İKİ DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA DERS 10 İKİ DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA MAKSİMUM MİNİMUM

İKİ DEĞİŞKENLİ FONKSİYONLARDA YEREL MAKSİMUM, YEREL MİNİMUM: z = f(x,y) ve (a,b) Df olsun. (a,b) yi merkez kabul eden bir dairesel bölgedeki her (x,y)Df için f(a,b)  f(x,y) ise f(a,b) yerel maksimum, f(x,y) f(a,b) ise f(a,b) yerel minimum olur. z y x (0,0,0) z y x (0,0,0) (a,b,f(a,b)) z=,f(a,b) (a,b,f(a,b)) z=f(a,b) (a,b,0) (a,b,0) Yerel Maksimum Yerel Minimum

Teorem: f(a,b) , f nin yerel maksimum veya yerel minimum değeri ise, fx(a,b) = 0 , fy(a,b) = 0 dır. Örnek: z = f(x,y)= 2 + x2 + y2 z y x f(0,0) = 2 yerel minimum. (0,-2,6) (-2,0,6) (2,0,6) (0,2,6) fx(x,y) = 2x , fx(0,0) = 0 fy(x,y) = 2y , fy(0,0) = 0. z = 2+x2 + y2 (0,0,2) fx(a,b) = fy(a,b) = 0 olan (a,b) noktalarına f(x,y) fonksiyonunun kritik noktaları denir.

Teorem: (İkinci Türev Testi) z = f(x,y) fonksiyonu verilsin. Bir (a,b) noktası için 1) fx(a,b) = 0, fy(a,b) = 0, ve 2) (a,b) yi merkez kabul eden bir dairesel bölgenin her noktasında f(x,y) nin tüm ikinci mertebeden türevleri mevcut olsun. 3) A = fxx(a,b) , B = fxy(a,b) , C = fyy(a,b) olmak üzere a) AC – B2 > 0 ve A < 0 ise, f(a,b) yerel maksimumdur, b) AC – B2 > 0 ve A > 0 ise, f(a,b) yerel minimumdur, c) AC – B2 < 0 ise, f(a,b) eyer noktasıdır, d) AC – B2 = 0 ise, bu test geçersizdir.

z = f(x,y)= 2 + x2 + y2 yüzeyi veriliyor. Örnek: z = f(x,y)= 2 + x2 + y2 yüzeyi veriliyor. Yüzeyin şeklini çiziniz ve eksremum noktalarını araştırınız. Çözüm: x=0 düzlemi ile arakesiti z = 2+ y2 olur. z = 2+ y2 , x=0 düzleminde bir paraboldür. x y z x=0 (0,1,3) (0,0,2) (0,1,0) (0,-1,0)

y=0 düzlemi ile arakesiti z = 2+ x2 olur. z = 2+ x2 , y=0 düzleminde bir paraboldür. x y z y=0 (-1,0,3) (1,0,3) (0,0,2)

Yüzey denkleminde z=3 yazılırsa, x2 +y2 =1 olur. c) Yüzey denkleminde z=0 yazılırsa, x2 +y2 =-2 olur. Bu ise mümkün değildir. Bu durum z=0 düzleminin z=2+x2+y2 yüzeyini kesmediğini gösterir. Yüzey denkleminde z=1 yazılırsa, x2 +y2 =-1 olur. Bu da mümkün değildir. Yüzey denkleminde z=3 yazılırsa, x2 +y2 =1 olur. x2 + y2 =1, z=3 düzleminde birim çemberdir. x y z (0,0,3)

d) z = 2 + x2 + y2 yüzeyini çizelim. (0,0,0) 4 = x2 + y2 z = 2+x2 z =2+ y2 z = 2 + x2 + y2 (0,0,2)

z = 2 + x2 + y2 fx(x,y) = 2x = 0  x = 0 fy(x,y) = 2y = 0  y = 0 (0,0) kritik nokta. fy(x,y) = 2y = 0  y = 0 z=f(0,0) = 2 yerel minimum.

z = f(x,y)= y2 - x2 veriliyor. Ekstremum noktalarını bulunuz., Örnek: z = f(x,y)= y2 - x2 veriliyor. Ekstremum noktalarını bulunuz., Çözüm: fx(x,y) = -2x = 0 x = 0 fy(x,y) = 2y = 0 y = 0 (0,0) kritik nokta. fxx(0,0) = -2 = A fxy(x,y) = 0 = B fyy(0,0) = 2 = C AC-B2 = -2.(2) = - 4 < 0 olduğundan f(0,0) = 0 noktası z = y2-x2 yüzeyinin bir eyer noktasıdır.

z = y2 - x2 nin grafiği

z = x2 - y2 nin grafiği F(0,0)=0 Eyer noktası

Örnek: z = - x2 - y2 +6 x + 8 y -21 veriliyor. Ekstremum noktalarını bulunuz., Çözüm: fx(x,y) = -2x + 6 = 0  x = 3 (3,4) kritik nokta. fy(x,y) = -2y + 8 = 0  y = 4

Örnek: z = f(x,y)= x3 + y3 – x - y veriliyor. Ekstremum noktalarını bulunuz., Çözüm: Kritik noktalar:

minimum noktasıdır.

noktası için eyer noktasıdır.

noktası için eyer noktasıdır.

noktası için maksimum noktasıdır.

Örnek: z = x3 + y2 – 6 xy veriliyor. Ekstremum noktalarını bulunuz., Çözüm: Kritik noktalar: (0,0) noktası için A = 0, B = -6, C = 2 AC-B2 = -36<0 (0,0,0) eyer noktasıdır.

noktası için (6,18,-108) minimum noktasıdır.

Çözüm: Kullanılacak levhanın toplam alanı: A = xy + 3yz + 2xz olur. Örnek: Şekilde görüldüğü gibi iki bölmeli, üstü açık, dikdörtgenler prizması şeklinde , 48 cm3 hacimli bir küçük karton kutu yapılmak isteniyor. Bu iş için kullanılacak karton levha miktarının minimum olması için kutunun boyutları ne olmalıdır? x y z Çözüm: Kullanılacak levhanın toplam alanı: A = xy + 3yz + 2xz olur. Kutunun hacmi 48 cm3 olduğundan 48= xyz ve buradan z = 48/xy olduğu görülür. Böylece A alanı iki değişkenli bir fonksiyon olarak ifade edilebilir: Şimdi problemimiz: A = A(x,y) nin minimum değerini belirlemektir.

A nın minimum değeridir.

Problem: Düz bir platoda bulunan A, B ve C kentlerine hizmet vermek üzere bir televizyon alıcısı yerleştirilecektir. Platoya yerleştirilen bir Kartezyen Koordinat Sistemine göre kentlerin bulunduğu noktalar A(0,0), B(2,6), C(10,0) dır. a)Vericinin her üç kente olan uzaklıkları toplamının minimum olması için verici hangi noktaya konmalıdır? b) Bu durumda vericinin her üç kente olan uzaklıklarını ayrı ayrı bulunuz.

Çözüm: a) Vericinin yerleştirileceği nokta P(x,y) noktası olsun. Bu noktanın A,B,C noktalarına olan uzaklıkları toplamının minimum olması için karelerinin minimum olması yeterdir. Buna göre; P(4,2) noktası her üç kente en yakın noktadır.

b) Problem: A ve B türü ilaç üreten bir firma, x ve y 1000 adeti göstermek üzere x adet A, y adet B türü ilaç üretmesi durumunda; yıllık gideri C(x,y) = x2 – 2xy + 2y2 + 6x – 13y +5 yıllık geliri R(x,y) = 2x + 3y TL olmaktadır. Firmanın yıllık kârının maksimum olması için her tür ilaçtan kaçar adet üretmesi gerekir?

Çözüm: Yıllık kar K(x,y)=R(x,y) - C(x,y) =2x+3y–x2+2xy-2y2-6x+16y-5 =–x2+2xy-2y2 -4x+16y-5 olur. Kx = -2x+2y-4=0 x=4 Ky = 2x-4y+16=0 y=6 Kxx = -2=A Kxy = 2=B Kyy = -4=C Firmanın yıllık karının maksimum olabilmesi için A türü ilaçtan 4000, B türü ilaçtan 6000 adet üretmelidir.

Problem: Bir firma biri A diğeri B türü olmak üzere iki tür lens üretmektedir. x ve y 1000 adeti göstermek üzere firma aylık olarak x adet A türü, y adet B türü lens üretmektedir. A türü bir adet lensin fiyatı p=230-9x+y, B türü bir adet lensin fiyatı q= 130+x-4y Aylık gider C(x,y)= 200+80x+30y dir. Firmanın aylık gelir fonksiyonunu yazınız. Firmanın aylık kar fonksiyonunu yazınız. Firmanın aylık maksimum karını hesaplayınız

Çözüm: a) G(x,y)=px+qy = (230-9x+y)x+(130+x-4y)y =230x+130y-9x2 +2xy -4y2 dir. b) K(x,y)= G(x,y)-C(x,y) =230x+130y-9x2 +2xy -4y2 - (200 + 80x + 30y) =150x+100y-9x2+2xy-4y2 c ) Kx =G(x,y)= -18x+2y +150=0 Ky = 2x-8y+100=0 y=15 x=10

Kxx = -18 =A Kxy = 2=B Kyy = -8=C AC-B2 = 8.18 - 4 =140 > 0, A<0 Firma aylık 10 000 adet A türü, 15 000 adet B türü lens üretip satarsa maksimum kar elde eder. Bu durumda 1 adet A türü lensin fiyatı p=230-90+15=155 TL, 1 adet B türü lensin fiyatı q= 130+10-60 =80 TL olur. Aylık maksimum kar ; K(10,15)=150.10+100.15-9.100+2.10.15-4.225 =15 000 TL olur.

Problem: Bir firma biri A diğeri B türü olmak üzere iki tür tansiyon ölçme cihazı üretmektedir. Firma 1 adet A türü cihazı 6 TL ye, 1 adet B türü cihazı 8 TL ye mal etmektedir. Yapılan araştırmalar, 1 adet A türü cihazın x TL den, 1 adet B türü cihazın y TL den satılması durumunda 1 haftada u=116-30x+20y adet A türü, v=144+16x-24y adet B türü cihazın satılabileceğini göstermiştir. a) x = 10 TL ve y = 12 TL olması durumunda haftalık satış miktarını Bulunuz. b) Haftalık kârın maksimum olması için A ve B türü cihazların satış fiyatı ne olmalıdır? c) Haftalık maksimum kârı hesaplayınız.

Çözüm: u = 116 – 30.10 + 20.12= 56 adet A türü, v = 144 + 16.10 - 24.12= 16 adet B türü cihaz satılır. b) Haftalık gider C(x,y)= (116-30x+20y ).6+(144+16x-24y).8 = 1848 - 52x – 72y Haftalık gelir G(x,y)= u.x+v.y = (116-30x+20y).x +(144+16x-24y).y = - 30x2 - 24y2 + 36xy + 116x + 144y Haftalık kar K(x,y)= G – C = - 30x2 - 24y2 +36xy+168x+216y-1848

Kx = - 60x +36y + 168 = 0 Ky = 36x -48y + 216 = 0 -15x +9y + 42 = 0 3x - 4y + 18 = 0 -15x + 9y + 42 = 0 15x - 20y + 90 = 0 x=10 y=12 Haftalık maksimum kar K(10,12)= - 3000 - 24.144 +36.120+1680+216.12-1838 = 7210 TL olur.

ÖDEVLER 1. fonksiyonu veriliyor. 2. fonksiyonu veriliyor. 3. fonksiyonu veriliyor. 4. fonksiyonu veriliyor.

5. Aşağıda verilen iki değişkenli fonksiyonların grafiklerini çiziniz ve ekstremum değerlerini bulunuz. 6. Aşağıda verilen iki değişkenli fonksiyonların ekstremum değerlerini bulunuz.

ÇÖZÜMLER