Oyun Kuramına Giriş

Oyun Kuramı Oyun kuramı, kendi davranışlarının diğerlerinin davranışlarını etkilediğinin farkında olan iktisadi birimlerin stratejik davranışlarını modellemekte kullanılır.

Bazı oyun kuramı uygulamaları Oligopol piyasaları, Karteller, ör. OPEC, Dışsallıklar, ör. Balık avlanma sahaları gibi ortak kaynakların kullanımı, Askeri stratejiler.

Oyun nedir? Bir oyun, Bir oyuncular kümesinden Her bir oyuncu için bir stratejiler kümesinden Oyuncuların seçtiği her bir olası stratejiler listesi için her birinin kayıp-kazançlarından oluşur.

İki kişilik oyunlar İki oyuncunun bulunduğu oyunlar çok yaygındır. İki kişilik oyunları çalışmak kolaydır, Kartezyen düzlemde gösterilebilir.

İki kişilik oyun örneği Oyuncular A ve B olsun. Oyuncu A’nın iki stratejisi var: “Yukarı” ve “Aşağı”. Oyuncu B’nin de iki stratejisi var: “Sola” ve “Sağa”. Toplam (olası) dört strateji kombinasyonu için her bir oyuncunun kayıp-kazançlarını gösteren tabloya ödemeler ya da kayıp kazanç matrisi denir.

İki kişilik oyun örneği Oyuncu B Oyuncu A Sol Sağ Y A (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Ödemeler matrisi Oyuncu A’nın kayıp kazançları önce, Oyuncu B’ninkiler sonra gösterilir.

İki kişilik oyun örneği Oyuncu B Oyuncu A Sol Sağ Y A (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Örneğin, eğer oyuncu A Yukarı ve B Sağa oynarsa A’nın kazancı 1, B’ninki 8 olmaktadır.

İki kişilik oyun örneği Oyuncu B Oyuncu A Sol Sağ Y A (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Örneğin, eğer oyuncu A Aşağı ve B Sağa oynarsa A’nın kazancı 2, B’ninki 1 olmaktadır.

İki kişilik oyun örneği Oyuncu B Oyuncu A Sol Sağ Y A (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Oyunda bir hamle, (yukarı, sol) gibi bir ikilidir, burada ilk eleman A’nın seçtiği stratejiyi, ikinci eleman B’nin seçtiği stratejiyi gösterir.

İki kişilik oyun örneği Oyuncu B Oyuncu A Sol Sağ Y A (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) Bu oyunda hangi hamlenin oynanması daha olasıdır?

İki kişilik oyun örneği Oyuncu B Oyuncu A Sol Sağ Y A (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) (Yukarı, Sağ) oynanabilir bir strateji midir?

İki kişilik oyun örneği Oyuncu B Oyuncu A Sol Sağ Y A (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) B Sağ’a oynarsa A’nın en iyi yanıtı Aşağı oynamaktır, çünkü böylece kazancı 1 değil 2 olacaktır. A yukarı oynarsa B’nin en iyi yanıtı Sol’a oynamaktır çünkü böylece kazancı 8 değil 9 olacaktır. Dolayısıyla (Yukarı, Sağ) oynanabilir bir strateji değildir.

İki kişilik oyun örneği Oyuncu B Oyuncu A Sol Sağ Y A (3,9) (0,0) (1,8) (2,1) (Aşağı, Sağ) oynanabilir bir strateji midir?

İki kişilik oyun örneği Oyuncu B L R (D,R) olası bir sonuç mu? U (3,9) (1,8) Oyuncu A (2,1) D (0,0) B Sağa oynarsa A’nın en iyi yanıtı Aşağıdır.

İki kişilik oyun örneği Oyuncu B L R (D,R) olası bir sonuç mu? U (3,9) (1,8) Oyuncu A (2,1) D (0,0) B Sağa oynarsa A’nın en iyi yanıtı Aşağıdır. A Aşağı oynarsa B’nin en iyi yanıtı Sağ’adır. Dolayısıyla (D,R) oynanabilirdir.

İki kişilik oyun örneği Oyuncu B L R (D,L) olası bir sonuç mu? U (3,9) (1,8) Oyuncu A (0,0) D (2,1)

İki kişilik oyun örneği Oyuncu B L R (D,L) olası bir sonuç mu? U (3,9) (1,8) Oyuncu A (0,0) D (2,1) A Aşağı oynarsa B’nin en iyi yanıtı Sağ’dır, dolayısıyla (D,L) oynanabilir değildir.

İki kişilik oyun örneği Oyuncu B L R (U,L) olası bir sonuç mu? U (3,9) (1,8) Oyuncu A D (0,0) (2,1)

İki kişilik oyun örneği Oyuncu B L R (U,L) olası bir sonuç mu? U (3,9) (1,8) Oyuncu A D (0,0) (2,1) A Yukarı oynarsa B’nin en iyi yanıtı Soldur.

İki kişilik oyun örneği Oyuncu B L R (U,L) olası bir sonuç mu? U (3,9) (1,8) Oyuncu A D (0,0) (2,1) A Yukarı oynarsa B’nin en iyi yanıtı Soldur. B Sola oynarsa A’nın en iyi yanıtı Yukarıdır. Dolayısıyla (U,L) olası bir sonuçtur.

Nash Dengesi Bir oyunun oynanışında her bir oyuncunun stratejisi diğerininkine en iyi yanıt ise Nash dengesi vardır. Örneğimizde iki Nash dengesi vardır; (U,L) ve (D,R).

İki kişilik oyun örneği Oyuncu B L R U (3,9) (1,8) Oyuncu A (2,1) D (0,0) (U,L) ve (D,R) oyunun Nash dengeleridir.

İki kişilik oyun örneği Oyuncu B L R U (3,9) (1,8) Oyuncu A (2,1) D (0,0) (U,L) ve (D,R) oyunun Nash dengeleridir. Fakat hangisi oyunun sonucu olarak ortaya çıkar? Bir çok oyuncu (U,L)’yi (D,R)’ye tercih edecektir. Sadece (U,L)’yi mi kabul etmeliyiz?

Tutuklunun Açmazı Oyunun oynanışı sonucu ortaya çıkan sonucun Pareto-etkin olup olmadığını görmek için ünlü bir iki kişilik oyun örneğine bakacağız: Tutuklunun açmazı.

Tutuklunun Açmazı Clyde Sessiz kalmak Konuşmak S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie K (-1,-30) (-10,-10) Bu oyunun oynanmasıyla ortaya çıkabilecek olası sonuç nedir?

Tutuklunun Açmazı Clyde S K S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie K (-1,-30) (-10,-10) Bonnie sessiz kalırsa Clyde’ın en iyi yanıtı suçunu itiraf etmektir.

Mahkum Açmazı Clyde S K S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie K (-1,-30) (-10,-10) Bonnie sessiz kalırsa Clyde’ın en iyi yanıtı suçunu itiraf etmektir. Bonnie itiraf ederse Clyde’ın en iyi yanıtı

Tutuklunun Açmazı Clyde S K S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie K (-1,-30) (-10,-10) Dolayısıyla Bonnie ne oynarsa oynasın, Clyde’ın en iyi yanıtı her zaman konuşmaktır. İtiraf etmek Clyde için her zaman baskın stratejidir.

Tutuklunun Açmazı Clyde S K S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie K (-1,-30) (-10,-10) Benzer biçimde, Clyde ne oynarsa oynasın, Bonnie’nin en iyi yanıtı her zaman konuşmaktır. Konuşmak Bonnie için de baskın stratejidir.

Tutuklunun Açmazı Clyde S K S (-5,-5) (-30,-1) Bonnie K (-1,-30) (-10,-10) Böylece bu oyundaki tek Nash dengesi (K,K) olmaktadır; (S,S) sonucu her ikisi için de daha iyi kazanç anlamına gelse de. Tek Nash dengesi etkin değildir.

Kim ne zaman oynar? Sıralama Önceki örneklerde oyuncular stratejilerini eşzamanlı olarak seçiyorlardı. Bu tür oyunlara eşanlı (eşzamanlı) oynanan oyunlar denir.

Kim ne zaman oynar? Sıralama Fakat, bir oyuncunun diğerinden önce hamle yaptığı oyunlar da vardır. Bu tür oyunlara ise ardışık sıralı (sequential) oynanan oyunlar denir. İlk hamleyi yapan oyuncuya lider, ilk oyuncudan sonra hamle yapan oyuncuya ise takipçi denir.

