindiği zaman uygun bir fonksiyondur ve burada  üzerinde ön bilgi bulunmamaktadır.

…1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?... Araştırmayı ilerletmek için ifadesini tam olarak yazılırsa; (49) 1 ve 2 hakkındaki örnek sonrası bilgi:

…1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?... (50) Kovaryans terimi 1 ve 2 ye ilişkin bilginin nasıl ilişkili olduğunu tanımlamaktadır Bu değer sıfırdan farklı olduğu zaman, iki parametre arasında ilişki söz konusu olup bir parametreye ilişkin bilinenler diğer parametre ile ilgili ne bilindiğini de ortaya çıkarmaktadır. Sadece 1 ile ilgileniliyorsa; Sadece 2 ile ilgileniliyorsa; olarak ayırmak yeterlidir.

…1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?... 1 ve 2 hakkındaki bütün bilgiyi özellikle de 1 ve 2 ’in ilişki olduğu bilgisini elde etmek için, her iki parametre için ortak örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunu belirtmek gerekir. vektörü için örnek sonrası yoğunluk fonksiyonuna ihtiyaç vardır. Bu ortak örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu (48) eşitliğinde verilen iki değişkenli normal dağılımdır. (48)

…1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?... 0<2<1 bilgisi, 1 hakkındaki bilgiyi nasıl değiştirir? olduğunda olur. 2 ’nin daha küçük değerleri karşısında, 1 ’in daha büyük değere sahip olması (veya tam tersi) beklenir. (Ek Bilgi) 1 ’e ait bilginin, 0<2 <1 ön eşitsizliğin verilmesi ile nasıl değiştiğini daha iyi belirlemek için bilgisayar kullanılabilir.  için iki değişkenli normal dağılımdan yapay olarak gözlemler türetilebilir. İki değişkenli kesikli normal dağılıştan elde edilen bir şans örneği (0<2<1 dışında kalan) 2>1 veya 2<0 olduğu değerleri atarak elde edilir.

…1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?... Kalan gözlemler 1 ’e ilişkin olasılık hesaplamalarının yanı sıra 1’in varyans ve ortalamasının tahmini için kullanılmaktadır. 5000 şans örneğini kullanarak aşağıdaki bilgi elde edilmiştir: Kalan gözlemler: 4615 0 ve (varsayalım ki) 750 arasındaki 1 için kalan gözlemlerin sayısı: 1832 1 ilişkin kalan gözlemlerin örneklem ortalaması: -46.17 1 ilişkin kalan gözlemlerin örneklem standart sapması: 467.26

…1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?... Tablo 4. 1 üzerindeki örnek sonrası bilgi   Kesin olmayan ön bilgi Eşitsizlik ön bilgisi .355 1832/4615=.397 Ortalama -128.94 -44.17 Standart Sapma 535.03 467.26 Standart normal dağılımdan (z) Bu durumda, iki değişkenli kesikli normal dağılıştan bir şans örneği elde etmek için 1>0 veya 0<2 <1 veya her ikisi de kendi eşitsizliklerini yerine getirmezse, o gözlem çifti atılır. Bu durumu sağlayan gözlem sayısı 1832 dir.

…1 ve 2’deki Bilgi Nasıl İlişkilendirilir?... Pozitif değer aralığında (0,750) bulunan 1 ’in olasılığı az da olsa artmıştır. Örnek sonrası yoğunluk ortalaması (karesel kayıp altındaki 1 için bir nokta tahmini) hala negatif olduğu halde artmışdır Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonunun standart sapması, 2 aralığı sınırlı olduğunda oluşan dağılımdaki azalmayı yansıtarak düşmektedir

Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme… Bu bölümden önce 1 ve 2 parametreleri için iki ön eşitsizlik sınırlaması olduğu gösterilmiştir. Birinci kısıtlama, marjinal tüketim eğiliminin 0 ile1 arasında olduğudur. İkinci kısıtlama, otonom tüketim 1 pozitiftir, toplam tüketim fonksiyonuyla, gelir asla sıfıra yakın değildir. Bununla beraber iki kısıt üzerine 1>0 ön eşitsizliği de eklenir.

…Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme… Daha önceki bölümlerde olduğu gibi 1>0 ve 0<2<1 eşitsizlik sınırları konduğunda ayrı ayrı parametreleri incelemek mümkün değildir. 2 üzerindeki sınırın 1 hakkındaki bilgiyi nasıl değiştirdiğini görmek için iki parametreyi birlikte incelemeye ihtiyaç vardır. Her iki parametre üzerindeki kısıtların var olduğu yerde, 1 üzerindeki ön bilgi, 2 örnek sonrası bilgiyi karşılıklı olarak etkileyecektir. Bu nedenle, iki parametre ortak olarak incelenmelidir ve için iki değişkenli normal dağılımdan yapay bir örnek çekmek gerekmektedir

…Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme… Bu durumda, iki değişkenli kesikli normal dağılıştan bir şans örneği elde etmek için 1 veya 2 veya her ikisi de kendi eşitsizliklerini yerine getirmezse, o gözlem çifti atılır. 1 için ön olasılık yoğunluk fonksiyonu, 1’in pozitif değerleri için 1’e ve negatif değerleri için 0’a eşit olan uniform bir fonksiyondur.

…Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme… Adımları aşağıdaki gibi özetlenebilir: b ortalama ve kovaryans matrisi ile iki değişkenli normal dağılımdan 5000 gözlem türetilir. Bu gözlemler ile ilgili gözlemlerden oluşmakta ve rastgele örneği ifade etmektedir. Ön eşitsizlik bilgisi olmadan örnek sonrası yoğunluk fonksiyonundan elde edilmiştir.

…Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme… 1>0 , 2<0 veya 2>1 olan gözlemler çıkarılmıştır. ile ilgili kalan gözlemler kesikli iki değişkenli normal dağılımdan rastgele örneklemi oluşturmaktadır. Örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu ön eşitsizlik bilgisi içermektedir. Kesikli örnek sonrası yoğunluk fonksiyonu ile ilgili standart sapma, ortalama ve olasılıkları tahmin etmek için kalan gözlemler kullanılmaktadır. Örneğin belli bir aralıktaki 2 gözlemlerinin oranı o aralıktaki 2 olasılığının bir tahminidir. 1 ve 2’nin ortalama ve standart sapma tahminleri kalan gözlemlerin örnek ortalamaları ve standart sapmalarıyla verilir.

…Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme… Belirsizlik

…Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme… Otonom tüketim için, her iki sınırlamanın da olduğu nokta tahmini 382.31$ ve marjinal tüketim eğilimi 0.85, Sadece 0<2 <1 sınırlamasının olduğu durumda ise bu değer -44.17 ve 0.90 dır. 1 >0 eşitsizliği eklendiğinde sonuçların etkilendiği görülmektedir. Çünkü bu sınırlama eklendiğinde, 5000 gözlem değerinden 2937 gözlem çıkarılmıştır. Oysa, 0< 2 <1 sınırlaması olduğu durumda 385 gözlem çıkarılmıştı. 2 >0.9’a karşılık 2 ≤ 0.9 fark oranı son derece büyük olup, bu değer tüm ön bilgilerin dahil olduğu durumlara göre farklılık göstermektedir

…Her İki Parametreye Ön Bilgiyi Dahil Etme… Her iki kısıtla, 2 için hemen hemen tüm olasılık 0.9’un altında yer alır. Aksi takdirde, 0.9’dan daha büyük olan fark oranı, 0.9’un altındaki fark oranından daha az büyüktür. Tablo 5’deki çeşitli olasılık ifadeleri aynı farklılıkları yansıtır. Ön bilgi kullanımının kamu harcaması çarpanı üzerinde bir etkiye sahip olduğuna dikkat edilmelidir. Ön bilgi olmadan bu çarpan yaklaşık olarak 11 ve her iki kısıt kabul edildiğinde, yaklaşık olarak 7 olmaktadır.