Lineer Programlama: Model Formulasyonu ve Grafik Çözümü 2. Bölüm

Konu Başlıkları Model Formulasyonu Maximizasyon Model Örneği Lineer Programlama Modellerinde Grafik Çözümlemeleri Minimizasyon Model Örneği Diğer Lineer Programlama Model Örnekleri Lineer Programlama Problemleri Örnekleri

Lineer Programlama: Genel bakış Karar amaçları karın maximizasyonunu veya karın minimizasyonunu içerir. Lineer programlama firmanın kararlarını temsil etmek için lineer cebirsel ilişkileri (verilen amaç ve kaynak kısıtlarını) kullanır. Uygulama adımları: Problemi lineer problemle çözülebilecek hale getirme. Matematiksel model kurma ve formüle etme. Modeli çözme. Uygulama.

Model Bileşenleri Karar değişkenleri – matematiksel semboller firmanın faaliyetinin seviyesini temsil eder. Amaç fonksiyonu – firmanın amacını lineer matematiksel ilişki ile açıklama. Bu fonksiyon maksime ve minime etme olabilir. Kısıtlar – Karar değişkenlerinin sınırlamalarını içerir. Parametreler - amaç fonksiyonunda ve kısıtlarda kullanılan sayısal katsayılar ve sabitler.

Model Formulasyon adımlarının özeti Adım 1 : Karar değişkenlerini belirle Adım 2 : Amaç fonksiyonunu belirle Adım 3 : Kısıtları belirle

Maksimizasyon Örneği (1 / 3) LP Model Formülasyonu Maksimizasyon Örneği (1 / 3) Kaynak İhtiyaçları Ürün Çalışan (Saat/Adet) Kil (Kg./Adet) Kar (TL/Adet)) Kase 1 4 40 Kupa 2 3 50 Şekil 2.6 Çömlek Şirketi Veriler: 120 kg. kil, günde toplam 40 saatlik çalışma süresi. Karı maksimize etmek için ne kadar kupa ve kase üretmemiz gerekir?

Maksimizasyon Örneği (2 / 3) LP Model Formülasyonu Maksimizasyon Örneği (2 / 3) Kaynak Günde 40 saat çalışma Durum: 120 kg kil Karar x1 = günde üretilen kase sayısı Değişkenleri: x2 = günde üretilen kupa sayısı Amaç Maksimize Z = 40TLx1 + 50TLx2 Fonksiyonu: Z = günlük kar Kaynak 1x1 + 2x2  40 çalışma saati Kısıtı: 4x1 + 3x2  120 kil ağırlığı Negatif olmayan x1  0; x2  0 Kısıtlar:

Maksimizasyon Örneği (3 / 3) LP Model Formülasyonu Maksimizasyon Örneği (3 / 3) Lineer Programlama Modeli: Maximize Z = 40TLx1 + 50TLx2 1x1 + 2x2  40 4x1 + 3x2  120 x1, x2  0

Uygun Çözüm Bir uygun çözüm kısıtlamaların herhangi birini ihlal etmez : Örnek: x1 = 5 kase x2 = 10 kupa Z = 40TLx1 + 50TLx2 = 700TL Çalışan kısıtı kontrolü: 1(5) + 2(10) = 25 ≤ 40 saat Kil kısıtı kontrolü: 4(5) + 3(10) = 70 ≤ 120 kg

Olanaksız çözümler Bir olanaksız çözüm kısıtlamaları en az birini ihlal eder: Örnek: x1 = 10 kase x2 = 20 kupa Z = 40TLx1 + 50TLx2 = 1400TL Çalışan kısıtı kontrolü: 1(10) + 2(20) = 50 > 40 saat

LP Modellerde grafik çözümleri Grafik çözüm sadece iki karar değişkeni içeren doğrusal programlama modelleri ile sınırlıdır. (üç değişkenli modellerde büyük zorluklarla kullanılabilir). Grafik yöntemler doğrusal programlama problemi için çözüm elde eder.

Maksimizasyon Modeli Grafik Çözümü (1 / 12) Koordinat Ekseni Maksimizasyon Modeli Grafik Çözümü (1 / 12) X2 kupa Max Z = 40TLx1 + 50TLx2 1x1 + 2x2  40 4x2 + 3x2  120 x1, x2  0 X1 kase

Maksimizasyon Modeli Grafik Çözümü (2 / 12) Çalışan kısıtı Maksimizasyon Modeli Grafik Çözümü (2 / 12) Max Z = 40TLx1 + 50TLx2 1x1 + 2x2  40 4x2 + 3x2  120 x1, x2  0 Şekil 2.3 Çalışan kısıtı grafiği

Maksimizasyon Modeli Grafik Çözümü (3 / 12) Çalışan ksısıtı alanı Maksimizasyon Modeli Grafik Çözümü (3 / 12) Max Z = 40TLx1 + 50TLx2 1x1 + 2x2  40 4x2 + 3x2  120 x1, x2  0 Şekil 2.4 Çalışan kısıtı alanı

