Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 4.HAFTA İÇERİĞİ -Regula Falsi (Yer Değiştirme)Yöntemi -Sekant Yöntemi -Örnekler

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Regula Falsi (Yer Değiştirme) Yöntemi DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER f(x) fonksiyonunun a ve b değerleri için f(a) ve f(b) ters işaretli ise ( f(a) ·f(b) < 0 ) bu aralıkta bir kök vardır. Bu yöntemde (a,b) aralığında fonksiyon uygun bir doğru ile yer değiştirilerek kök aranır. x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Kökün c ile b arasında olma şartı DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER f(a) ·f(c) > 0 Fks.nun f(a) ile f(b) arasında kalan yayı doğru halinde getirildiğinde x eksenini kesen c noktası kök değerine daha yakındır. y f(b) x y a b y=f(x) f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a c a b y x b x kök Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. f(c) f(a) c ile a aynı tarafta ise ( f(a) ·f(c) > 0 ) kök c ile b arasında aranır. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Kökün a ile c arasında olma şartı DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER f(a) ·f(c) < 0 Fks.nun f(a) ile f(b) arasında kalan yayı doğru halinde getirildiğinde x eksenini kesen c noktası kök değerine daha yakındır. y f(x) f(b) x y a b y=f(x) f(c) kök Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a c b x a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. f(a) c ile b aynı tarafta ise ( f(a) ·f(c) < 0 ) kök a ile c arasında aranır. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü c noktasının hesabı DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER f(a) ·f(c) < 0 a, c, f(a) üçgeni ile b, c, f(b) üçgeni benzerdir. y f(x) f(b) x y a b y=f(x) f(c) kök Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a c b x a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. f(a) a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü İşlem sırası SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Uygun alt (a) ve üst (b) değer seçilir (f(a) ·f(b) < 0 olmalı) Bu değerler için f(a) ve f(b) hesaplanır. c değeri bulunur f(c) değeri hesaplanır. Eğer f(c) = 0 ise kök c dir. f(c) ≠ 0 ise işleme devam f(a) ·f(c) > 0 ise a = c f(a) ·f(c) < 0 ise b = c alınarak 1. basamağa geri dönülür. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü İterasyona son verme SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Regula Falsi (yer değiştirme) yönteminde iterasyona iki şekilde son verilir. Bulunan c değeri için f(x) fonksiyonunun değeri 0 ise (f(x) = 0 ise); |εt|< εk ise; iterasyona son verilir. Eğer bu durumlar sağlanmıyorsa c yer değiştirilerek işlemler tekrarlanır. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER LİNEER OLMAYAN BİR DENKLEM TAKIMININ ÇÖZÜMÜ Lineer olmayan bir denklem takımının çözümü için izlenecek yöntem: Birkaç veya bütün köklerin bulunması Köklerin gerçek ya da sanal olmasına Kökler için yaklaşık değer bulunup, bulunmadığına bağlı olarak seçilir. Bazı yöntemler tek bir denklemin, bazılarında bir denklem takımının çözümüne daha uygundur ÖRNEK: f(x) = x3 – 6x2 + 13,5x- 9 denkleminin kökünü, a=0,5 ve b=1,5 alarak Regula Falsi yöntemiyle çözünüz. (εk=0.001) 1) y x 0,5 f(x) 1 1,5 2 2) f(a) = -3,62 f(b) = 1,125 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Kullanılacak yöntemler: Basit iterasyon yöntemi Newton yöntemi İterasyon Yöntemleri Yarıya bölme yöntemi Regula-Falsi yöntemi Enterpolasyon yöntemi Grafik yöntemi f(a) ·f(b) < 0 olduğundan (a,b) aralığında kök vardır 3)

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER 4) f(c) = 0,4946 f(c) ≠ 0 ol.dan işleme devam 5) BASİT İTERASYON YÖNTEMİ (Basit Sabit Noktalı İterasyon) f(x)= 0 şeklinde verilen denklem x=g(x) şekline getirilerek ardışık tekrarlar sonunda xk+1 = g(xk) şeklinde köke ulaşmaya çalışır. Eğer I gı(xo) I < 1 ise bu yöntem mutlaka köke yaklaşır. Deklemin asıl kökü (x) için I gı(1) I ≈ 1 ise yaklaşım yavaş olur. I gı(xo) I > 1 olursa yaklaşım zordur. f(a) ·f(c) < 0 olduğu için b = c yazılarak 1. basamağa geri dönülür Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 1) a = 0,5 b= 1,263157 2) f(a) = -3,62 f(b) = 0,4946 3) c = 1,171520 4) f(c) ≠ 0 ol.dan işleme devam f(c) = 0,1886 5) f(a) ·f(c) < 0 olduğu için b = c yazılarak tekrar 1. basamağa geri dönülür

