DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI Örnek: Bir mekanik sistemin matematik modeli aşağıdaki diferansiyel denklem takımı ile ifade edilmektedir. Burada f girdi, x1 ve x2 ise çıktılardır. t=0’da x1=2 ve x2=-1 dir. Sistemin özdeğerlerini bulunuz. f girdisi 3 şiddetinde adım girdi ise x1(t)’yi bulunuz. f girdisi 3 şiddetinde adım girdi ise x2(t)’yi bulunuz. x1’in ilk şartlara bağlı cevabını x1(t) bulunuz. x2’nin ilk şartlara bağlı cevabını x2(t) bulunuz. [sI-A]-1 MATLAB ile nasıl bulursunuz?

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI Sol tarafta 1. mertebeden türevli terimler, sağ tarafta ise türevsiz terimler bulunacak şekilde diferansiyel denklem takımını düzenleyelim. Durum değişkenleri formu A B D(s)

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI a) Özdeğerler D(s) polinomunun kökleridir. Veya özdeğerler A matrisinin Eigenvalue’leridir. Veya GENEL ÇÖZÜM İLK ŞARTLARA BAĞLI ÇÖZÜM HOMOJEN ÇÖZÜM ZORLAMAYA BAĞLI ÇÖZÜM ÖZEL ÇÖZÜM İlk Şartlar b) Zorlamaya bağlı x1(t) clc;clear; pay=[4.5 67.5]; payda=[1 15 -280 0]; [r,p,k]=residue(pay,payda)

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI Pozitif kökten dolayı sistem kararsızdır. c) Zorlamaya bağlı x2(t) clc;clear; pay=[6 174]; payda=[1 15 -280 0]; [r,p,k]=residue(pay,payda) x2ö’nin Laplace Dönüşümü

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI d) x1’in ilk şartlara bağlı cevabını x1(t) bulunuz clc;clear; pay=[2 -25]; payda=[1 15 -280]; [r,p,k]=residue(pay,payda) e) x2’nin ilk şartlara bağlı cevabını x2(t) bulunuz clc;clear; pay=[-1 4]; payda=[1 15 -280]; [r,p,k]=residue(pay,payda) f) [sI-A]-1 MATLAB ile nasıl bulursunuz? clc;clear; syms s; i1=eye(2) A=[-20 15;12 5]; a1=inv(s*i1-A) pretty(a1)

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI Örnek 1: Aşağıda verilen mekanik sistemin hareket denklemini durum değişkenleri formunda yazınız. Sistem üzerine etki eden kuvvet F(t)=100 u(t) olup (100 Newton genliğinde basamak girdi) t=0’da x0=0.05 m ve dx/dt=0’dır. x(t) ve v(t)’yi bulunuz. Durum değişkenleri x ve v=dx/dt dir. m=20 kg c=40 Ns/m k=5000 N/m Özdeğerler için MATLAB programı >>a=[0 1;-250 -2];eig(a)

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI Her iki tarafa Laplace dönüşümü uygular ve düzenler isek İlk Şartlara Bağlı Çözüm Zorlamaya Bağlı Çözüm

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI clc;clear; syms s; A=[0 1;-250 -2]; i1=eye(2); %2x2'lik birim matris siA=s*i1-A; x0=[0.05;0]; %Baslangic sartlari B=[0;0.05]; Fs=100/s; X=inv(siA)*x0+inv(siA)*B*Fs; pretty(X) x(t) için clc;clear; pay=[0.05 0.1 5]; payda=[1 2 250 0]; [r,p,k]=residue(pay,payda)

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI Düzenli rejim değeri (Son değer) Başlangıç değeri, x0

DİFERANSİYEL DENKLEM TAKIMLARI v(t) için clc;clear; pay=[-7.5]; payda=[1 2 250]; [r,p,k]=residue(pay,payda)