EŞANLI DENKLEMLİ MODELLER

Eşanlı denklem sisteminde, Y den X e ve X den Y ye karşılıklı iki yönlü etki vardır. Y ile X arasındaki karşılıklı ilişki nedeniyle tek denklemli bir model kurulamaz. Bu yüzden birden çok denklemli eşanlı bir model kullanmak gerekecektir. Bir eşanlı modelde, birbirini karşılıklı olarak etkileyen veya karşılıklı olarak birlikte etkilenen bağımlı değişkenlerin her biri için yeni bir denklem yer alır.

Eşanlı modeldeki değişken tanımları İÇSEL DEĞİŞKEN: Bir eşanlı modelde birbirini karşılıklı olarak etkileyen değişkenlere içsel değişken denir. DIŞSAL DEĞİŞKEN: Değerleri dışarıdan belirlenen değişkenlerdir.

Örnek 1 1.Talep Denklemi Y 1 = a 0 +a 1 Y 2 +u 1 2. Arz Denklemi Y 2 = a 2 +a 3 Y 1 +b 1 X+u 2 Yağış miktarı(X) Arz Miktarı Y 1 Buğday Fiyatı Y 2 Y 1 : Miktar; Y 2 : Fiyat X: Yağış Miktarı

Örnek 2 Y=f(X)=a 0 +a 1 X+u 1 X=f(Y)=b 0 +b 1 Y+b 2 I+u 2 Y= Para arzı X= Gelir Seviyesi Y X I

GERİ DÖNÜŞLÜ DENKLEM SİSTEMLERİ Y 1 =f(X 1,X 2,X 3, X k,u 1 ) Y 2 =f(X 1,X 2,X 3, X k,Y 1,u 2 ) Y 3 =f(X 1,X 2,X 3, X k,Y 1,Y 2,u 3 ) GERİ DÖNÜŞLÜ MODEL Modelin, ilk denkleminin sağında sadece dışsal X değişkenleri yer alır. İkinci denklemim sağında dışsal değişkenler ve ilk denklemin ilk içsel değişkeni Y 1 yer alır. Üçüncü denklemin sağında dışsal değişkenler ve ilk ve ikinci denklemin içsel değişkenleri yer alır. Hata terimleri u’ların birbirinden bağımsız oldukları varsayılır. Geri dönüşlü modellerin denklemleri teker teker basit EKKY ile çözülebilir.

Geri Dönüşlü Model Y 1 =a 10 +b 11 X 1 +b 12 X 2 +u 1 Y 2 =a 20 +a 21 Y 1 +b 21 X 1 +b 22 X 2 +u 2 Y 3 =a 30 +a 31 Y 1 +a 32 Y 2 +b 31 X 1 +b 32 X 2 +u 3 Y’ler içsel, X’ler dışsal değişkenlerdir. Farklı hata terimleri arasında ilişki olmadığı varsayımı yapılmaktadır. Kov(u 1,u 2 )=kov(u 1,u 3 )=kov(u 2,u 3 )=0 Geri dönüşlü sistemin her bir denklemine ayrı ayrı Basit EKKY uygulanabilir. Geri dönüşlü sistemde içsel değişkenler arasında karşılıklı bağımlılık yoktur. Geri dönüşlü modelin her denklemi tek yönlü sebep ilişkisi gösterir.

GERİ DÖNÜŞLÜ DENKLEM SİSTEMLERİ İLE EŞANLI DENKLEM SİSTEMLERİNİN KARŞILAŞTIRMASI Y 1 =a 0 +a 1 Y 2 +a 3 Y 3 +b 1 X 1 +b 2 X 2 +u 1 Y 2 =a 3 +a 4 Y 1 +a 5 Y 3 +b 3 X 3 +u 2 Y 3 =a 6 +a 7 Y 1 +a 8 Y 2 +b 4 X 2 +b 5 X 3 +u 3 EŞANLI MODELGERİ DÖNÜŞLÜ MODEL X2X2 X3X3 Y1Y1 Y2Y2 Y3Y3 X1X1 Y1Y1 Y2Y2 Y3Y3 X3X3 X1X1 X2X2 Y 1 =a 0 +b 1 X 1 +b 2 X 2 +u 1 Y 2 =a 1 +a 2 Y 1 +b 3 X 3 +u 2 Y 3 =a 3 +a 4 Y 1 +a 5 Y 2 +b 4 X 1 +b 5 X 2 +u 3

YAPISAL MODEL Yapısal model eşanlı modellerin kendisi olup, değişkenler arasındaki ilişkilerin yapısını gösteren denklemlerden meydana gelir. Yapısal denklemler adı verilen bu denklemler, içsel değişkenleri; Diğer içsel değişkenler Dışsal değişkenler Hata teriminin fonksiyonu olarak ifade ederler.

Y 1 =a 12 Y 2 +a 13 Y 3 +…….a 1M Y M +b 11 X 1 +b 12 X 2 +……..+b 1k X k +u 1 Y 2 =a 21 Y 1 +a 23 Y 3 +…….a 2M Y M +b 21 X 1 +b 22 X 2 +……..+b 2k X k +u 2 Y 3 =a 31 Y 1 +a 32 Y 2 +…….a 3M Y M +b 31 X 1 +b 32 X 2 +……..+b 3k X k +u 3                    Y M =a M1 Y 1 +a M2 Y 2 +…….a M3 Y M +b M1 X 1 +b M2 X 2 +……..+b Mk X k +u M Bir yapısal modelin matematiksel olarak çözülebilmesi için gerekli şart: YAPISAL MODELLER Yapısal modelin denklem sayısı Yapısal modelin içsel değişken sayısı =

YAPISAL MODELLER Y 1, Y 2, ….Y M = İçsel(Karşılıklı Bağımlı Değişkenler) X 1, X 2,…..,X K = Dışsal Değişkenler İçsel Değişkenler Dışsal Değişkenler 1.Değerleri model içinde tayin edilir. 2.Stokastiktir. 1.Değerleri model dışında tayin edilir. 2.Stokastik değildir. 3.İçsel değişkenlerin gecikmleri değerleri de (y t-1 ) dışsal değişken olarak kabul edilir. 4.X t, X t-1 dışsal değişkenler grubundadır.

Daraltılmış Model ♦ Yapısal denklemlerden M içsel değişken için çözüm yapılarak daraltılmış kalıp denklemleri ve buna bağlı daraltılmış kalıp parametreleri elde edilebilir. ♦ Bir daraltılmış kalıp denklemi bir içsel değişkenin yalnızca dışsal değişkenlerin fonksiyonu olarak ifadesidir. Y 1 = f(X 1,X 2,…….,X k,v 1 ) Y 2 = f(X 1,X 2,……,X k,v 2 )   Y M = f(X 1,X 2,……,X k,v M ) Genel Daraltılmış Model Y i =π i1 X 1 +π i2 X 2 +…….+π ik X k i=1,.. …M

Yapısal ve Daraltılmış Model Kavramları Değişken: Büyüklüğü değişebilen, yani değişik değerler alabilen bir kavramdır. Katsayı(=Parametre): Katsayı bir değişkenin önünde yer alan sabittir. Denklem ve Özdeşlikler: * Tanım denklemleri veya Özdeşlikler * Davran ı ş Denklemleri * Denge Şartı Denklemleri

Basit Makro Ekonomik Model C t =a 0 +a 1 Y t +u 1t I t =b 0 +b 1 Y t +b 2 Y t-1 +u 2t Gelir Eşitliği Denklemi Daraltılmış Kalıp Denklemleri C t =f (Y t-1,G t )=π 1 +π 2 Y t-1 +π 3 G t +v 1 Tüketim Fonksiyonu Yatırım fonksiyonu Y t =C t +I t +G t

I t =f (Y t-1,G t )=π 4 +π 5 Y t-1 +π 6 G t +v 2 Y t =f (Y t-1,G t )=π 7 +π 8 Y t-1 +π 9 G t +v 3 Daraltılmış Kalıp Denklemleri

Birinci Kısım Etki: Doğrudan etkiyi gösterir. İkinci Kısım Etki: Dolaylı etki, içsel değişkenlerin karşılıklı bağımlılığından doğan etki. Toplam EtkiDoğrudan EtkiDolaylı Etki Daraltılmış Parametrenin Yapısı =+

Bir Malın Arz ve Talep Modeli Talep Fonksiyonu: Arz Fonksiyonu: Denge Şartı: Daraltılmış Kalıp Denklemleri: a 0 +a 1 P t +u 1 =b 0 +b 1 P t +u 2  v1v1  v2v2 Yapısal Model

Yapısal ve Daraltılmış Model Parametreleri Yapısal parametreler, ekonominin tek bir kesimindeki her bir yapısal denklemindeki, her bağımsız değişkenin bağımlı değişken üzerindeki doğrudan etkisini gösterir. Daraltılmış kalıp parametreleri hem doğrudan hem de dolaylı etkiyi gösterir. Daraltılmış kalıp parametreleri π’ler, dışsal değişkendeki değişmenin içsel değişkenler üzerindeki doğrudan ve dolaylı olmak üzere toplam etkisini, içsel değişkenler arasındaki karşılıklı bağımlılık dikkate alındıktan sonra, ölçmeye yararlar.

Eşanlı bir modelin herhangi bir denkleminin sağında yer alan içsel değişkenlerden bir veya bir kaçı o denklemdeki hata terimi ile ilişkili iseler, bu denkleme basit EKKY uygulandığı taktirde TUTARSIZ tahminciler elde edilmektedir. EŞANLI DENKLEM SAPMASI: BASİT EKKY TAHMİNCİLERİNİN TUTARSIZLIĞI C t =b 0 +b 1 Y t +u t Y t =C t +I t

kov(Y t,u t )  0 İspatı Kov (Y,u)=E{[Y-E(Y)][u-E(u)]} ; E(u)=0 EŞANLI DENKLEM SAPMASI: BASİT EKKY TAHMİNCİLERİNİN TUTARSIZLIĞI

Eşanlılık Sınaması Eşanlılık sınaması, bir açıklayıcı değişkenin(içsel)hata terimi ile ilişkili olup olamadığının sınanmasıdır. Hausman Model Kurma Sınaması Talep Fonk. :Q t =a 0 +a 1 P t +a 2 I t +a 3 R t + u1t (1) Arz Fonk. :Q t =b 0 +b 1 P t +u 2t (2) Daraltılmış Kalıp denklemleri: P t =P 0 +P 1 I t +P 2 R t +v t (3) Q t =P 3 +P 4 I t +P 5 R t +w t (4)

EKKY tahmini (5) Eşanlılık Sınaması 1.Adım: P t nin R t ile I t ye göre regresyonu hesaplanıp v-tah ler bulunur. 2.Adım: Q t nin P t ile v-tah’ ne göre regresyonu hesaplanır: [(5), (1) de yerine konulur] 3.Adım: v-tah’nin katsayısına t sınaması uygulanır. Sonuç anlamlı çıkarsa eşanlılık olmadığı önsavı reddedilir.

Dışsallık Sınaması Y 1,Y 2,Y 3 gibi üç değişkenli, üç denklemli bir model ve X 1, X 2, X 3 gibi dışsal değişkenler bulunsun. Y 1i =b 0 +b 2 Y 2i +b 3 Y 3i +a 1 X 1i +u 1i 1.Adım: Y 2 ve Y 3 için daraltılmış kalıp denklemlerinden Y 2i -tah ve Y 3i -tah elde edilir. 2. Adım: Aşağıdaki denklem tahmin edilir. 3.Adım: 2 = 3 =0 önsavı test edilir. Eğer bu önsav reddedilirse Y 2 ve Y 3 içsel sayılır.

EŞANLI MODELLEDE BELİRLENME PROBLEMİ Eksik Belirlenmiş Denklem(= Belirlenmemiş Denklem) Belirlenmiş Model Tam Belirlenmiş Denklem Aşırı Belirlenmiş Denklem

1.Eksik Belirlenme Durumu: Bir malın arz ve talep modelinin parametreleri tahmin edilmek isteniyor. Yapısal modelde a 0, a 1, b 0, ve b 1 parametreleri vardır. Fakat sadece iki tane daraltılmış model katsayısı  1 ve  2 den tahmin edilemez. Arz-talep modeli belirlenmemiş ya da eksik belirlenmiştir.

2.Tam Belirlenme Durumu Denklemlerden Sadece Biri Tam Belirlenmiş Arz ve Talep Modelleri a) Talep: Q=a 0 +a 1 P+a 2 I+u 1 Arz: Q=b 0 +b 1 P+u 2 Daraltılmış kalıp denklemleri: Q=  3 +  4 I+v 2 Eksik Belirlenmiş Tam Belirlenmiş P=  1 +  2 I+v 1

2.Tam Belirlenme Durumu Denklemlerden Sadece Biri Tam Belirlenmiş Arz ve Talep Modelleri b) Talep: Q=a 0 +a 1 P+u 1 Daraltılmış kalıp denklemleri: P=  1 +  2 T+v 1 Q=  3 +  4 T+v 2 Eksik Belirlenmiş Tam Belirlenmiş Arz: Q=b 0 +b 1 P+b 2 T+u 2

2.Tam Belirlenme Durumu Denklemlerden Her İkisi de Tam Belirlenmiş Arz ve Talep Modeli c)Talep: Q=a 0 +a 1 P+a 2 I+u 1 Arz: Q=b 0 +b 1 P+b 2 T+u 2 Daraltılmış kalıp denklemleri: P=  1 +  2 I+  3 T+v 1 Q=  4 +  5 I+  6 +v 2 Tam Belirlenmiş

3.Aşırı Belirlenme Durumu Sadece Bir Denklem Aşırı Belirlenmiş Arz ve Talep Modeli Arz fonk. Q=a 0 +a 1 P+u 1 Talep fonk. Q=a 2 +a 3 P+b 1 I+b 2 Z+u 2 Aşırı belirlenmiş Eksik belirlenmiş Her İki Denklemi de Belirlenmiş Yapısal Model Talep fonk. Q=a 0 +a 1 P+a 2 I+a 3 Z+u 1 Arz fonk. Q=b 0 +b 1 P+b 2 T+u 2 Tam belirlenmiş Aşırı belirlenmiş

Eşanlı Denklemli Modelin Denklemlerinin Belirlenme Durumunun Yapısal Modelden Hareketle Araştırılması 1.Belirlenmenin İlk Şartı= Boy Şartı K-k  m-1 M=Modeldeki toplam içsel değişken sayısı m= Belirlenmesi araştırılan denklemdeki içsel değişken sayısı K= Modeldeki toplam dışsal değişken sayısı k=Belirlenmesi araştırılan denklemdeki dışsal değişken sayısı 1.K-k=m-1 ise denklem tam belirlenmiştir. 2.K-k>m-1 ise denklem aşırı belirlenmiştir. 3.K-k<m-1 ise denklem eksik belirlenmiştir.

1. Talep: Q=a 0 +a 1 P+u 1 Arz: Q=b 0 +b 1 P+u 2 K=0 k=0 m=2 K-k  m-1 0-0<2-1 0<1 Talep Denklemi Eksik Belirlenmiştir K-k  m-1 0-0<2-1 0<1 K=0 k=0 m=2 Arz Denklemi Eksik Belirlenmiştir Örnekler Talep denklemi için: Arz denklemi için:

Arz: Q=b 0 +b 1 P+u 2 K=1 k=1 m=2 K-k  m-1 1-1<2-1 0<1 Talep Denklemi Eksik Belirlenmiştir K-k  m-1 1-0<2-1 1=1 K=1 k=0 m=2 Arz Denklemi Tam Belirlenmiştir Örnekler Talep denklemi için: 2. Talep: Q=a 0 +a 1 P+a 2 I+u 1 Arz denklemi için:

3. Talep: Q=a 0 +a 1 P+a 2 I+u 1 Arz: Q=b 0 +b 1 P+b 2 T+u 2 K=2 k=1 m=2 K-k  m-1 2-1<2-1 1=1 Talep Denklemi Tam Belirlenmiştir Talep denklemi için: Arz denklemi için: K=2 k=1 m=2 K-k  m-1 2-1<2-1 1=1 Arz Denklemi Tam Belirlenmiştir

4. Talep: Q=a 0 +a 1 P+a 2 I+a 3 Z+u 1 Arz: Q=b 0 +b 1 P+b 2 T+u 2 K=3 k=2 m=2 K-k  m-1 3-2<2-1 1=1 Talep Denklemi Tam Belirlenmiştir K=3 k=1 m=2 K-k  m-1 3-1<2-1 2>1 Arz Denklemi Aşırı Belirlenmiştir Talep denklemi için: Arz denklemi için:

Yöntem 2: Modeldeki En Az M-1 Değişkeni İçermeme Yöntemi ile Boy Şartı 1.Tam Belirlenme Hali=M-1 2.Aşırı Belirlenme Hali>M-1 3.Eksik Belirlenme Hali< M-1 Örnek: Talep fonk. Q=a 0 +a 1 P+u 1 Arz fonk. Q=b 0 +b 1 P+u 2 M-1 =2-1=1 değişkeni içermemesi gerekiyor. Halbuki talep denklemi tüm değişkenleri içeriyor.Eksik belirlenmiştir. Arz fonksiyonu da eksik belirlenmiştir. M=2 olup arz fonksiyonunun M-1 değişkeni içermeme durumu yoktur.

