TBF 121 - Genel Matematik I DERS – 11: Belirsiz İntegral Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

Belirsiz İntegral. Bu derste türevi bilinen bir fonksiyonun yeniden inşasını ele alacağız. Türevi bilinen bir fonksiyonun yeniden inşası işlemine ters türev işlemi (anti-differentiation) denir. f ve F fonksiyonlar, F´(x) = f(x) ise, F ye f nin ters türevi (anti-derivative) denir. Örnek. f(x) = 2x in ters türevi F(x) = x2 dir. Gerçekten, F´(x) = 2x = f(x). Benzer şekilde, G(x) = x3 fonksiyonu da g(x) = 3x2 nin ters türevidir; çünkü, G´(x) = 3x2 = g(x) dir. Teorem. F ve G fonksiyonları (a , b) aralığında türevli ve her x(a , b) için G´(x) = F´(x) ise, uygun bir C sabiti için G(x) = F(x) + C dir. Bu teoremin sonucu olarak, F ve G fonksiyonları f nin iki ters türevi ise, uygun bir C sabiti için G(x) = F(x) + C dir. Dolayısıyla, f nin ters türevlerinden birinin grafiği biliniyorsa, her ters türevinin grafiği biliniyor demektir. G nin grafiği F nin grafiğinden düşey kayma ile elde edilir.

Bir fonksiyonun türevi veya türevinin grafiği ile ilgili bilgilerin o fonksiyonun kendisinin grafiğinin biçimi ile ilgili önemli bilgiler verdiğini anımsayalım. Örneğin, belli bir aralıkta olduğunu biliyoruz. Örnek. f´(x) in yandaki tabloda özetlenen özelliklere sahip olduğunu düşünelim. x f’(x) -2 < x < 0 x = 0 x -kesişimi 0 < x < 2 Bu tablodan, y = f(x) in grafiğinin de aşağıdaki tabloda gösterilen özelliklere sahip olduğu sonucu çıkar: x = 2 Yerel maksimum 2 < x < 4 x = 4 x -kesişimi 4 < x < 5 x f (x) -2 < x < 0 x = 0 Yerel maksimum Bu özelliklere sahip olan üç ayrı ters türevin grafikleri, izleyen sayfada gösterilmiştir. 0 < x < 2 x = 2 Dönüm noktası 2 < x < 4 x = 4 Yerel minimum 4 < x < 5

x -kesişimi Yerel maksimum Dönüm noktası Yerel minimum x f’(x) -2 2 4 5

f nin tüm ters türevlerinin ailesini göstermek için gösterimi kullanılır ve buna f nin belirsiz integrali(indefinite integral) denir. Böylece, eğer F´(x) = f(x) ise, integral işareti integrand integral değişkeni integralin hangi değişkene göre hesaplanacağını gösterir. integral sabiti

Tekrar ifade edersek Örnek. Eğer f türevli bir fonksiyon ise, belirsiz integral tanımına göre, dir. Örnek. Ters türevle ilgili örneklerimizi belirsiz integral gösterimi ile şöyle ifade edebiliriz: , Yukarıdaki örneğin ışığında, her türev formülü bir integral formülüne yol açar. Örneğin, k herhangi bir sabit ise türev formülünden integral formülü elde edilir.

Akılda tutulması kolay veya görünümü düzgün integral formülleri elde etmek için bilinen türev formüllerini aynen kullanmak yerine bazı küçük değişiklikler yapmak yararlı olur. Örnek. Kuvvet fonksiyonunun integrali ile ilgili bir integral formülü elde etmek için kuvvet fonksiyonunun türevi ile ilgili bilinen türev formülü yerine türev formülünden integral formülü elde edilir. Benzer şekilde, ile tanımlanan fonksi- yon için x > 0 ise, f(x) = ln x ve böylece x < 0 ise, f(x) = ln (-x) ve böylece olduğundan ve buradan integral formülü elde edilir.

Şimdi bazı integral formüllerini elde edildikleri türev formülleri ile birlikte eşağıdaki tabloda sunuyoruz. Türev formülü İntegral formülü Bu noktada belirtelim ki, bir integral hesabında bulduğunuz sonucun veya herhangi bir integral formülünün doğruluğunu daima türev kullanarak kontrol edebilirsiniz.

