Çizge Algoritmaları Ders 2

Bağlantılı çizgeler Tanım. Parkur (walk) W: v0, e1, v1, e2, v2, …, vn-1, en, vn (n0) köşelerin ve kirişlerin birer değişmeli bir dizisidir, burada ei=vi-1vi, i. (W ye v0 -vn parkuru de denir) W nin uzunluğu n dir. İz(trail) kirişleri tekrar etmeyen parkurdur Yol(path) köşeleri tekrar etmeyen parkurdur G u v w x y parkur: x, w, v, x, w iz: x, w, v, x, y yol: x, w, v Ch1-2

Theorem Çizgede her u-v parkurunda u-v yolu vardır Tanım (1) Bir parkur v0, v1, v2, …, vn-1, vn için n3, v0 = vn, ve köşeler v1, v2, …, vn-1, vn farklı ise bu parkur bir döngüdür (n-döngü(cycle)) (2) Bir u-v parkuru için u=v ise bu parkura kapalı parkur denir. (3) Birden çok köşesi olan kapalı ize devre denir Ch1-3

(4) G nin bileşen sayısı k (G) ile gösterilir. Tanım (1) Eğer u,vV(G) için bir u-v yolu varsa u v ile bağlantılıdır denir. (2) Eğer u,v  V(G) için u v ile bağlantılı ise G çizgesi bağlantılıdır denir aksi durumda bağlantısızdır. (3) H çizgesi G nin H da bulunan kirişleri içeren bağlantılı en büyük alt çizgesi ise H çizgesine G nin bileşeni denir. (4) G nin bileşen sayısı k (G) ile gösterilir. Not. “bağlantılıdır” kavramı bir denklik bağıntısıdır. Ch1-4

Eklem(cut) köşesi ve Köprü Tanım G çizgesinin v köşesi için k(G - v) > k(G) ise bu köşeye eklem köşesi denir v köşesi bağlantılı G çizgesinde eklem köşesi ise G - v bağlantısızdır. Ch1-5

G çizgesinde e kirişi (bridge) köprüdür eğer k(G - e) > k(G) ise. Ch1-6

Örnek G : eklem köşeleri： 　　　　　　　　　　　　 v3, v5 köprü： v5v6 v1 v2 v3 v5 v4 v6 Ch1-7

Not. (1) Eğer v köşesi bağlantılı G çizgesinde eklem köşesi ise k(G - v)  2 (2)Eğer e kirişi bağlantılı G çizgesinde köprü ise k(G - e) =2

Theorem Bir e kirişi bağlantılı G çizgesinde köprüdür ancak ve ancak e kirişi G çizgesinde bir döngü üzerinde değil Ch1-9

() e kirişi G de bir köprü olsun. İspat. () e kirişi G de bir köprü olsun. e =uv olsun ve tersini düşünelim yani e kirişi C：u, v, w, …, x, u döngüsü üzerinde olsun. 　Bu durumda C - e：v, w, …, x, u G - e çizgesinde bir u-v yoludur. İddia: G - e bağlantılıdır. (Önerme doğru ise ) (e köprü değil)

 (İddianın ispatı) u1, v1  V(G-e)=V(G) ∵G bağlantılıdır ∴G de  u1-v1 yolu var. Bu P yolu G dedir. Eğer e  P, ise P yolu G-e de de geçerlidir.   u1-v1 yolu G-e dedir. Eğer e  P, ise (PC)-e G-e de bir parkurdur yani u1-v1 parkuru var yani G-e de u1-v1 yolu da var Yani G-e bağlantılıdır. v1  u u1 v C P

() Şimdi de e=uv G de bir döngü üzerinde olmasın Bu durumda e nin köprü olduğunu gösterelim. Aksini düşünelim. Köprü olmasın. Bu durumda G-e çizgesinde P: u-v yolu vardır. Ama bu durumda P { uv } döngüsü e yi içerir. .

Tanım Köşe sayısı 2 den büyük veya eşit olan ve eklem köşesi olmayan bağlantılı çizgeye ayrışamayan çizge denir. G çizgesinin ayrışamayan en büyük alt çizgesine blok denir.

