ÇARPANLAR VE KATLAR
N={0,1,2,3,4,5,…} olduğunu biliyoruz. Doğal sayılar kümesinde çarpma işlemini ele almıştık. Herhangi iki doğal sayıyı çarpsak elde edeceğimiz çarpımı doğal sayılar kümesinde görebilir miyiz? Herhangi iki doğal sayının çarpımı yine bir doğal sayıdır. Yani doğal sayılar kümesinde çarpma işlemi yapıldığında N hiçbir zaman dışarı eleman bırakmaz. Doğal sayılar kümesi çarpma işlemine göre kapalıdır.
12=4.3 Farklı çarpanlar kullanarak da 12 elde edilebilir miydi? Herhangi iki doğal sayının çarpımı bizi bir doğal sayıya götürdüğüne göre, herhangi bir doğal sayının da iki doğal sayının çarpımı şeklinde yazılabileceğini söylemek doğru olacaktır. 8=4.2 15=5.3 7=7.1 . . gibi. Bir çarpma işleminin içindeki tüm terimlerin adını hatırlayalım. 12=4.3 ÇARPIM ÇARPAN ÇARPAN 12’ yi elde etmenin tek yolu 4 ile 3’ü çarpmak mıdır? Farklı çarpanlar kullanarak da 12 elde edilebilir miydi?
12=12.1 12=6.2 12=4.3 Şimdi 12 sayısının çarpan ağacını oluşturalım: 1x12 12 2x6 2 x 6 4x3 2 x 2 x 3 Buna göre 12’nin çarpanlarının oluşturduğu küme O ise; O={12,1,6,2,4,3} olur.
A={17,1} olur. Şimdi siz de 48 sayısının çarpan ağacını oluşturunuz. 17 sayısının çarpan ağacını inceleyelim. 1x17 17 Buna göre 17’nin çarpanlarının oluşturduğu küme A ise; A={17,1} olur. Bu şekilde çarpanları sadece 1 ve sayının kendisi olan sayılara Asal Sayı adı verilir.
Asal Sayılarla İlgili Önemli Bazı Bilgiler Asal sayılar 1 den büyüktür. Asal sayılar sadece 1’e ve kendisine kalansız bölünebilir. 2 hariç hiçbir asal sayı çift sayı değildir. Şimdi 2 hariç 2’nin tüm katlarını bulalım. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 Şimdi 3 hariç 3’ün tüm katlarını bulalım. 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 Şimdi 5 hariç 5’in tüm katlarını bulalım. 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 Eratosthenes M.Ö. 300 (Eratosten) 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 Şimdi 7 hariç 7’nin tüm katlarını bulalım. 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 Böylece 2,3,5 ve 7’nin katlarından kurtulduk şimdi de 1 den kurtulalım. 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 Eratosten Kalburu Böylece 1 den 100 e kadar tüm asal sayıları bulduk.
BÖLÜNEBİLME KURALLARI Burada bölünebilmeden kastedilen kalansız bölünmedir. 1.) 2 ile bölünebilme: Birler basamağı 0, 2, 4, 6, 8, rakamlarından biri olan sayılar 2 ile bölünebilir. 175 182 √ 190 √ 156 √ 117 2.) 5 ile bölünebilme: Birler basamağı 0, 5, rakamlarından biri olan sayılar 5 ile bölünebilir. 112 115 √ 120 √ 153 125 √ 3.) 3 ile bölünebilme: Rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 3 ün katı olan sayılar 3 ile bölünebilir. 3733+7+3=13 3 ün katı değildir. 7867+8+6=21 3 ün katıdır. √ 4.) 9 ile bölünebilme: Rakamlarının sayı değerlerinin toplamı 9 un katı olan sayılar 9 ile bölünebilir. 3153+1+5=9 9 un katıdır. √ 7237+2+3=12 9 un katı değildir.
2804 ün katı √ 1124 ün katı √ 5134 ün katı değil 5.) 4 ile bölünebilme: Birler ve onlar basamağının oluşturduğu sayı 4’ün katı olan sayılar 4 ile bölünebilir. 2804 ün katı √ 1124 ün katı √ 5134 ün katı değil 6.) 8 ile bölünebilme: Birler, onlar ve yüzler basamağının oluşturduğu sayı 8’in katı olan sayılar 8 ile bölünebilir. 78008 in katı √ 95847218 in katı değil 7.) 6 ile bölünebilme: Bir sayı hem 2 ye hem de 3 e bölünebiliyorsa bu sayı aynı zamanda 2x3=6 ya bölünebilir. 382 480 √ 8.) 10 ile bölünebilme: Bir sayı hem 2 ye hem de 5 e bölünebiliyorsa bu sayı aynı zamanda 2x5=10 a bölünebilir. Yani 10’a bölünebilmesi için bir sayının birler basamağı 0 olmalıdır. 520 √ 1315 122 1050 √
UYGULAMALAR 1.) Rakamları farklı 4 basamaklı 3a75 sayısı 3 e bölünebildiğine göre a kaç olabilir? Bulunuz. 2.) Dört basamaklı 546a sayısı 5 e bölünebildiğine ve dört basamaklı a27b sayısı da 9 a bölünebildiğine göre b kaçtır? Bulunuz. 3.) Rakamları farklı 4 basamaklı 3a2b sayısı hem 2, hem de 3 e bölünebildiğine göre a nın alabileceği en küçük değer kaçtır? Bulunuz.
Fen ve teknoloji derslerinden biliriz ki karışımlar kendilerini oluşturan maddelerin atomlarının bir araya gelmesiyle meydana gelir. H Na H Cl O SU Tuz (Sofra Tuzu) Buradan anlarız ki tuzlu su karışımının içinde H H Na O Cl atomları bulunur.
Aynı durum sayılar için de geçerlidir Aynı durum sayılar için de geçerlidir. Maddeler için atom neyse sayılar için de asal sayı öyle düşünülmelidir. Örneğin 15 sayısı ele alındığında 15=3x5 olduğundan 3 ve 5 i asal çarpan kabul eden her sayı 15’i de çarpan olarak kabul etmektedir. Bu durum bizi şu sonuca götürür: Bir sayı ortak çarpanı olmayan iki sayıya bölünebiliyorsa bu iki sayının çarpımlarına da bölünebilir. ÖRNEKLER: 1.) 4’e ve 3’e bölünen bir sayı 4x3=12’ye bölünebilir. 2.) 5’e ve 4’e bölünen bir sayı 5x4=20’ye bölünebilir. Aşağıdaki boşlukları doldurunuz: 1.) Bir sayı 2’ye ve 9’a bölünebiliyorsa ............... ya da bölünebilir. 2.) Bir sayı ....... ve .......’ya bölünebiliyorsa 30’a da bölünebilir. Soru: 6’ya bölünebilmenin kuralını söyleyiniz.
Örnek: a362c beş basamaklı sayısı 18’e bölünebilmektedir Örnek: a362c beş basamaklı sayısı 18’e bölünebilmektedir. Buna göre a+c’ nin alabileceği en küçük değeri bulunuz. ! Bir sayının, bir sayıya bölümünden kalanı bulmak için de bölünebilme kurallarından yararlanılır. Örnek: 3247 sayısının 3’e bölümünden kalanı bulunuz. 32473+2+4+7=16 161+6=7 7’nin 3’e bölümünden kalan 1 olduğuna göre 3247’nin de 3’e bölümünden kalan 1’dir.