Ardışık sıralı oyun örneği Bazen bir oyunda birden fazla Nash dengesi bulunur ve hangisinin sonuç olarak ortaya çıkacağını saptamak zor olabilir. Böyle bir oyun ardışık sıralı ise bu Nash dengelerinden birinin ortaya çıkmasının daha olası olduğunu söyleyebiliriz.

Ardışık sıralı oyun örneği Oyuncu B L R U (3,9) (1,8) Oyuncu A (2,1) D (0,0) (U,L) ve (D,R) bu oyun eş zamanlı oynandığında Nash dengeleridir ve hangisinin daha büyük olasılıkla seçileceği hakkında fikrimiz yoktur.

Ardışık sıralı oyun örneği Oyuncu B L R U (3,9) (1,8) Oyuncu A (2,1) D (0,0) Şimdi oyunun ardışık sıralı oynandığını varsayalım, A lider B ise takipçi olsun. Bu oyunu extensive formda yazabiliriz.

Ardışık sıralı oyun örneği A önce oynar B sonra oynar. B B L R L R (3,9) (1,8) (0,0) (2,1)

Ardışık sıralı oyun örneği A önce oynar B sonra oynar. B B L R L R (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) (U,L) Nash dengesidir.

Ardışık sıralı oyun örneği A önce oynar B sonra oynar. B B L R L R (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) (U,L) Nash dengesidir. (D,R) Nash dengesidir. Hangisi oyunun sonucu olarak ortaya çıkar?

Ardışık sıralı oyun örneği A önce oynar B sonra oynar. B B L R L R (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) Eğer A U’ya oynarsa B L’ye oynar; A 3 alır.

Ardışık sıralı oyun örneği A önce oynar B sonra oynar. B B L R L R (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) Eğer A U’ya oynarsa B L’ye oynar; A 3 alır. Eğer A D’ye oynarsa B R’ye oynar; A 2 alır.

Ardışık sıralı oyun örneği A önce oynar B sonra oynar. B B L R L R (3,9) (1,8) (0,0) (2,1) Eğer A U’ya oynarsa B L’ye oynar; A 3 alır. Eğer A D’ye oynarsa B R’ye oynar; A 2 alır. Dolayısıyla (U,L) olası Nash dengesidir.

Pür Stratejiler (3,9) (2,1) Oyuncu B L R U (1,8) Oyuncu A D (0,0) İlk örneğimize geri dönelim. Oyun yine eş zamanlı oynansın. Oyunun iki Nash dengesi olduğunu bulmuştuk: (U,L) ve (D,R).

Pür Stratejiler (3,9) (2,1) Oyuncu B L R U (1,8) Oyuncu A D (0,0) Oyuncu A’nın U ya da D’den birini seçmesi gerektiğini kabul etmiştik, bunların bir tür bileşimini değil; yani, pür olarak U ya da D seçmelidir. U ve D oyuncu A’nın pür stratejileridir.

Pür Stratejiler (3,9) (2,1) Oyuncu B L R U (1,8) Oyuncu A D (0,0) Benzer biçimde, L ve R de oyuncu B’nin pür stratejileridir.

Pür Stratejiler (3,9) (2,1) Oyuncu B L R U (1,8) Oyuncu A D (0,0) Bu kavramsallaştırmaya göre, (U,L) ve (D,R) pür strateji Nash dengeleridir. Her oyunun en az bir pür strateji Nash dengesi bulunmak zorunda mıdır?

Pür Stratejiler Oyuncu B L R U (1,2) (0,4) Oyuncu A D (0,5) (3,2) Yeni bir örnek alalım. Burada pür strateji Nash dengesi var mıdır?

Pür Stratejiler (1,2) Oyuncu B L R U (0,4) Oyuncu A D (0,5) (3,2) (U,L) Nash dengesi mi?

Pür Stratejiler (0,4) Oyuncu B L R U (1,2) Oyuncu A D (0,5) (3,2) (U,L) Nash dengesi mi? Hayır. (U,R) Nash dengesi mi?

Pür Stratejiler (0,5) Oyuncu B L R U (1,2) (0,4) Oyuncu A D (3,2) (U,L) Nash dengesi mi? Hayır. (U,R) Nash dengesi mi? Hayır. (D,L) Nash dengesi mi?