Maksimizasyon Modeli Grafik Çözümü (4 / 12) Kil kısıtı alanı Maksimizasyon Modeli Grafik Çözümü (4 / 12) Max Z = 40TLx1 + 50TLx2 1x1 + 2x2  40 4x2 + 3x2  120 x1, x2  0 Şekil 2.5 Kil kısıt alanı

Maksimizasyon Modeli Grafik Çözümü (5 / 12) Tüm kısıtlar Maksimizasyon Modeli Grafik Çözümü (5 / 12) Max Z = 40TLx1 + 50TLx2 1x1 + 2x2  40 4x2 + 3x2  120 x1, x2  0 Şekil 2.6 Modelin tüm kısıtları

Maksimizasyon Modeli Grafik Çözümü (6 / 12) Uygun Çözüm Alanları Maksimizasyon Modeli Grafik Çözümü (6 / 12) Max Z = 40TLx1 + 50TLx2 1x1 + 2x2  40 4x2 + 3x2  120 x1, x2  0 Şekil 2.7 Uygun çözüm alanları

Amaç fonksiyon çözümü = 800TL Maksimizasyon Modeli Grafik Çözümü (7 / 12) Max Z = 40TLx1 + 50TLx2 1x1 + 2x2  40 4x2 + 3x2  120 x1, x2  0 Şekil 2.8 Amaç fonksiyon doğrusu Z = 800TL

Alternatif amaç fonksiyonu çözüm doğruları Maksimizasyon Modeli Grafik Çözümü (8 / 12) Max Z = 40TLx1 + 50TLx2 1x1 + 2x2  40 4x2 + 3x2  120 x1, x2  0 Şekil 2.9 Alternatif amaç fonksiyonu doğruları, Z, 800TL, 1200TL ve 1600TL

Maksimizasyon Modeli Grafik Çözümü (9 / 12) En uygun çözüm Maksimizasyon Modeli Grafik Çözümü (9 / 12) Max Z = 40TLx1 + 50TLx2 1x1 + 2x2  40 4x2 + 3x2  120 x1, x2  0 Figure 2.10 En uygun çözüm noktasının belirlenmesi

En uygun çözüm noktasının koordinatları Maksimizasyon Modeli Grafik Çözümü (10 / 12) Max Z = 40TLx1 + 50TLx2 1x1 + 2x2  40 4x2 + 3x2  120 x1, x2  0 Figure 2.11 En uygun çözüm koordinatları

Köşe nokta çözümleri Maksimizasyon Modeli Grafik Çözümü (11 / 12) Max Z = 40TLx1 + 50TLx2 1x1 + 2x2  40 4x2 + 3x2  120 x1, x2  0 Bowl: kase Mug: kupa Şekil 2.12 Köşe noktaları çözümü

Yeni amaç fonksiyonu için en uygun çözüm Maksimizasyon Modeli Grafik Çözümü (12 / 12) Max Z = 70TLx1 + 20TLx2 1x1 + 2x2  40 4x2 + 3x2  120 x1, x2  0 Şekil 2.13 En uygun çözüm Z = 70x1 + 20x2

Dolgu değişkenleri Standart formda tüm kısıtlar eşitlik şeklinde olmalıdır. Dolgu (slack) değişkeni a  kısıt eklenerek (zayıf eşitsizlik) eşitliğe çevrilir (=). Dolgu değişkeni kullanılmayan kaynak olarak gösterilir. Dolgu değişkeni amaç fonksiyona değerine hiçbir şey katmaz.

LP Modeli: Standart Form Max Z = 40x1 + 50x2 + s1 + s2 1x1 + 2x2 + s1 = 40 4x2 + 3x2 + s2 = 120 x1, x2, s1, s2  0 x1 = kase sayısı x2 = kupa sayısı s1, s2 dolgu değişkenleri Şekil 2.14 A, B, ve C noktalarındaki çözüm

LP Model Formulasyonu – Minimizasyon (1 / 7) Şekil 2.15 Tarım alanını gübreleme İki marka gübre mevcuttur- Super-gro ve Crop-quick. Toprağın en az 16 kg nitrojene ve 24 kg fosfata ihtiyacı vardır. Super-gro’nun torbasının maliyeti 6TL, Crop-quick’nin torbası ise 3TL. Problem: Toplam maliyeti verilen verilerden en aza indirmek için ne her markadan ne kadar almamız gerekir?

LP Model Formulasyonu – Minimizasyon (2 / 7) Karar Değişkeni: x1 = Super-gro torba sayısı x2 = Crop-quick torba sayısı Amaç Fonksiyonu: Minimizasyon Z = 6TLx1 + 3TLx2 6TLx1 = Super-Gro’nun torbasının maliyeti 3TLx2 = Crop-Quick’in torbasının maliyeti Model Kısıtları: 2x1 + 4x2  16 kg (nitrojen kısıtı) 4x1 + 3x2  24 kg (fosfat kısıtı) x1, x2  0 (negatif olmama kısıtı)

Kısıt Grafiği– Minimizasyon (3 / 7) Min Z = 6TLx1 + 3TLx2 2x1 + 4x2  16 4x2 + 3x2  24 x1, x2  0 Şekil 2.16 Gübre modeli için kısıt doğruları

Uygun alan– Minimizasyon (4 / 7) Min Z = 6TLx1 + 3TLx2 2x1 + 4x2  16 4x2 + 3x2  24 x1, x2  0 Şekil 2.17 Uygun çözüm alanı

En uygun çözüm alanı– Minimizasyon (5 / 7) Min Z = 6TLx1 + 3TLx2 2x1 + 4x2  16 4x2 + 3x2  24 x1, x2  0 Minimizasyon problemi çözümünde en uygun nokta orijine en yakın noktadır. Şekil 2.18 Optimum çözüm noktası

Artı değişkenler– Minimization (6 of 7) Artı değişken a  kısıt çıkartılarak eşitlik elde edilir. (=) Artı değişkeni fazla kaynak olarak gösterilir. Artı değişkeni amaç fonksiyona değerine hiçbir şey katmaz. Artı değişkenler eklenerek kısıt modeli: 2x1 + 4x2 - s1 = 16 (nitrojen) 4x1 + 3x2 - s2 = 24 (fosfat)

Grafik çözümü– Minimizasyon (7 / 7) Min Z = 6TLx1 + 3TLx2 + 0s1 + 0s2 2x1 + 4x2 – s1 = 16 4x2 + 3x2 – s2 = 24 x1, x2, s1, s2  0 Şekil 2.19 Gübre örneği grafiği

Doğrusal Programlama Problemlerinin Düzensiz Türleri Bazı doğrusal programlama modelleri için genel kurallar geçerli değildir. Özel tipli problemler şunlardır: Alternatif optimum Uygun çözümün olmayışı Sınırlandırılmamış çözüm

Çömlekçi Probleminde Alternatif Optimum Amaç fonksiyonu kısıt çizgisine paraleldir. Max Z=40TLx1 + 30TLx2 1x1 + 2x2  40 4x2 + 3x2  120 x1, x2  0 Where: x1 = kase sayısı x2 = kupa sayısı Şekil 2.20 Alternatif optimum çözüm grafiği

Uygun Çözümü Olmayan Problem Her olası çözüm en az bir kısıtlamayı ihlal eder: Max Z = 5x1 + 3x2 4x1 + 2x2  8 x1  4 x2  6 x1, x2  0 Şekil 2.21 Uygun çözümü olmayan grafik

Sınırlandırılmamış Problem Amaç fonksiyonunun değeri sürekli artar: Max Z = 4x1 + 2x2 x1  4 x2  2 x1, x2  0 Şekil 2.22 Sınırlandırılmamış problem grafiği

LP Problemlerinin Özellikleri Alternatif seçenekler arasında karar verme gerekir. Karar modeli karar değişkenleri ile gösterilir. Programlamanın hedefi amaç fonksiyonu ve karar vericinin isteğiyle belirlenir. Sınırlamalar (kısıtlar) amaç fonksiyonuna etki eder. Amaç ve kısıtlar lineer matematiksel model ile açıklanır.

Örnek Problem No. 1 (1 / 3) 1000 gramlık partiler halinde hamburger karışımı.. İki malzeme, tavuk (3 TL/adet) ve et (5TL/adet). Yemek tarifi: en az 500 gram tavuk en az 200 gram et Tavuk et oranı en az 2 ye 1 olmalı. Maliyetleri en aza indirecek bileşenlerin optimum karışımı belirleyin.

Çözüm Örnek Problem No. 1 (2 / 3) Adım 1: Karar değişkenlerini belirlemek. x1 = tavuk karışımı ağırlığı x2 = et karışımı ağırlığı Adım 2: Amaç fonksiyonu formülasyonu. Min Z = 3TLx1 + 5TLx2 Z = 1000 gramlık karışım maliyeti 3TLx1 = tavuk maliyeti 5TLx2 = et maliyeti

Çözüm Örnek Problem No. 1 (3 / 3) Adım 3: Model kısıtları x1 + x2 = 1000 gr x1  500 gr tavuk x2  200 gr et x1/x2  2/1 veya x1 - 2x2  0 x1, x2  0 Model: Min Z = 3TLx1 + 5TLx2 x1  500 x2  200 x1 - 2x2  0 x1,x2  0

Örnek Problem No. 2 (1 / 3) Yandaki modelin grafik çözümünü yapınız: Max Z = 4x1 + 5x2 x1 + 2x2  10 6x1 + 6x2  36 x1  4 x1, x2  0 Adım 1:Kısıt denklemlerini çizin Şekil 2.23 Kısıt eşitlikleri

Örnek Problem No. 2 (2 / 3) Max Z = 4x1 + 5x2 x1 + 2x2  10 Adım 2: Uygun çözüm adımlarını belirle

Örnek Problem No. 2 (3 / 3) Max Z = 4x1 + 5x2 subject to: x1 + 2x2  10 6x1 + 6x2  36 x1  4 x1, x2  0 Adım 3 ve 4: Çözüm noktalarını ve optimal çözümü belirleyin Şekil 2.25 Optimal çözüm noktası