| εt |< εk olduğu için iterasyona son verilir. SAYISAL YÖNTEMLER Yakınsama ve Iraksama İterasyonun gerçek bağıl yüzde hatası, bir önceki iterasyon hatayla orantılıdır. Doğrusal yakınsama adı verilen bu özellik basit iterasyonun bir karakteristiğidir. Yakınsamayı incelemek için iki eğrili grafik yöntemden yararlanılır. Bu yöntemde, fks. iki ayrı bileşene ayrılır. Bu iki fks. Grafiksel olarak kesim noktası kökü vermektedir. a b f(a) f(b) c f(c) f(a). f(c) εt … -0,0782 0,5 1,17520 -3,62 0,1886 1,138305 0,06763 < 0 -0,02917 1,138303 1,126614 0,0237 -0,0103 0,023 1,122544 0,0082 -0,00362 1,121132 0.00285 -0,00125 0,0028 1,120643 0.00098 -0,00043 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü f1(x) = f2(x) y1= f1(x) , y2= f2(x) = g(x) ÖRNEK e-x –x = 0 x= e-x y1 = x ve y2 = e-x Bu fks.nun kökleri grafik yöntemle iki şekilde bulunabilir. x ekseni kestiği yerdeki kök Bileşen fks.larının kesiştiği yerdeki kök. Kök c= 1.120643 | εt |< εk olduğu için iterasyona son verilir. y y=e-x-x y f1(x) =y1=x f2(x)=y2 = e-x x a) x b) b

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Basit iterasyonun yakınsamasının ve ıraksamasının gösterimi ÖDEV: f(x)= 2x2 -5sinx denkleminin kökünü a =1,2 b=2 için εk = 0.0001 hassasiyetle Regula Falsi yöntemini kullanarak bulunuz. x3 =79 denkleminin kökünü ikiye bölme ve Regula Falsi yöntemleriyle bulunuz εk = 0.0001 (alt ve üst değerleri grafik çizip kendiniz belirleyeceksiniz) x y y1=x y2 = g(x) Kök xo Iraksak x y Yakınsak y1=x y2 = g(x) Kök xo x1 x2 SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Yakınsama ve ıraksama şartı y1 = x  y|1 = 1 (Eğim) y2= g(x)  | g|(xo) | < 1 ise yakınsak | g|(xo) | > 1 ise ıraksak Burada y2= g(x) fks.nun eğiminin mutlak değeri y1 = x fks.nun eğiminden küçük olması halinde yakınsama olmaktadır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Sekant Yöntemi SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır Newton-Raphson yönteminin uygulanması sırasında türev alınmasında zorluklarla karşılanabilir. Böyle durumlarda türev geriye doğru sonlu farklar yaklaşımı ile bulunur. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan y f(xk) y1 = x f(xk-1) c) x2 = x + 3 ‘ den x xk-1 xk y1 = x kök y2 = (x+3)1/2 yakınsaktır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır Sonlu farklar yaklaşımıyla : y f(xk) f(xk-1) x xk-1 xk Newton-R. nın genel hali Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan kök y1 = x c) x2 = x + 3 ‘ den y1 = x y2 = (x+3)1/2 yakınsaktır Bu yöntemde hesaplamalara başlamak için 2 tane ilk tahmine ihtiyaç duyulur. Fakat tahminler arasında f(x) işaret değiştirmek zorunda değildir.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK: f(x) = e-x –x denkleminin kökünü Sekant yöntemiyle çözünüz. (xk-1= 0, xk=1, εk=0.001) Başla xo, ε f(xk-1) = f(0) = e0 – 0 = 1 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo f(xk) = f(1) = e-1 – 1 = -0,63212 y = f(x) E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER xk-1 xk f(xk-1) f(xk) xk+1 εt 1 -0.63212 0.61270 -0.6321 -0.07081 0.5638 0.0867 0,5638 0.0051 0.56717 0.0059 0,56717 0.005181 -4.2x10-5 Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) E |x-y| ≤ εk Kök = 0.56717 Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖDEV: f(x)= 7.sinx.e-x -1 denkleminin kökünü Sekant yöntemini kullanarak bulunuz. (xk-1=0.5 , xk= -0.4, εk = 0.0001 ) f(x)= 2.x2 - 5.sinx denkleminin kökünü Sekant yöntemini kullanarak bulunuz. (εk = 0.0001 , ilk tahmin değerlerini fonksiyonun grafiğini çizerek kendiniz belirleyiniz. ) Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması