Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER ÖDEV f(x) = x3- 4.Sin(x) denkleminin xo=1.5 civarında bir kökünün olduğu bilindiğine göre kökü ε k =0.0000001 yaklaşımla basit iterasyon yöntemini kullanarak bulunuz. (x radyan alınacak) x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER Çözüm f(x) = x3- 4.Sin(x) x3= 4.Sin(x) x= (4.Sin(x))1/3 f’(x) = 1/3 (4.sinx)^ -2/3 *4.cosx f’(xo) = 1/3 (4.sin xo)^ -2/3 *4.cos xo f’(xo) = 0,03748< 1 f(x1) = (4.Sin(xo))1/3 = (4.Sin(1,5))1/3 = 1,5858121 f(x2) = (4.Sin(x1))1/3 = (4.Sin(1,5858121))1/3 = 1,5873413 x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER f(x3) = (4.Sin(x2))1/3 = (4.Sin(1,5873413))1/3 = 1,5873286 ε t=(1,5873286-1,5873413) / 1,5873286=-0,000008001 f(x4) = (4.Sin(x3))1/3 = (4.Sin(1,5873286))1/3 = 1,5873287 ε t=(xk+1 - xk) / xk+1 ε t=(1,5873287 - 1,5873286)) / 1,5873287 = 0,000000063 x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER Soru 2 f(x)= Sinx + 3cosx -3x fks.nun bir kökünü xo=0 için εk = 0.0001 hassasiyetle Newton-Rapshon yöntemini kullanarak bulunuz. f(x)= Sinx + 3cosx -3x f’(x)= cosx – 3sinx -3 f(xo)= Sinxo + 3cosxo -3xo = 0+3-0=3 f’(xo)= cosxo – 3sinxo -3 = 1-0-3=-2 xk+1=xk- f(xk)/ f’(xk) x1=0- 3/ -2=1,5 f(x1)= Sin(1,5) + 3cos(1,5) -3*1,5 = f’(x1)= cosxo – 3sinxo -3 = 1-0-3=-2 x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER f(x1)= Sin(1,5) + 3*cos(1,5) -3*1,5 =-3,29029340839284 f’(x1)= cos(1,5) – 3*sin(1,5) -3 = -5,92174775814446 x2=x1- f(x1)/ f’(x1) x2=1,5- (-3,29029340839284)/-5,92174775814446=0,944371 f(x2)= Sin(0,944371) + 3*cos(0,944371) -3*0,944371 =- 0,264226961739655 f’(x2)= cos(0,944371) – 3*sin(0,944371) -3 = -4,84413245794088 x3=x2- f(x2)/ f’(x2) x3=0,944371 -(- 0,264226961739655/-4,84413245794088) =0,889825224459425 f(x3)= Sin(0,8898252) + 3*cos(0,8898252) -3*0,8898252 =-0,00387033827073635 f’(x3)= cos(0,8898252) – 3*sin(0,8898252) -3 =-4,70133729420161 x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER x4=x3- f(x3)/ f’(x3)=0,889825224459425-(-0,00387033827073635/-4,70133729420161) x4=0,889001982469213 =(0,889001982469213-0,889825224459425)/0,889001982469213 ε t =-0,000926029420008079 f(x4)= Sin(0,889001982469213) + 3*cos(0,889001982469213) -3*0,889001982469213 =-0,0000010116 f’(x3)= cos(0,889001982469213) – 3*sin(0,889001982469213) -3 =-4,69914234498071 x5=x4- f(x4)/ f’(x4)=0,889001982469213-(-0,0000010116/-4,69914234498071) x5=0,889001767195887 ε t =(0,889001767195887-0,889001982469213)/0,889001767195887 =0,0000002 x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır