Bölüm 10 ve 11 KATI CİSMİN SABİT BİR EKSEN ETRAFINDA DÖNMESİ TORK AÇISAL MOMENTUM

AÇISAL YERDEĞİŞTİRME , HIZ ve İVME Dönme hareketi ile ilgileniliyorsa cisimlerden KATI CİSİM diye söz edildiği görülür. O halde katı cisim denildiğinde neden bahsedildiği de bilinmelidir. KATI CİSİM: şekli bozulmayan veya cisim üzerindeki noktalar arasındaki veya parçacık çiftleri arasındaki uzaklıkları değişmeyen cisimler denir. Gerçekte bu bölüme kadar yapılan işlerde cisimlerin katı cisim gibi ele alındığına dikkat ediniz. Açısal Yer değiştirme, Ortalama ve Ani Hız Bir parçacık t süresince şekildeki gibi A noktasından B giderse açısal yer değiştirme =i + s ortalama açısal hız ani açısal hız olarak verilir. Ortalama Açısal İvme ve Ani Açısal İvme SABİT BİR EKSEN ETRAFINDA DÖNME HAREKETİ YAPAN KATI BİR CİSİM ÜZERİNDEKİ HER BİR NOKTANIN AÇISAL HIZ VE İVMESİ AYNIDIR.

DÖNME KİNEMATİĞİ, Sabit Açısal İvmeli Hareket Dönme hareketine ait kinematik denklemeler tıpkı çizgisel hareketin denklemlerini türetirken izlenen yolla elde edilebilir.

AÇISAL VE DOĞRUSAL NİCELİKLER Çizgisel hareket ile dönme hareketini tanımlamak için kullanılan nicelikler arasında bir ilişki var mı? Yandaki şekilde verilen O noktası etrafında dönen bir parçacığın çizgisel hızı ve açısal hızı arasındaki ilişkiyi elde edelim. ti=0 da parçacık Pi(r,0) noktasında iken ts=t olduğunda P noktasına geldiyse parçacığın aldığı yol s=r kadar olacaktır. Buna göre çizgisel hız Biçiminde açısal hıza bağlı olarak verilir Yandaki şekilde verilen O noktası etrafında dönen bir parçacığın teğetsel ivmesi ile açısal ivmesi arasındaki ilişkiyi elde edelim. Böylece teğetsel ivme, açısal ivmeye bağlı olarak elde edilmiş olur.

DÖNME KİNETİK ENERJİSİ Şekilde verildiği gibi bir O noktasından geçen sabit bir eksen etrafında dönen katı cismin kinetik enerjisini tanımlayalım. Katı cisim üzerinde kütlesi mi olan bir nokta seçelim ve bu kütle elemanının kinetik enerjisi: Bu durumda katı cismin dönme kinetik enerjisi, katı cismi oluşturan her bir noktanın kinetik enerjilerinin toplamına eşit olacaktır: Katı cisim üzerindeki her bir nokta için i= için toplamın dışına alınabilir. Burada parantez içindeki ifade eylemsizlik momenti olarak adlandırılır ve I harfi ile gösterilir. SI birim sisteminde birimi kgm2 dir.

EYLEMSİZLİK MOMENTİ Noktasal parçacıklardan oluşan bir sistemin eylemsizlik momenti: N tane noktasal parçacıktan oluşan sistemin O noktası etrafında dönmesi durumunda eylemsizlik momenti Katı bir cisimden oluşan bir sistemin eylemsizlik momenti: Katı cismin O noktası etrafında dönmesi durumunda eylemsizlik momenti Katı cismin eylemsizlik momenti hesaplanırken dm integral değişkeni cismin geometrisine bağlı olarak yoğunluk tanımından yararlanılarak yazılır. Hacimsel bir cisim için  hacimsel yoğunluk dm= dV=dx.dy.dz Yüzeysel bir cisim için  yüzeysel yoğunluk dm=dA=dx.dy Çizgisel bir cisim için  yüzeysel yoğunluk dm=dx dir.

PARALEL EKSENLER TEOREMİ Katı bir cismin kütle merkezinden geçen herhangi bir eksene paralel bir eksene göre eylemsizlik momentini veren bağıntıya I=IKM+Md2 paralel eksenler teoremi denir. Bu ifadede d ilgilenilen eksenden kütle merkezinden geçen eksene olan dik uzaklık, M cismin kütlesidir.

NOT:Kitabınızın vektörel çarpma ile ilgili bölümünü inceleyiniz. TORK Bir eksen üzerinde bulunan bir cisme bir kuvvet uygulandığında, cisim bu eksen etrafında dönme eğilimi gösterir. Örneğin menteşelerle çerçeveye tutturulan kapı itilirse menteşelerin geçtiği eksen etrafında döner. Uygulanan bu kuvvetin cisim üzerinde gösterdiği etkiye TORK (moment) denir ve vektörel bir niceliktir ve  harfi ile gösterilir. Tork’ un büyüklüğü uygulanan kuvvet ile uygulanan kuvvetin doğrultusunun dönme eksenine olan dik uzaklığın (d) çarpımına karşılık gelir. Bu uzaklığa moment kolu da denir. Dönme eksenine göre kuvvetin uygulandığı noktayı gösteren konum vektörü r ve kuvvet ile r arasındaki açı  olmak üzere Şeklinde de yazılabilir. Bu son ifade aynı zamanda matematikte iki vektörün vektörel çarpımında elde edilen vektörün büyüklüğünü veren bağıntıya özdeştir. O halde NOT:Kitabınızın vektörel çarpma ile ilgili bölümünü inceleyiniz.

TORK VE AÇISAL İVEME Tork ifadesi incelenirse kuvvetin cisim üzerinde bir dönme etkisi oluşturabilmesi için kuvvetin teğetsel bileşeninin olması gerekir. Teğetsel ivme ve açısal ivme arasındaki ilişki de bilindiğine göre bir o ekseni etrafında dönen noktasal bir parçacığa etki eden tork’ un büyüklüğü şeklinde elde edilir. Mr2 noktasal bir parçacığın eylemsizlik momenti olduğuna göre elde edilir. Çizgisel Harekette Tartışılan İŞ, GÜÇ , ENERJİ kavramları burada da aynen geçerlidir.

BİR PARÇACIĞIN AÇISAL MOMENTUMU Noktasal bir parçacığın açısal momentumu, O dönme ekseninden parçacığın bulunduğu noktaya olan konum vektörü ile o andaki momentum vektörünün vektörel çarpımı olarak tanımlanmıştır.