AĞIRLIK MERKEZİ (CENTROID) Ağırlık merkezi paralel kuvvetlerden ortaya çıkan geometrik bir kavramdır. Yalnızca paralel kuvvetlerin ağırlık merkezi vardır. Ağırlık merkezi bir fiziksel cismin veya parçacıklar sisteminin tüm ağırlığının toplandığı nokta olarak düşünülür. Düzgün geometrik cisimlerde eğer simetri ekseni varsa ağırlık merkezi bu simetri ekseni üzerindedir. Eğer cisme ait iki veya üç simetri ekseni varsa ağırlık merkezi bu eksenlerin kesişim noktasında yer alır. Bir, iki veya üç boyutlu cisimler analitik fonksiyonlar olarak tanımlanmış ise bunların ağırlık merkezleri integral yoluyla hesaplanır.

Birkaç cismin birleşmesiyle oluşmuş cisimlere kompozit cisim adı verilir. Bu tür cisimlerin ağırlık merkezleri de aşağıdaki gibi hesaplanır:

BAZI GEOMETRİK ŞEKİLLERİN AĞIRLIK MERKEZLERİ

1. ÇEYREK DAİRE x dA y=rsinq x=rcosq R r q dq dr y dA=rdqdr

2. YARIM DAİRE G x y

3. DİK ÜÇGEN h b y h G b x

ALAN ATALET (EYLEMSİZLİK) MOMENTİ (AREA MOMENTS OF INERTIA) Etkidikleri alan içerisinde düzgün olarak dağılmış kuvvetlerin genelde bu alan içinde veya ona dik bir düzlemde yer alan bir eksene göre momentlerinin hesaplanması gerekir. Çoğunlukla bu kuvvetlerin birim alan başına şiddetleri (basınç ve gerilme adını alırlar) kuvvetin etkime doğrultusunun moment ekseninden olan uzaklığıyla doğru orantılıdır. Bu şekilde, elemanter bir alana etkiyen elemanter bir kuvvet, mesafe x diferansiyel alan ile orantılı olur: dA dF d Böylece toplam moment dM=M=d2dA. Bu integrale “alan atalet (eylemsizlik momenti” veya “alanın ikinci momenti” denir. Atalet momenti hız, ivme veya kuvvet gibi fiziksel bir büyüklük olmayıp yalnızca hesap kolaylığı sağlamaya yöneliktir; alanın geometrisinin bir fonksiyonudur. Dinamikte bir alanın ataleti gibi bir kavram olmadığından atalet momentinin herhangi bir fiziksel anlamı yoktur. Fakat mekanikte, bir kirişin eğilmesinde, bir milin burulmasında, bir makina veya yapı elemanının herhangi bir kesitindeki gerilmelerin hesaplanmasında atalet momenti kullanılır.

Dik (Kartezyen) ve Kutupsal (Polar) Alan Atalet Momentleri ve Çarpım Alan Atalet Momenti Dik (kartezyen) alan atalet momentleri Ix=y2dA A alanının x eksenine göre atalet momenti Iy=x2dA A alanının y eksenine göre atalet momenti Kutupsal (polar) alan atalet momentleri x y r O A dA z Io=Iz=r2dA r2=x2+y2 Io=Iz= Ix+ Iy Çarpım alan atalet momentleri Ixy=xydA

Alan atalet momentlerine ait özellikler: 1. Bir alanın Io, Ix , Iy atalet momentleri daima (+) değer alır. 2. Ixy ise (-), 0 veya (+) olabilir. 3. Tüm atalet momentlerinin birimi uzunluk için alınan birimin 4. kuvvetidir (L4). 4. Bir alanın sahip olabileceği en küçük atalet momenti değeri bu alanın ağırlık merkezinden geçen eksenlerden birine göre gerçekleşir. Bir alanın bir eksene göre atalet momenti, bu eksen ağırlık merkezinden uzaklaştıkça büyür.

Bir Alanın Jirasyon (Atalet – Eylemsizlik) Yarıçapı x eksenine göre atalet momenti Ix olan A alanının x eksenine göre paralel ince bir şeritte toplandığını varsayalım. Bu şerit alanın x eksenine göre momenti yine Ix ise şerit x ekseninden Ix=kx2A bağıntısı ile belirlenecek bir kx uzaklığına konmalıdır. kx uzaklığına “alanın x eksenine göre jirasyon yarıçapı” adı verilir. y O A z x kx y x A O

y ve z eksenleri için de benzer şekilde jirasyon yarıçapları elde edilir. ky y x A O y x O kz A

PARALEL EKSENLER (STEINER) TEOREMİ Eğer ağırlık merkezinden geçen eksene göre bir alanın atalet momenti biliniyorsa, bu eksene paralel başka bir eksene göre atalet momenti Steiner Teoremi ile belirlenebilir: G x y O d e A r Paralel eksenler teoremi jirasyon yarıçaplarına da uygulanabilir:

TEMEL GEOMETRİK ŞEKİLLERİN ALAN ATALET MOMENTLERİ 1) DİKDÖRTGEN G x y b/2 h/2 h b dy dA=bdy b

1) DİKDÖRTGEN G x y b/2 h/2 h b dA=hdx dx

2. ÜÇGEN G x y b/3 h/3 h b dy h-y n Benzer üçgenlerden,

2. ÜÇGEN G x y b/3 h/3 h b dx m Benzer şekilde,

3. DAİRE y G x R z r dr Simetriden dolayı;

4. YARIM DAİRE G x y O 4R/3p

5. ÇEYREK DAİRE y x G 4R/3p

ÇARPIM ATALET MOMENTİ (PRODUCTS OF INERTIA) Eğer x veya y eksenlerinden biri veya her ikisi A alanının simetri ekseni ise bu eksenlere göre çarpım atalet momenti sıfırdır.

Çarpım atalet momenti için Paralel Eksenler Teoremi

Asal Atalet Eksenleri ve Asal Atalet Momentleri (Principal Axes and Principal Moments of Inertia) veriliyor. x’ and y’eksenlerine göre atalet momentleri bulunmak isteniyor. Not:

Asal Atalet Eksenleri ve Asal Atalet Momentleri (Principal Axes and Principal Moments of Inertia) qm bağıntısı birbirine aralarında 90o olan iki açı verir; bunlardan biri minimum diğeri maksimum atalet momentine karşılık gelir. Imax and Imin asal atalet momentleridir. Asal atalet momentlerinin bulunduğu asal atalet eksenlerinde çarpım atalet momenti sıfırdır.

The product of inertia about the x-y axes for part I is; 10 mm Sample Problem: Determine the orientation of the principal axes of the inertia through the centroid the angle section and determine the corresponding maximum and minimum moments of inertia. y 2.5 mm 50 mm G x 7.5 mm 10 mm 10 mm y 2.5 mm 40 mm II dy2 The product of inertia about the x-y axes for part I is; 50 mm G2 dx2 G x dx1 7.5 mm I G1 10 mm The product of inertia about the x-y axes for part II is; dy1 40 mm For the complete section; Ixy=-7.5.104 mm4

The moments of inertia about the x and y axes for part I is; 10 mm y The moments of inertia about the x and y axes for part I is; 2.5 mm II dx2 50 mm G2 dy2 G x dx1 7.5 mm The moments of inertia about the x and y axes for part II is; I G1 10 mm dy1 40 mm For the complete section; Ixy=-7.5.104 mm4 Ix=18.17.104 mm4 Iy=10.17.104 mm4