LOGARİTMA

LOGARİTMANIN TARİHİ VE KULLANIM ALANLARI LOGARİTMANIN TANIMI LOGARİTMANIN TARİHİ VE KULLANIM ALANLARI LOGARİTMANIN ÖZELLİKLERİ LOGARİTMALI DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER

Tanım: a≠1 ve a›0 olmak üzere, f :R→ R + f(x)= a x fonksiyonun ters fonksiyonu olan , f −1 (x)=y = log a x fonksiyonuna a tabanına göre, logaritma fonksiyonu denir.

Bu tanıma göre, x= a y ⇔ y= log a x ( a tabanına göre x in logaritması y dir.) Özel olarak; a=10 alınırsa y= log 10 x = log x (bayağı logaritma) , a=e=2,718… alınırsa, y= log e x = ln x (doğal logaritma) olur.

LOGARİTMANIN TARİHİ VE KULLANIM ALANLARI Logaritmayı 16. yy da John Napier isimli İskoç matematikçi  bulmuştur. Kelime olarak "logos arithmos" tan gelir, sayıların mantığı demektir.  Napier, kemiklerden yaptığı çubuk şeklindeki karşılaştırma tabloları ile bu yöntemi geliştirmiştir. Üstel olarak artan çokluklarda, sürekli büyüyen sayılarla işlem yapmanın zorluğundan kurtulmak için rakamların kendisi değil de belli bir tabana göre logaritması kullanılır.  Örneğin ; 10, 100, 1000... şeklinde büyüyen bir nicelik için bu sayılar yerine bu sayıların 10 tabanına göre logaritması alınarak ve 1,2,3... şeklinde kullanılır.

BİLGİSAYAR PROGRAMCILIĞI İLK LOGARİTMA CETVELİNİN BULUNDUĞU KİTAP ASİT VE BAZLARDA pH ve pOH DEĞERLERİ

1 - Kimya alanında kimyasal tepkimelerde hız konusunun ilerlemiş boyutlarında denge sabitini bulurken kullanılır. 2 - Asit / Baz konusunda pH ve pOH'ı bulurken kullanılıyor. 3 - Kimyada pH hesaplamalarında, pH değerleri logaritmik bir ifadedir. Bir sabunun pH 'si 5,5 demek, o sabundaki hidrojen iyonu derişimi 1E-5,5 demektir.  4 - Denizcilik alanında matematiksel konumu verilmiş iki nokta arasındaki gerçek mesafeyi bulmakta kullanılır. 5 - Logaritma ses düzeyinin kaç desibel olduğunu bulmaya yarıyor.  Örneğin ; Bir rock müzik konserinde duyulan ses şiddeti 10 üzeri -2 watt/m2 dir. Buna göre konserde duyulan ses düzeyi nedir? 6 - İstatistiğin konusu olan nüfus artışı tahminlerinde, 7 – Bankacılıkta, bileşik faiz hesaplamalarında,  8 - Astronomi de, 9 - Optik gibi alanlar da,

10 - Bilgisayar programcılığında kullanılıyor 10 - Bilgisayar programcılığında kullanılıyor. Özellikle "ln" şuan kullandığınız bilgisayarın yapımında, işletim sisteminin dizaynında ve hatta yazdığınız bu yazıların saklandığı veri tabanında nasıl daha hızlı erişebileceğini hesaplarken logaritma ve benzeri matematiksel fonksiyonlar kullanılmaktadır.  (bir algoritmanın hızını ölçmek için logaritma kullanılmaktadır) 11 - Deprem ölçeği olarak bildiğimiz Richter ölçeğinin deprem şiddetini hesaplamasında Logaritma kullanılır.  12 - İşletme finansmanında da sıkça başvurulur.  13 - Askeriyedeki top atışlarında yer tayini içinde kullanılır.  14 - Spektroskopide uyarılmış atom/normal atom oranında kullanılıyor. (Nj / No) 15 - Redox tepkimelerinde de kullanılır. (Epil olayları) 16 - Fizikokimyada kullanılır.

ÖZELLİKLER: a›0 ve a≠1 o.ü. 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐚 =𝟏; log 2 2 =1 , log 5 5 =1 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝟏 =𝟎; log 2 1 =0 , log 1=0, ln 1=0 x›0, 𝑦›0 için 𝐥𝐨𝐠 𝐚 (𝐱.𝐲) = 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐱 + 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐲 x›0, y›0 o.ü. 𝐥𝐨𝐠 𝐚 ( 𝐱 𝐲 ) = 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐱 − 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐲 x∈ R + ve n∈R o.ü. 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐱 𝐧 = n. 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐱 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐦 𝐛 𝐧 = 𝐧 𝐦 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐛

7. Taban değiştirme: log a b = log c b log c a = log b log a = ln b ln a 8. log 𝑎 𝑏 = 1 log 𝑏 𝑎 ; log 𝑎 𝑏 =𝑚 𝑖𝑠𝑒 log 𝑏 𝑎 = 1 𝑚 9. 𝑎 log 𝑎 𝑥 =𝑥 ; 10 log 𝑥 =𝑥 ; 𝑒 ln 𝑥 =𝑥 10. log 1 𝑥 =− log 𝑥 11. f x = log a g(x) fonksiyonunun en geniş tanım kümesi g(x)>0 eşitsizliğinin çözüm kümesidir.