Belirsiz integrallerin ifadelerinde şu ana kadar değişken olarak sadece x sembolünü kullandık, ancak fonksiyon gösteriminde olduğu gibi, burada da değişken için farklı semboller kullanılabileceği açıktır. Örneğin, üstel ve logaritmik fonksiyonlarla ilgili yukarıdaki tabloda verilen integral formülleri , veya , biçiminde ifade edilebilir. Örnek. Örnek. Örnek.

Örnek. Örnek. (1 , 3) noktasından geçen ve her hangi bir x noktasındaki eğimi y´ = 2x olan eğrinin denklemini bulalım. Çözüm. y´ = F´(x) = 2x olduğuna göre, dir. Diğer yandan, aranan eğri (1 , 3) noktasından geçeceğinden , F(1) = 3 olmalıdır. Dolayısıyla, F(1) = 12 + C = 3 ten C = 2 olup aranan eğrinin denklemi, y = F(x) = x2 + 2 dir.

Örnek. Haftada x ürün üreten bir işletmenin haftalık sabit gideri 250 TL ve marjinal gideri M´(x) = 3x2 - 60x + 375 olarak veriliyor. Bu işletmenin haftalık gider fonksiyonunu ve 20 ürün için haftalık toplam giderini bulunuz. Çözüm. M ´(x) = 3x2 -60x + 375 ve M (0) = 250 verilmiştir. M(0) = 250 olduğundan, M(0) = C = 250 , toplam gider TL olur ve 20 ürün için toplam gider TL olur.

Verilen bir belirsiz integrali hesaplarken tahmin yapmakta sakınca yoktur; hatta, tahmin yapmak yararlıdır denilebilir. Ancak tahmininizin doğru olup olmadığını kontrol etmek gerekir. Nasıl kontrol edilir? Belirsiz integralin tanımından: Örnek. Örnek.

Her türev formülünün bir integral formülüne yol açtığını belirtmiştik Her türev formülünün bir integral formülüne yol açtığını belirtmiştik. Türev hesabı için kullandığımız bazı formüller de integral hesabı için önemli yöntemler verir. Bu yöntemleri açıklarken çok yararlı olacağı için önce diferansiyel kavramını tanımlıyoruz. u = g(x) ve g türevli bir fonksiyon ise, g´(x)dx ifadesine u nun diferansiyeli denir ve du = g´(x)dx yazılır. u = g(x) , du = g´(x)dx Örnek. u = x3 – x2 +10x ise, du = (3x2 – 2x +10)dx. Örnek. u = ex ise, du = exdx ; u = ln x ise, du = (1/x)dx. Şimdi türev için zincir kuralını hatırlayalım: Buradan şu integral formülü elde edilir:

Bu integral formülünde u = g(x) alınırsa, g´(x)dx = du olacağından yukarıdaki formül biçiminde yazılabilir. Verilen bir integral uygun bir u seçimi ile yukarıdaki biçimde ifade edilebilirse, kolayca hesaplanmış olur. Bu yönteme integral hesabında değişken değiştirme (substitution) yöntemi denir. Örnek. integralinin hesabı için u = x3 – 4 seçilirse, du = (3x2) dx olur ve verilen integral biçiminde hesaplanmış olur.

Örnek. integralinin hesabı için u = x3 – 4 seçilirse, du = (3x2) dx olur ve veri- len integral biçiminde hesaplanmış olur. Örnek. integralinin hesabı için u = x3 – 4 seçilirse, du = (3x2) dx olur ve verilen integral biçiminde hesaplanmış olur. Örnek. integralinin hesabı için u = x3 – 4 seçilirse, du = (3x2) dx olur ve verilen integral biçiminde hesaplanmış olur.

