ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR DERS 8 ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR

ÇOK DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLAR: Reel sayılar kümesi R, sayı doğrusundan ibaret olup bir boyutlu uzayı temsil eder. Bu uzayda bir başlangıç noktasına ( 0’a ) olan uzaklık (uzunluk) söz konusudur. x R x = 5, söz konusu noktanın başlangıç noktası 0’a olan uzaklığının 5 br olduğunu gösterir. x = 8-5 = 3, 0’a 8 br uzaklıktaki nokta ile 5 br uzaklıktaki nokta arasındaki uzaklığın 3 br olduğunu gösterir.

R2 kümesi bir düzlemin noktalarından ibaret olup iki boyutlu uzayı temsil eder. Bu uzayda en-boy ya da uzunluk-genişlik söz konusudur. (x,y) x y x ile y arasında bir bağırtı varsa y = f(x) yazılır. y=f(x) bir değişkenli bir fonksiyondur. (x,f(x)) ikilileri (noktaları) düzlemde bir eğri ya da doğrunun noktalarıdırlar. Bu noktalar kümesi eğrinin ya da doğrunun grafiğidir.

R3 uzayın noktalarından ibaret olup üç boyutlu uzayı temsil eder R3 uzayın noktalarından ibaret olup üç boyutlu uzayı temsil eder. Bu uzayda en-boy-yükseklik söz konusudur. P(a,b,c) b a (0,0,0) y (a,b,0) z x c z ile x ve y arasında bir bağırtı varsa z = f(x,y) yazılır. z = f(x,y) iki değişkenli bir fonksiyondur. (x,y,f(x,y)) üçlüleri (noktaları) uzayda bir yüzey belirtir.

Rn kümesine n boyutlu uzay denir. ise fonksiyonuna n değişkenli fonksiyon denir.

z y x (0,1,1) (0,0,1) (1,0,1) (1,1,1) (0,0,0) (0,1,0) O (1,0,0) (1,1,0)

Boyutları x ve y olan bir dikdörtgenin alanı: Çok değişkenli fonksiyonlar günlük yaşamın pek çok alanında karşımıza çıkar. Örnek: 1 Boyutları x ve y olan bir dikdörtgenin alanı: y x A = A(x,y) = xy bir iki değişkenli fonksiyon;

Boyutları x , y , z olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi: Örnek: 2 Boyutları x , y , z olan bir dikdörtgenler prizmasının hacmi: x z y V = V(x,y,z) = xyz bir üç değişkenli fonksiyon; Örnek:3 Basit faiz için kullandığımız A(P,r,t) = P + Prt denklemi bir üç değişkenli fonksiyondur. A(100,0.05,4) = 100 + 100·(0.05)·4 = 120 dir.

Taban yarıçapı r ve yüksekliği h olan bir silindirin hacmi: Örnek 4 Taban yarıçapı r ve yüksekliği h olan bir silindirin hacmi: h r V = V(r,h) =  r2 h Bir iki değişkenli fonksiyondur.

Örnek:5 A ve B gibi iki tür ürün üreten bir işletmenin haftalık sabit gideri 5000 TL, ürün başına haftalık gideri A ürünü için 700 TL, B ürünü için 800 YTL ise, bu işletmenin haftada x adet A ve y adet B üretmesi durumunda haftalık toplam gideri : Gi(x,y) = 5000 + 700x + 800y TLdir. Haftalık gider bir iki değişkenli fonksiyondur. Bu örnekte C(10,15) = 5000 + 700.10 + 800.15 = 24 000, C(15,10) = 5000 + 700.15 + 800.10 = 23 500, C(a,b) = 5000 + 700a + 800b, C(x+h, y) = 5000 + 700(x+h) + 800y, olur.

UZAYDA NOKTA KÜMELERİ: y = 0 , z = 0 ; (x,0,0) x ekseni üzerindeki noktaları verir. x = 0 , z = 0 ; (0,y,0) y ekseni üzerindeki noktaları verir. x = 0 , y = 0 ; (0,0,z) z ekseni üzerindeki noktaları verir. x y z x- ekseni = {(x, 0, 0) : x R} y- ekseni = {(0, y, 0) : y R} (0,0,z) z- ekseni = {(0, 0, z) : z R} (0,y,0) (x,0,0)

z = 0 : xOy-düzlemi, {(x, y, 0) : x, y  R} y = 0 : xOz-düzlemi, {(x, 0, z) : x, z  R} y = 0 y x z x = 0 : yOz-düzlemi, {(0, y, z) : y, z  R} x = 0

z = 3 : xOy-düzlemine paralel ve onun 3 birim üstündeki düzlem: {(x, y, 3) : x, y  R} (0,0,3) z = 3 z = -3 : xOy-düzlemine paralel ve onun 3 birim altındaki düzlem: {(x, y, -3) : x, y  R} y x z (0,0,-3) z = -3

x=0 x=1 z=2 y=0 y=1 z=0

İki Değişkenli Fonksiyonlarda Tanım Kümesi z = f(x, y) fonksiyonunun tanım kümesi f in tanımlı olduğu en geniş kümedir. Örnek fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Çözüm: z y x

fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Örnek Çözüm: z y x

fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Örnek: Çözüm: z y x

fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Örnek: fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Çözüm: z y x

Örnek: fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Çözüm: z y x

fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Örnek: Çözüm: x

Fonksiyonunun tanım kümesi D={(x,y): x2+y2 ≤ 1,x,yεR} kümesidir. Örnek: Fonksiyonunun tanım kümesi D={(x,y): x2+y2 ≤ 1,x,yεR} kümesidir. Bu küme xoy düzleminde birim dairedir. z y x (-1,0,0) (0,-1,0) (0,1,0) (1,0,0)