örnek G G nin 3 bloku var： <{v1,v2,v3}>, <{v3,v4,v5}>, <{v5,v6}> v1 v2 v3 v4 v5 v6

Not: 1. Blok üretilmiş altçizgedir. 2 Not: 1. Blok üretilmiş altçizgedir. 2. Bloklar kirişler kümesinin bölünmesini sağlar. 3. Farklı 2 blokta en fazla bir ortak köşe vardır. 4. Eğer v V(B1)V(B2), (B1, B2 G de bloklardır ), ise v eklem köşesidir. 5. G ayrışmayan çizge ise G bir bloktur.

Yönlü çizgeler (Digraphs) Tanım: Yönlü çizge(digraph) D, sonlu ve boş olmayan V(D) köşeler kümesi ve bu köşelerin farklı sıralı ikililer kümesi olan E(D) kümesinden oluşmuştur. E(D) nin elemanlarına yay(arcs) denir. Örnek v u x w D : E(D) ={(v,u),(u,w), (v,w),(x,w),(w,x)} Ch1-16

u köşesinin komşusu v dir. v köşesi u nun komşusudur Not: yerine çizilebir x w x w Tanım: u köşesinin komşusu v dir. v köşesi u nun komşusudur (u,v) demek u köşesi v ye bağlıdır u v Ch1-17

Tanım: dışderece v : od v veya deg+(v) v içderece v : id v, deg -(v) v Teorem : ※ Çok özelliği basit çizge ile aynıdır ama döngü uzunluğu 2 olabilir. Ch1-18

Tanım: D yönlü çizgesinde yönlerin kaldırılmasıyla oluşan G çizgesine D nin temelinde yatan çizge denir Ch1-19

Tanım: Eğer D de u-v yarıparkuru varsa Tanım: yarıparkur(semiwalk) : D yönlü çizgesinin temelinde yatan G de parkur olan W ye D de yarıparkur denir e1 e2 e3 e4 W: … v0 v1 v2 v3 v4 vn (ei = (vi-1,vi) veya (vi,vi-1) ) Tanım: Eğer D de u-v yarıparkuru varsa D yönlü çizgesinde u ve v bağlantılıdır denir. Ch1-20

Tanım: ① Eğer D de her hangi 2 köşe bağlantılı ise D yönlü çizgesi bağlantılıdır veya zayıf bağlantılıdır denir ② Eğer her hangi 2 farklı u ve v köşeleri için u-v yolu veya v-u yolu varsa D yönlü çizgesi tek yönlü bağlantılıdır denir. Eğer her hangi 2 farklı u ve v köşeleri için u-v yolu ve v-u yolu varsa D yönlü çizgesi kuvvetli bağlantılıdır denir. Ch1-21

Seyrek/Yoğun çizgeler seyrek eğer | E |  | V | yoğun eğer | E |  | V |2.

Ağırlıklı çizgeler Her kirişi bir sayı ile eşleştirilmiş çizgelerdir yani , ağırlık verilmiştir, genelde ağırlık fonksiyonu w: E  R. 1 2 3 4 5 6 .5 1.2 .2 1.5 .3

İki kümeli çizgeler V kümesi V1 ve V2 gibi iki kümeye öyle ayrılmıştır ki (u,v)E olmasından aşağıdakilerden biri çıkar ya u V1 ve v V2 ya da v V1 ve uV2.

Özel çeşitler Boş çizge / Kirişsiz Sıfır çizge Kiriş yoktur Köşe yoktur Doğal olarak kiriş de yoktur

Tam çizgeler Gösterimi Kn Her hangi iki köşe komşudur n(n-1) tane kiriş vardır(yönlü ise)

Tam iki kümeli çizgeler Tam çizgelerin 2 kümeli versiyonudur Bir kümeden olan her köşe diğer kümeden olan her köşeye bağlanmıştır

Tanım. Bir yolda n köşe varsa (uzunluğu n-1) bu yolun mertebesi n dir denir. GösterimiPn Tanım . n  3 olmak üzere n köşeli döngüye n-döngü denir. Gösterimi Cn Çift döngü : çift sayıda köşesi olan döngü Tek döngü : tek sayıda köşesi olan döngü P4 C5

Teorem Boş olmayan G çizgesi iki kümelidir ancak ve ancak G çizgesinde tek döngü yoktur. İspat: ) G iki kümeli çizgedir (V1,V2) iki küme olsun. ve Cn : v1,v2,…,vn,v1 G (n3) de döngü olsun. v1V1 ise onda v2V2, v3V1, v4V2, …, vnV2 Yani n çift olmalıdır, G çizgesinde tek döngü yoktur.

) G tek döngüsü olmayan bağlantılı çizge olsun ) G tek döngüsü olmayan bağlantılı çizge olsun. Her hangi uV(G) alalım V1 = { wV(G) | d(u, w) çift ise} V2 = { wV(G) | d(u, w) tek ise} (V1, V2) nin G yi iki kümeli çizge yaptığını gösterelim

∴ vwE(G), v,wV1 veya v,wV2  G iki kümelidir. v,wV1 (veya v,wV2 ) olsun. P: u-v en küçük yol ve Q : u-w en küçük yol olsun. (P,Q ortak bir kaç köşesi olabilir.) u1 P ve Q nün en sonuncu ortak köşesi olsun. P’ P nin u1 ile v yi birleştiren altyolu olsun. Q’ Q nün u1 ve w yi birleştiren altyolu olsun. uzunluk(P-P’) = uzunluk(Q-Q’)  d(u1,v)+d(u1,w) çifttir. Eğer vwE(G), bu durumda P’∪Q’∪{vw} tek döngüdür  v u u1 w P ∴ vwE(G), v,wV1 veya v,wV2  G iki kümelidir. Q

Tanım. Km,n : tam iki kümeli çizge olsun Tanım. Km,n : tam iki kümeli çizge olsun. V(Km,n) = V1∪V2 , burada |V1|=m , |V2|=n. uV1 ve vV2 , uvE(Km,n). Not : |V(Km,n)| = m+n |E(Km,n)| = mn. K3,2

Örnek (a) G çizgesi r-düzgün bağlantılı çizge ve r çift sayı olsun. Bu durumda G de köprü olmadığını gösteriniz. (b) r tek olsa da önerme doğru olur mu? Ççzüm： (a) G çizgesinde e köprü olsun a G = G1G2 {e} ve e=ab olsun. G1 ve G2 iki bileşendir. G1 G2 a b

v V(G1), degG (v)= r eğer v a r-1 eğer v=a ∵r çift sayıdır Altçizgeye bakalım G1 v V(G1), degG (v)= r eğer v a r-1 eğer v=a ∵r çift sayıdır ∴ tek sayıdır  1

(b) Hayır, e.g. r = 1 G： r = 3

Örnek Aşağıdaki önermenin yanlış olduğunu bir örnekle gösteriniz G bağlantılı ve sadece çift köşeleri olan bir çizge ise G de eklem köşe yoktur.

Çözüm.

Örnek. Bağlantılı G çizgesinin farklı u, v ve w köşeleri için aşağıdaki özellik doğru olsun. G de her u-w yolu v yi içeriyor. v nin eklem köşe olduğunu gösteriniz

Çözüm. G-v yi ele alalım G-v çizgesinde u-w yolu yoktur Çözüm. G-v yi ele alalım G-v çizgesinde u-w yolu yoktur.  K(G-v)>1 = K(G)  v eklem köşedir.

Düzlemsel çizgeler Düzlemde her hangi 2 kirişi kesişmeyecek biçimde çizilebilirler K4 en büyük tam ve düzlemsel çizgedir

Ağaç Bağlantılı döngüsüz çizgedir Her hangi 2 düğüm arasında tam olarak 1 yol vardır

Ünlü problemler “Gezgin satıcı problemi” Gezgin satıcı her şehirde tam olarak bir defa olmak koşuluyla uzunluğu en kısa olan yolculuğu nasıl yapabilir?

Ünlü problemler 1852 de Francis Guthrie sorduğu problem “4 renk problemi” her hangi 2 komşu ülke rengi farklı olmak üzere tüm harita sadece 4 renkle boyanabilir? 1976 da Kenneth Appel ve Wolfgang Haken tarafından çözüldü ve çizge kuramının yeniden doğuşu oldu .