Örnekler 1. log 3 81 ifadesinin değeri kaçtır? log 3 81 = log( 3 1 2 ) 3 4 = 4 1 2 log 3 3 =4.2=8 2. 2 log a +3 log b - 4 log c ifadesinin eşittir nedir? 2 log a +3 log b - 4 log c = log a 2 + log b 3 − log c 4 = log a 2 . b 3 c 4

3. log 2 =a ve log 3 =b olduğuna göre, 𝐥𝐨𝐠 𝟒𝟖 eşitti nedir? 48= 2 4 . 3 1 log 48 = log ( 2 4 . 3 1 ) =4. log 2 + log 3 =4a+b 4.f x = 3 log 4 x+a ve f −1 6 =11 olduğuna göre, a kaçtır? f −1 6 =11 ise f(11)=6 olduğundan f(11)=3 log 4 (11+a)=6 log 4 11+a =2 11+a= 4 2 a+11=16 a=15

5. log 2 =a ve log 3 =b olduğuna göre, 𝐥𝐨𝐠 𝟓 𝟏𝟐 ifadesinin değeri nedir? log 5 12 = log 12 log 5 = log 2 2 .3 log 10 2 2. log 2 + log 3 log 10 − log 2 = 2a+b 1−a 6. log 3 7 =𝑎 olduğuna göre, log 21 49 ifadesinin a türünden değeri nedir? a) 1+𝑎 2𝑎 b) 1−𝑎 2𝑎 c) 2𝑎 1+𝑎 d) 𝑎 1+𝑎 e) 1+𝑎 𝑎

(+) tablo sağdan (-) ile başlar. 7. f x = log 2 ( 7−x x−1 ) fonksiyonun tanım kümesindeki x tamsayılarının toplamı kaçtır? ÇÖZÜM: f x = log a (g x ) fonksiyonunun tanım kümesi g(x)>0 eşitsizliğinin çözüm kümesi olduğundan, (-) 7−x x−1 >0 − : + =(−) (+) tablo sağdan (-) ile başlar. 7-x=0 ise x=7 ve x-1=0 ise x=1 x 1 7 x tamsayılarının toplamı 2+3+4+5+6=20 bulunur. 7−x x−1 >0 - +

LOGARİTMALI DENKLEM VE EŞİTSİZLİKLER log a x 1 = log a x 2 ⇒ x 1 = x 2 >0 a>1 iken y= log a x fonksiyonu artan fonksiyon olduğundan, 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐱 𝟏 > 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐱 𝟐 ⇒ 𝐱 𝟏 > 𝐱 𝟐 >𝟎 0<a<1 iken y= log a x fonksiyonu azalan fonksiyon olduğundan 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐱 𝟏 > 𝐥𝐨𝐠 𝐚 𝐱 𝟐 ⇒ 𝟎< 𝐱 𝟏 < 𝐱 𝟐

ÖRNEKLER log 2 x + log 2 (x−4) =5= log 2 2 5 log 2 x x−4 = = log 2 2 5 1. log 2 x + log 2 (x−4) =5 denkleminin çözüm kümesi nedir? log 2 x + log 2 (x−4) =5= log 2 2 5 log 2 x x−4 = = log 2 2 5 x x−4 = 2 5 =32 x 2 −4x−32=0 x−8 x+4 =0 x=8 ve x=−4 Fonksiyonun tanımlı olması için x>0 ve x-4>0 olmalı. x>4 olmalı. O halde x=8 dir. Ç.K.={8}

2. (log x ) 2 −5 log x +6=0 denklemini sağlayan x değerlerinin toplamı kaçtır? log x =t olsun t 2 −5t+6=0 t−3 t−2 =0 t=3 ve t=2 log x =3 ise log 10 x =3 olur. x= 10 3 =1000 log x =2 ise log 10 x =2 olur x= 10 2 =100 Toplamları 1000 + 100=1100 bulunur.

3. x 2 − (log 2 m−2 )x−1=0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir 3. x 2 − (log 2 m−2 )x−1=0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 dir. x 1 + x 2 =4 olduğuna göre, m kaçtır? a x 2 +bx+c=0 denkleminin kökleri x 1 ve x 2 olsun. 𝐱 𝟏 + 𝐱 𝟐 =− 𝐛 𝐚 𝐝ı𝐫. x 2 − (log 2 m−2 )x−1=0 𝐱 𝟏 + 𝐱 𝟐 = log 𝟐 (𝐦−𝟐) log 𝟐 (𝐦−𝟐) =𝟒 𝐦−𝟐= 𝟐 𝟒 𝐦−𝟏=𝟏𝟔 m=18

4. log 2 a − log 2 5 =1 olduğuna göre, a kaçtır 4. log 2 a − log 2 5 =1 olduğuna göre, a kaçtır? a) 10 b)20 c)50 d)100 e)120

SUNUYU HAZIRLAYAN: FERİDE KARALİ MATEMATİK A ŞUBESİ NO:140440124 2014 YAZ PEDAGOJİK FORMASYON DÖNEMİ MATERYAL TASARIM DERSİ LOGARİTMA KONUSU