Fonksiyonunun tanım kümesi D={(x,y): x2+y2 ≥4,x,yεR} kümesidir. Örnek: Fonksiyonunun tanım kümesi D={(x,y): x2+y2 ≥4,x,yεR} kümesidir. Bu küme xoy düzleminde r = 2br olan çember ve onun dışıdır. z y x (-2,0,0) (0,-2,0) (0,2,0) (2,0,0)

fonksiyonunun tanım kümesini bulunuz. Örnek: Çözüm: z y x

İki değişkenli bir fonksiyonunun grafiği: z y x z = f(x, y) nin grafiği genel olarak bir yüzeydir. z = f(x,y) z=(x,y, f(x, y)) (x, y, 0)

xoy- düzlemi (z=0) ile arakesiti : Örnek. z = x2 + y2 nin grafiği xoy- düzlemi (z=0) ile arakesiti : z = 0, x2 + y2 = 0. (0,0,0) yoz- düzlemi (x=0) ile arakesiti: x = 0, z = y2 z y x xoz- düzlemi (y=0) ile arakesiti: y = 0, z = x2 x2 + y2 = 4 z=4 düzlemi ile arakesiti: x2 + y2 = 4 (0,-2,4) (2,0,4) (0,2,4) (-2,0,4) z = y2 z = x2 z = x2 + y2 (0,0,0)

Örnek: z = 4 -x2 - y2 nin grafiği: xoy- düzlemi (z=0) ile arakesiti : z = 0, x2 + y2 = 4 yoz- düzlemi (x=0) ile arakesiti : x = 0, z = 4 - y2 xoz- düzlemi (y=0) ile arakesiti : y = 0, z = 4 - x2 (0,-2,0) (2,0,0) (0,2,0) (-2,0,0) (0,0,4) z y x z = 4 - x2 - y2 (0,0,0)

xoy- düzlemi ile kesişim : z = 0, yoz- düzlemi ile kesişim : x = 0, Örnek: nin grafiği. xoy- düzlemi ile kesişim : z = 0, yoz- düzlemi ile kesişim : x = 0, xoz- düzlemi ile kesişim : y = 0, z y x (-1,0,0) (0,0,1) (0,-1,0) (0,0,0) (0,1,0) (1,0,0) Yarım Küre

Arakesit eğrisi

İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK: y x A(a, b, c) X(x, y, z) d (x, y,0) z-c (a, b,0) z c a b x y x-a y-b

ÖDEVLER Aşağıdaki çok değişkenli fonksiyonların yanlarında verilen noktalardaki değerlerini hesaplayınız. Ambalaj kutusu üreten bir firmada aşağıdaki şekilde görüldüğü gibi üstü açık bir kutu imal edilecektir. Kullanılacak malzemenin alanını veren F fonksiyonunu yazınız ve F(10,12,6) değerini bulunuz.

Bir firma A ve B türü ilaç üretmektedir Bir firma A ve B türü ilaç üretmektedir. A türü ilacın fiyatı p, B türü ilacın fiyatı q Tl dir. A türü ilaç için haftalık talep x adet, B türü ilaç için haftalık talep y adettir. A ilacı için haftalık fiyat-talep denklemi B ilacı için haftalık fiyat talep denklemi Haftalık gider fonksiyonu dır. a) Haftalık gelir ve kar fonksiyonlarını yazınız. a) A türü ilaçtan 10 adet, B türü ilaçtan 15 adet üretilip satılması durumunda elde edilen geliri ve karı hesaplayınız.

Fonksiyonu veriliyor. a) y = 0, y = 1, y = 2 düzlemleri ile ara kesitlerini bulunuz ve grafiklerini çiziniz. b) x = 0, x = 1, x = 2 düzlemleri ile arakesitlerini bulunuz ve grafiklerini çiziniz. 5. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini R3 te çiziniz.. 6. Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz ve R3 te çiziniz..

7. Aşağıda verilen düzlemlerin arakesit doğrularının denklemlerini yazınız. Noktaları arakesit doğrusunun üzerindedir. Dolayısıyla Noktaları arakesit doğrusunun üzerindedir. Dolayısıyla

doğrusunun silindir yüzeyini deldiği noktaları bulunuz.

doğrusunun yüzeyi arasında kalan parçasınıuzunluğunu bulunuz.

küresi üzerinde noktasına en yakın ve en uzak noktaların A noktasına olan uzaklıklarını ve bu noktaları bulunuz..

ÇÖZÜMLER: Aşağıdaki çok değişkenli fonksiyonların yanlarında verilen noktalardaki değerlerini hesaplayınız.

Bir firma A ve B türü ilaç üretmektedir Bir firma A ve B türü ilaç üretmektedir. A türü ilacın fiyatı p, B türü ilacın fiyatı q Tl dir. A türü ilaç için haftalık talep x adet, B türü ilaç için haftalık talep y adettir. A ilacı için haftalık fiyat-talep denklemi B ilacı için haftalık fiyat talep denklemi Haftalık gider fonksiyonu a) A türü ilaçtan 10 adet, B türü ilaçtan 15 adet üretilip satılması durumunda elde edilen geliri ve karı hesaplayınız.

Fonksiyonu veriliyor. a) y = 0, y = 1, y = 2 düzlemleri ile ara kesitlerini bulunuz ve grafiklerini çiziniz. b) x = 0, x = 1, x = 2 düzlemleri ile arakesitlerini buyunuz ve grafiklerini çiziniz.

5. Aşağıdaki fonksiyonların grafiklerini R3 te çiziniz..

6. Aşağıdaki fonksiyonların tanım kümelerini bulunuz ve R3 te çiziniz.. x