Değişken Değiştirme Yöntemi uygulanırken izlenen adımlar: 1. Uygun bir u seçerek integrandı basitleştiriniz. Özel olarak, u yu öyle seçiniz ki, integrandın bir çarpanı du olsun. 2. İntegrali tamamen u ve du cinsinden ifade ediniz. 3. Yeni integrali bulunuz. 4. Bulduğunuz integrali eski değişken cinsinden ifade ediniz. Örnek. integralinin hesabı için u = g(x) = x3 - 4 seçilirse, du = 3x2dx olur ve g’(x) = 3x2 integrandın bir çarpanı olmamakla beraber (1/3) g’(x) = x2 integrandın bir çar- panıdır. Dolayısıyla, (1/3)du = x2dx alarak biçiminde hesaplanmış olur.

Örnek. u = x3 - 4 seçilirse, du = (3x2)dx, x2dx = (1/3) du olur ve böylece Örnek. integralinin hesabı için u = t2 seçilirse, du = (2t)dt olur ve verilen integral biçiminde hesaplanmış olur.

Örnek. u = -t2 seçilirse, du = -2t dt, tdt = (-1/2) du olur ve böylece Örnek. u = x + 3 seçilirse, du = dx , x = u - 3 olur ve böylece

Örnek. u = x + 3 seçilirse, du = dx , x = u - 3 olur ve böylece

Daha önce türev formüllerinden yola çıkarak elde ettiğimiz integral formüllerini değişken değiştirme yöntemi ile birleştirerek oldukça yararlı integral formülleri elde edebiliriz. Bu tür formüllerden bir kısmını aşağıda veriyoruz. Tekrar vurgulayalım ki bir integral hesabında bulduğunuz sonucun veya herhangi bir integral formülünün doğruluğunu daima türev kullanarak kontrol edebilirsiniz.

Örnek. Bir ürün, piyasaya haftada x adet sürüldüğü takdirde marjinal fiyatın olacağı tespit ediliyıor ve bu ürünün tanesi 25 TL ye satılması durumunda haftalık talebin 100 olacağı tahmin ediliyor. Fiyat – talep denklemini bulunuz. Çözüm. Belirsiz integral kullanalım. Diğer yandan, x = 100 olunca  = 25 olacağından, O halde Fiyat – talep denklemi şöyledir:

Son türev formülünden integrale geçersek Her türev formülünün bir integral formülüne yol açtığını belirtmiş ve türev için Zincir Kuralından yola çıkarak integral için Değişken Değiştirme Yöntemini elde etmiştik. Şimdi, çarpım için türev formülünü kullanarak integral için bir yöntem elde edilebileceğini göreceğiz: Kısmî İntegrasyon Yöntemi. Son türev formülünden integrale geçersek dv du u u v v Bu formülde, f(x) = u, g´(x) dx = dv alınırsa, f´(x) dx = du, g(x) = v olur ve formül aşağıdaki biçimi alır:

u = f(x) , dv = g´(x) dx du = f ´(x) dx , v = g(x) Örnek. u = x , dv = ex dx du = dx , v = ex Örnek. u = ln x , dv = dx du = (1/x)dx , v = x

Örnek. u = ln x , dv = x dx du = (1/x)dx , v = (1/2) x2 Örnek. u = x , dv = (x-1)15 dx du = dx , v = (1/16) (x-1)16 Bu integralin u = x-1 alarak değişken değiştirme yöntemi ile de hesaplanabileceğine dikkat ediniz.

Bazı integrallerin hesabında art arda kısmî integrasyon uygulamak gerekebilir. Bu tür durumlarda hesaplarda karışıklık olmaması için kısmî integrasyon formülünün her uygulanışında değişkenler için farklı semboller seçilmesi daha uygun olur. Dikkat edilmesi gerekir ki, u ve v değişkenleri ile biçiminde ifade edilen kısmî integrasyon formülü z ve t değişkenleri ile ifade edilince olur. Aşağıdaki örnekte, kısmî integrasyon uygulandıktan sonra ortaya çıkan integrali dikkatle inceleyiniz:. Örnek. u = x2 dv = exdx du = 2xdx v = ex

Örnek. u = x2 dv =exdx du = 2xdx v = ex Sağ taraftaki integrali hesaplamak için tekrar kısmî integrasyon uyguluyoruz. z = x dt = ex dx dz= dx t = ex

Çeşitli Örnekler.