2.Belirlenmenin İkinci Şartı= Rank Şartı Adım 1: Yapısal Modelin Yeniden Yazılması Yapısal model, sadece u terimleri denklemlerin sağında kalacak şekilde düzenlenir. Talep: Q=a 0 +a 1 P+a 2 I+u 1 Arz: Q=b 0 +b 1 P+u 2 Q-a 0 -a 1 P-a 2 I=u 1 (1.Denklem) Q-b 0 -b 1 P=u 2 (2.Denklem) Q,P=içsel değişken; I=dışsal değişken

2.Belirlenmenin İkinci Şartı= Rank Şartı Adım 2: YKT(Yapısal Katsayılar Tablosu)nin Düzenlenmesi Satırlarda adım 1’de yeniden düzenlenen denklemleri; Sütunlarda da değişkenleri alarak, değişkenlerin katsayılarından oluşan Yapısal Katsayılar Tablosu düzenlenir. Denklemler Değişkenler Q P I 1.Denklem 2.Denklem 1 -a 1 -b 1 -a 2 0

Adım 3:BADT (Belirlenmesi Araştırılan Denklemde Bulunmayan Değişkenlerin Katsayıları Tablosu)nin Düzenlenmesi YKT de;belirlenme durumu araştırılan denklemin satırı ile bu satırdaki sıfırdan farklı sütunlar çizilir. 1.d 2.d Q P I a 1 -b 1 -a 2 0 YKT BADT -a 2

Adım 5: Adım 4 deki rank şartı gerçekleştikten sonra denklemin aşırı yada tam belirlenmediğini anlamak için boy şartına bakılır. M-1=2-1=1 ve (M-1)(M-1)=1X1 |A| = |-a 2 |  0 Adım 4: BADT dan (M-1)(M-1) boyunda elde edilen matrislerin determinantları bulunur. Bulunan determinantlardan en az biri sıfırdan farklı ise denklem belirlenmiştir. Boy şartı 1=1 şeklinde olduğundan ve rank şartı da gerçekleştiğinden arz denklemi tam belirlenmiştir.

1. K-k=m-1 ve (M-1)(M-1) boyundaki |A| determinantlarından en az biri sıfırdan farklı ise denklem tam belirlenmiştir( Boy şartı da rank şartı da gerçekleşmiştir.) 2.K-k>m-1 ve (M-1)(M-1) boyundaki |A| determinantlarından en az biri sıfırdan farklı ise denklem aşırı belirlenmiştir( Boy şartının da rank şartının da gerçekleşmesi) 3.K-k  m-1 ve (M-1)(M-1) boyundaki |A| determinantlarının hepsi sıfıra eşitse ise denklem belirlenmemiştir( Boy şartının gerçekleşmesi fakat rank şartının gerçekleşmemesi) 4.K-k<m-1 ise yapısal denklem eksik belirlenmiş veya belirlenmemiştir.

Talep: Q=a 0 +a 1 P+a 2 I+u 1 Arz: Q=b 0 +b 1 P+b 2 T+u 2 Adım 1: Yapısal modelin yeniden yazılması Q-a 0 -a 1 P-a 2 I=u 1 (1.Denklem) Q-b 0 -b 1 P-b 1 T=u 2 (2.Denklem) Adım 2: YKT ‘nin Düzenlenmesi Denklemler Değişkenler Q P I T 1.Denklem 2.Denklem 1 -a 1 -a b 1 0 -b 2

Adım 3. BADT’nin Düzenlenmesi YKT 1.d 2.d Q PI a 1 -b 1 -a 2 0 BADT -b 2 T 0 -b 2

Adım 4: M-1=2-1=1 ve (M-1)(M-1)=1X1 |A| = |-b 2 |  0 Adım 5: Boy şartı 1=1 şeklinde olduğundan ve rank şartı da gerçekleştiğinden arz denklemi tam belirlenmiştir.