Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. 1 DURAĞAN SÜREÇ

Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. 1 DURAĞAN SÜREÇ X t =  2 X t–1 +  t, AR(1) süreci durağan bir zaman serisi örneğidir. Ancak burada sürecin, –1 <  2  < 1 koşulu ile  t, 0 ortalamalı ve sabit varyanslı ile otokorelasyonsuz olması koşullarını sağlaması gerekmektedir

Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. 1 DURAĞAN SÜREÇ AR(1) sürecinin durağan bir zaman serisi örneği olduğu kolayca gösterilebilir. Eğer ilişki t dönemi için geçerliyse, bu ilişki aynı zamanda t-1 bir dönemi içinde geçerlidir.

1 DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. İlk denklemde X t–1 yerine ikinci denklemdeki eşitini yazalım.

5 Bu gecikme alma ve yerine koyma sürecini devam ettirdiğimizde, X 0 ve  1,...,  t yenileşim terimlerine göre X t ‘yi elde ederiz. Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. DURAĞAN SÜREÇ

5 Her bir yenileşim teriminin beklenen değeri sıfırdır. Bu nedenle X t ‘nin beklenen değeri  2 t X 0 eşit olur. Sonuçta bu değerde t artarken sıfıra yaklaşma eğilimi gösterir. Böylece E(X t ), nihayetinde t’den bağımsızdır. Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. DURAĞAN SÜREÇ

7 Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Şimdi, X t ’nin varyansının zamandan bağımsız olduğunu gösterelim.

8 DURAĞAN SÜREÇ  2 t X 0 ilave sabit olup varyansı etkilememektedir (varyans kuralı ). Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır.

8 DURAĞAN SÜREÇ Yenileşim terimlerinin her biri diğerinden bağımsız olarak üretildiği varsayıldığından, anakitle kovaryansı 0’dır. Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır.

8 DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Varyans terimlerinin kareleri alındığı için,  2 çarpımlarının kareleri alınmıştır (varyans kuralı).

11 DURAĞAN SÜREÇ X t is stationary if E(X t ),, and the population covariance of X t and X t+s are independent of t  2 ’leri içeren terimlerimler geometrik dizi şeklindedir, bu nedenle kolaylıkla toplanabilir.

12 DURAĞAN SÜREÇ Pay kısmındaki  2 2t terimi t arttıkça 0’a yaklaşır, bu nedenle varyansın zamandan bağımsız olduğunu göstermiş oluruz. Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır.

13 DURAĞAN SÜREÇ Şimdi arasındaki X t ve X t+s anakitle kovaryansını inceleyelim. X t ve yenileşim  t+1,...,  t+s terimlerine göre X t+s yazmakla işe başlayalım. Daha önce yağtığımız şekilde, gecikme ve yerine koyma işelemi ile bu işlem yapılır. Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır.

14 STATIONARY PROCESSES Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. X t, t zamanında sabitlenmiş olup bu yüzden t zamanındaki yenileşimlerinden bağımsızdır. Bundan dolayı X t and X t+s ’ anakitle kovaryansı, X t and  2 s X t ’ anakitle kovaryasına çevrilir. Böylece X t ’ anakitle varyansı ile  2 s ’nin çarpımına eşit olur.

14 STATIONARY PROCESSES Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Bu nedenle son olarak gösterilen ifadeye eşittir. Bu ifade t’den bağımsız olup, s’ye bağlıdır. Bu nedenle, sürecin durağanlığı için gerekli olan üç şarttın hepsi sağlanmalıdır.

16 DURAĞAN SÜREÇ Burada  2 = 0.7 ve yenileşim terimleri için tesadüfi sayıların kullanıldığı sürecin ürettiği serinin grafiği çizilmiştir.

17 DURAĞAN SÜREÇ Şimdi denklemin sağ tarafında  1 sabiti olduğundaki durumu inceleyelim. Bu sürecinde durağan olduğunu göstereceğiz. Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır.

17 DURAĞAN SÜREÇ t zamanında geçerli olan süreç t – 1 zamanında da geçerlidir. Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır.

17 DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. İlk denklemde, X t–1 ’in yerine eşitini koyalım. Böylece, X t–2,  1, ve t ve t – 1 zamanlarındaki yenileşimlere göre X t ‘yi ifade etmiş oluyoruz.

17 DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Yeterli sayıda gecikme ve yerine koyma işleminden sonra, X 0,  1, 1’den ve t’ye kadar olan yenileşimlere göre X t ‘yi ifade edebiliriz.

17 DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Böylece son ifadeyi elde ederiz.

22 DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Beklenen değeri aldığımızda, bütün yenileşim terimlerinin beklenen değeri sıfıra eşit olmaktadır. T çok büyük değerlere ulaştığında,  2 t terimi 0’a yaklaşacaktır. Sonuçta zamanda bağımsız bir ifade elde etmiş olacağız.

23 DURAĞAN SÜREÇ X t ‘ye bir sabitin ilave edilmesi onun anakitle varyansını etkilemeyeceğinden dolayı zamandan bağımsız olacaktır. Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır.

24 DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. X t and X t+s anakitle kovaryansı, X t and  2 s X t arasındaki anakitle kovaryans ile X t and (  2 s )  1 arasındaki anakitle kovaryans toplamına eşit olacaktır. Son kısım (  2 s )  1 sabit olduğunda kovaryansı 0’dır.

25 DURAĞAN SÜREÇ Eğer bir X t zaman serisi, E(X t ), ve X t ile X t+s arasındaki anakitle kovaryansı t’den bağımsız ise durağandır. Böylece, anakitle kovaryansı sürece  1 ‘in ilavesinden etkilenmemekte ve süreç zamandan bağımsız kalmaktadır. Böylece durağanlığın sağlanması için her üç şartta sağlanmış olmaktadır.

Copyright Christopher Dougherty 2000–2006. This slideshow may be freely copied for personal use