SONLU ELEMANLAR DERS 9
DÜZLEM GERİLME FORMÜLASYONU z yönünde herhangi bir yükleme yoksa, o eksende herhangi bir iç kuvvet oluşmaz. Bu durumda o yöndeki gerilme sıfır alınabilir. Düzlem gerilme diye adlandırabileceğimiz bu durumda gerilme vektörü dür.
Bu durumda gerinim (strain) değerleri Buradaki Gerilme gerinim arasındaki ilişki ise
O halde matris formunda stress-strain ilişkisi veya kısa gösterimle dir.
Böyle durumda strain enerjisi Simetrik olduğu için transpozesi kendisine eşittir.
Izoparametrik Formülasyon Dikdörtgen eleman içindeki bir A noktasının yatay yöndeki deplasmanı: Dikdörtgen eleman içindeki bir A noktasının düşey yöndeki deplasmanı: Bunları matris formunda yazarsak
Dikdörtgen eleman içindeki bir A noktasının yatay yöndeki koordinatı: Dikdörtgen eleman içindeki bir A noktasının düşey yöndeki koordinatı: Elemanla alakalı direngenlik matrisini bulurken deplasman değerleri olan u ve v değerlerinin x ve y ye göre türevlerine ihtiyaç vardır. Fakat şekil fonksiyonları ve ya göre değişiyordu.Bu yüzden böyle bir fonksiyonu niteleyebilecek örnek bir fonksiyonunun x ve y ye göre olan türevi ile ve ya bağlı türevi arasında bir bağıntı kurmamız icap eder. Matematikte sıklıkla kullandığımız zincir kuralını bu noktada kullanabiliriz.
Bunu matris formatında yazarsak bulunur. Buradaki J matrisi koordinat sistemleri arasındaki dönüşümü sağlayan Jakobiyen matrisidir. Ayrıca bu bağıntı olarak ta yazılabilir.
Şimdi Jakobiyen matrisi biraz açalım: Hatırlatmalar: İzoparametrik elemanlarda şekil fonksiyonları Bir matrisin tersinin alınması:
Bu açıklamalardan sonra bir eleman için direngenlik matrisini bulmak için kullandığımız formülasyonumuza devam edelim. Bir leleman için strain energy burada te elemanın kalınlığıdır. Stress-strain arasındaki ilişkiyi tekrar yazarsak: Buradaki türev ifadelerini J matrisi ile halledebiliriz:
bu iki ifadeyi birleştirirsek:
burada
O dalde strain ifadesini daha kompakt bir halde yazarsak Sonuç olarak K matrisi aşağıdaki gibi ifade edilebilir. Bu matris 8x8 boyutunda olup çözümü Gauss-Legendre ile yapılır.