ÖNERMELER MANTIĞI Yılmaz KILIÇASLAN

Önermeler Mantığı - Bağlaçlar Yalnızca doğruluk değerleri üzerinden fonksiyonel olarak tanımlanabilen bağlaçlar ve olumsuzluk operatörü, Önermeler Mantığı için Mantık Sabiti olabilirler. Örnekler: (1) Ali kafasını duvara çarptı ve ağlıyor. (2) Ali ağlıyor çünkü kafasını duvara çarptı. (3) Ali ağlıyor. (4) Ali kafasını duvara çarptı. (5) Ali ağlıyor çünkü yağmur yağıyor. (6) Yağmur yağıyor.

Önermeler Mantığı – Doğruluk Tabloları (1) OLUMSUZLUK: φ ¬φ ----------------- 0 1 1 0 VE: φ ψ (φ  ψ) ----------------------- 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Önermeler Mantığı – Doğruluk Tabloları (2) VEYA: φ ψ (φ  ψ) --------------------------- 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 İSE φ ψ (φ  ψ) ----------------------- 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1

Önermeler Mantığı – Doğruluk Tabloları (3) ANCAK VE ANCAK: φ ψ (φ  ψ) --------------------------- 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

Önermeler Mantığı ve Küme Kuramı

Önermeler Mantığı – Bir Formel Dil-L0 (1) SÖZDİZİM: A. Temel İfadeler 1. Mantık Sabitleri: ¬, , , ,  2. Önerme Değişkenleri: p, q, r, p1, q1, r1, … B. Oluşum Kuralları 1. Her önerme değişkeni L0’a ait bir formüldür. 2. Eğer φ L0’a ait bir formül ise ¬φ da öyledir. 3. Eğer φ ve ψ L0’a ait formül iseler (φ  ψ), (φ  ψ), (φ  ψ), (φ  ψ) de öyledir. 4. Başka bir şey formül olamaz.

Önermeler Mantığı – Bir Formel Dil-L0 (2) L0 için bir BNF (Backus-Naur Form) Gramer: Formül  p | q | r | p1 | q1 | r1 | … Formül  ¬ Formül | ( Formül  Formül ) | ( Formül  Formül ) | ( Formül  Formül ) | ( Formül  Formül )

Önermeler Mantığı – Bir Formel Dil-L0 (2) SEMANTİK: L0 için modelimiz bütün önerme değişkenlerine 1 yada 0 değerini atayan bir F fonksiyonudur. []F = F(), bütün  önerme sabitleri için. Eğer [φ]F = 0 ise [¬φ]F = 1’dir (ve diğer durumlarda [¬φ]F = 0’dır). Eğer [φ]F = 1 veya [ψ]F = 1 ise [φ  ψ]F = 1’dir. Eğer [φ]F = 1 ve [ψ]F = 1 ise [φ  ψ]F = 1’dir. Eğer [φ]F = 0 veya [ψ]F = 1 ise [φ  ψ]F = 1’dir. Eğer [φ]F = 1 ve [ψ]F = 1 veya [φ]F = 0 ve [ψ]F = 0 ise [φ  ψ]F = 1’dir.

Hep-Doğrular ve Hep-Yanlışlar

Alıştırmalar - 1 Aşağıdaki ifadelerin L0’a ait birer formül olup olmadığını gösteriniz. ¬(¬p  q) (p  ((p  q))) (p  (q  r)) (¬p  ¬¬p) (p  (p  q)  q)

Alıştırmalar - 2 Aşağıdaki cümleleri L0’ın ifadeleri olarak formüle ediniz. Kimse gülmedi veya alkışlamadı. Güneş parlarken yağmur yağarsa, gökkuşağı görünür. Ahmet işe arabayla veya bisiklet ve trenle gider. Annem ve babam birlikte giderlerse ben gitmeyeceğim, ama sadece babam giderse ben de gideceğim. Yardımına ihtiyacım olduğunda bana yardım etmezsen, bana ihtiyacın olduğunda da ben sana yardım etmem.