Pür Stratejiler (3,2) Oyuncu B L R U (1,2) (0,4) Oyuncu A D (0,5) (U,L) Nash dengesi mi? Hayır. (U,R) Nash dengesi mi? Hayır. (D,L) Nash dengesi mi? Hayır. (D,R) Nash dengesi mi?

Pür Stratejiler Oyuncu B L R U (1,2) (0,4) Oyuncu A D (0,5) (3,2) (U,L) Nash dengesi mi? Hayır. (U,R) Nash dengesi mi? Hayır. (D,L) Nash dengesi mi? Hayır. (D,R) Nash dengesi mi? Hayır.

Pür Stratejiler Oyuncu B L R U (1,2) (0,4) Oyuncu A D (0,5) (3,2) Dolayısıyla oyunun pür strateji Nash dengesi bulunmamaktadır. Bu durumda bile oyunun bir Nash dengesi olabilir, ancak karma strateji Nash dengesi adını alacaktır.

Karma Stratejiler Pür olarak yukarı (U) ya da aşağı (D) oynamak yerine, oyuncu A bir olasılık dağılımı (pU,1-pU) seçer; buna göre oyuncu A pU olasılığıyla yukarı (U) ve 1-pU olasılığıyla aşağı (D) oynar. Oyuncu A pür stratejileri U ve D’nin bileşiminden bir karma strateji oluşturmaktadır. Olasılık dağılımı (pU,1-pU) oyuncu A için karma bir stratejidir.

Karma Stratejiler Benzer biçimde, oyuncu B bir olasılık dağılımı (pL,1-pL) seçer; buna göre, pL olasılıkla sola (L) ve 1-pL olasılıkla sağa (R) oynayacaktır. Oyuncu B pür stratejileri L ve R’nin bileşiminden bir karma strateji oluşturmaktadır. Olasılık dağılımı (pL,1-pL) oyuncu B için karma bir stratejidir.

Karma Stratejiler Oyuncu B L R U (1,2) (0,4) Oyuncu A D (0,5) (3,2) Bu oyunda pür strateji Nash dengesi bulunmamakla birlikte bir karma strateji Nash dengesi vardır. Peki nasıl hesaplayacağız?

Karma Stratejiler Oyuncu B L,pL R,1-pL U,pU (1,2) (0,4) Oyuncu A D,1-pU (0,5) (3,2)

Karma Stratejiler Oyuncu B L,pL R,1-pL U,pU (1,2) (0,4) Oyuncu A D,1-pU (0,5) (3,2) B sola (L) oynarsa beklenen kazancı

Karma Stratejiler Oyuncu B L,pL R,1-pL U,pU (1,2) (0,4) Oyuncu A D,1-pU (0,5) (3,2) B sola (L) oynarsa beklenen kazancı B sağa (R) oynarsa beklenen kazancı

Karma Stratejiler Oyuncu B L,pL R,1-pL U,pU (1,2) (0,4) Oyuncu A D,1-pU (0,5) (3,2) ise B sadece sola (L) oynar. Fakat B sadece sola oynarsa Nash dengesi bulunmamaktadır.

Karma Stratejiler Oyuncu B L,pL R,1-pL U,pU (1,2) (0,4) Oyuncu A D,1-pU (0,5) (3,2) ise B sadece sağa (R) oynar. Fakat B sadece sağa oynarsa Nash dengesi bulunmamaktadır.

Karma Stratejiler Oyuncu B L,pL R,1-pL U,pU (1,2) (0,4) Oyuncu A D,1-pU (0,5) (3,2) Dolayısıyla bir Nash dengesi olabilmesi için, B sola ya da sağa oynamak arasında kayıtsız kalmalıdır; yani,

Karma Stratejiler Oyuncu B L,pL R,1-pL U,pU (1,2) (0,4) Oyuncu A D,1-pU (0,5) (3,2) Dolayısıyla bir Nash dengesi olabilmesi için, B sola ya da sağa oynamak arasında kayıtsız kalmalıdır; yani,

Karma Stratejiler Oyuncu B L,pL R,1-pL U, (1,2) (0,4) Oyuncu A D, (0,5) (3,2) Dolayısıyla bir Nash dengesi olabilmesi için, B sola ya da sağa oynamak arasında kayıtsız kalmalıdır; yani,

Karma Stratejiler Oyuncu B L,pL R,1-pL U, (1,2) (0,4) Oyuncu A D, (0,5) (3,2)

Karma Stratejiler Oyuncu B L,pL R,1-pL U, (1,2) (0,4) Oyuncu A D, (0,5) (3,2) A yukarı (U) oynarsa beklenen kazancı

Karma Stratejiler Oyuncu B L,pL R,1-pL U, (1,2) (0,4) Oyuncu A D, (0,5) (3,2) A yukarı (U) oynarsa beklenen kazancı A aşağı (D) oynarsa beklenen kazancı

Karma Stratejiler Oyuncu B L,pL R,1-pL U, (1,2) (0,4) Oyuncu A D, (0,5) (3,2) ise A sadece yukarı oynar. Fakat A sadece yukarı oynarsa Nash dengesi bulunmamaktadır.

Karma Stratejiler Oyuncu B L,pL R,1-pL U, (1,2) (0,4) Oyuncu A D, (0,5) (3,2) ise A sadece aşağı oynar Fakat A sadece aşağı oynarsa Nash dengesi bulunmamaktadır.

Karma Stratejiler Oyuncu B L,pL R,1-pL U, (1,2) (0,4) Oyuncu A D, (0,5) (3,2) Dolayısıyla bir Nash dengesi olabilmesi için, A yukarı ya da aşağı oynamak arasında kayıtsız kalmalıdır; yani,

Karma Stratejiler Oyuncu B L,pL R,1-pL U, (1,2) (0,4) Oyuncu A D, (0,5) (3,2) Dolayısıyla bir Nash dengesi olabilmesi için, A yukarı ya da aşağı oynamak arasında kayıtsız kalmalıdır; yani,

Karma Stratejiler Oyuncu B L, R, U, (1,2) (0,4) Oyuncu A D, (0,5) (3,2) Dolayısıyla bir Nash dengesi olabilmesi için, A yukarı ya da aşağı oynamak arasında kayıtsız kalmalıdır; yani,

Karma Stratejiler Oyuncu B L, R, U, (1,2) (0,4) Oyuncu A D, (0,5) (3,2) Sonuç olarak oyunun tek Nash dengesinde oyuncu A karma strateji (3/5, 2/5) ve oyuncu B karma strateji (3/4, 1/4) oynamaktadır.

Karma Stratejiler Oyuncu B L, R, (1,2) U, (0,4) 9/20 Oyuncu A D, (0,5) (3,2) Kayıp kazanç matrisinde (1,2) olasılığı

Karma Stratejiler Oyuncu B L, R, (1,2) (0,4) U, 9/20 3/20 Oyuncu A D, (0,5) (3,2) Kayıp kazanç matrisinde (0,4) olasılığı

Karma Stratejiler Oyuncu B L, R, (1,2) (0,4) U, 9/20 3/20 Oyuncu A (0,5) D, (3,2) 6/20 Kayıp kazanç matrisinde (0,5) olasılığı

Karma Stratejiler Oyuncu B L, R, (1,2) (0,4) U, 9/20 3/20 Oyuncu A (0,5) (3,2) D, 6/20 2/20 Kayıp kazanç matrisinde (3,2) olasılığı

Karma Stratejiler Oyuncu B L, R, (1,2) (0,4) U, 9/20 3/20 Oyuncu A (0,5) (3,2) D, 6/20 2/20

Karma Stratejiler Oyuncu B L, R, (1,2) (0,4) U, 9/20 3/20 Oyuncu A (0,5) (3,2) D, 6/20 2/20 A’nın beklenen Nash dengesi kazancı

Karma Stratejiler Oyuncu B L, R, (1,2) (0,4) U, 9/20 3/20 Oyuncu A (0,5) (3,2) D, 6/20 2/20 A’nın beklenen Nash dengesi kazancı B’nin beklenen Nash dengesi kazancı

Kaç tane Nash dengesi? Sonlu sayıda oyuncudan oluşan bir oyunda, oyunculardan her birinin sonlu sayıda pür stratejisinin olması durumunda en azından bir Nash dengesi bulunmaktadır. Ayrıca oyunda bir pür strateji Nash dengesi yoksa en azından bir karma strateji Nash dengesi bulunmalıdır.