FİZİK

BÖLÜM 1 KUVVET VEKTÖRLER Fizikte nicelikler vektörel ve skaler olmak üzere iki grupta toplanır. Sadece büyüklüğü olan niceliklere skaler nicelikler,hem büyüklüğü hem de yönü olan niceliklere de vektörel nicelikler denir.Örneğin;hız, kuvvet, ivme, momentum vektörel nicelik; zaman, enerji, sıcaklık skaler niceliktir. Bir vektörün yönünü ve büyüklüğünü değiştirmek şartıyla , onu istediğimiz yere taşıyabiliriz. Bitiş noktası Başlangıç noktası A

a)Vektörlerin toplanması: 1)Paralel kenar kuralı: iki vektörü toplarken kullanılır. Vektörlerin başlangıç noktaları bir araya getirilerek, şekil paralel kenara tamamlanır. Köşegen olarak bileşke vektör çizilir. A C B A B 2)Üçgen kuralı: Vektörlerden birinin baçlangıcı diğerinin bitimine getirilir. Sistemin başlangıç noktasından bitim noktasına bileşke vektör çizilir. C B A A B

Örnek: Şekildeki vektörler için A+B+C=D ise D vektörünü çiziniz. 3)ÇOKGEN KURALI: İkiden fazla vektöre uygulanır. Vektörlerin birinin başlangıcı diğerinin bitimine getirilir. Elde edilen sistemin başlangıcında bitimine bileşke vektör çizilir. Örnek: Şekildeki vektörler için A+B+C=D ise D vektörünü çiziniz. ÇÖZÜM: C B C A A B D A C B C D B A

b)Vektörlerin çıkarılması: 1)PARALEL KENAR KURALI:Negatif olan vektörün yönü ters alınarak toplamadaki paralel kenar kuralı uygulanır. 2)ÜÇGEN KURALI: Negatif vektörün yönü ters çevrilerek toplamadaki üçgen kuralı uygulanır. A-B=C C B A A -B A-B=C -B A B C A

İki vektörün bileşkesinin büyüklüğü: iki vektörün bileşkesinin büyüklüğü bulunurken kosinüs teoremi kullanılır. c a  b Burada  a ile b arasındaki açıdır.

BİLEŞKE VEKTÖR İÇİN ÖZEL DURUMLAR:  =0 ise vektörler skaler olarak toplanır. =90 ise Pisagor Teoremi uygulanır, c2=a2+b2  =180 ise vektörler skaler olarak çıkarılır. BAZI AÇILARIN TRİGONOMETRİK DEĞERLERİ: Sin0=cos90=1 Sin30=cos60=1/2 Sin45=cos45= Sin60=cos30= Sin90=cos0=1 900 den büyük değerler (90 ve 180 arası) bulunurken açı 180’den çıkarılır. Sinüs için bu değer pozitif, kosinüs için negatiftir.

Örnek: ÇÖZÜM: C2=52+42+2.5.4.(1/2) C2=25+16+20 C2=61 C= br a=5 br Şekildeki vektörlerin bileşkesi kaç br dir?  =600 b=4 br

Örnek: Çözüm: Şekildeki vektörlerin bileşkesi kaç br dir? C2=a2+b2 c=10 br b=6 br Şekildeki vektörlerin bileşkesi kaç br dir? a=8 br c 6 8

Vektörlerin bileşenlerine ayrılması: İki boyutlu düzlemde bir vektörün iki bileşeni vardır. X ekseni üzerindeki bileşenine x bileşeni, y ekseni üzerindeki bileşenine de y bileşeni diyoruz. +y a ay -x  +x ax=a.cos ax ay=a.sin -y Birkaç vektörden oluşmuş bir vektörel sistemin vektörleri bileşenlerine ayrılarak bileşke vektör bulunabilir. Örneğin gibi iki vektörün toplamı için ax+bx=cx ve ay+by=cy bulunup, cx2+cy2=c2 şeklinde pisagor uygulanır

Örnek: Çözüm: ax=10.0,8=8 ay=10.0,6=6 bx=5.0,6=3 by=-5.0,8=-4 cx=-8 cy=0 dx=8+3-8=3 dy=6-4+0=2 dx2+dy2=d2 d2=32+22 d2=9+4 d2=13 d= +y a=10 br Şekildeki vektörlerin bileşkesi kaç br dir? (sin37=cos53=0,6 Sin53=cos37=0,8 ) c=8 br +x 370 530 b=5 br

KUVVET KAVRAMI VE ÖZELLİKLERİ Duran bir cismi harekete geçiren, hareketli bir cismi durduran, yada hareketli bir cismin hızını değiştiren etkiye kuvvet denir. Kuvvet F ile gösterilir, dinamometre ile ölçülür, SI birim sisteminde birimi Newton (N) dur. Günlük yaşantımızda karşılaştığımız kuvvetler şöyle sıralanabilir: 1-Bir cismin ağırlığı (yerin merkezine doğru olan çekim kuvveti), 2-Gevşeyen ya da gerilen yayda ortaya çıkan geri çağırıcı kuvvet, 3-İki ucundan çekilen bir ipteki gerilme kuvveti, 4-Yüklü cisimlerin etkileşimleriyle ortaya çıkan kuvvetler…vb Günlük yaşamda karşılaştığımız bu kuvvetler dört ana kuvvetten doğar. Bunlar; 1-Kütle çekim, 2-Zayıf nükleer, 3-Elektromanyetik, 4- Güçlü nükleer kuvvetlerdir.

STATİĞİN PRENSİPLERİ VE UYGULAMASI Bir katı cisim üzerindeki aynı noktaya etki eden F1 ve F2 kuvvetleri yerine bunların vektörel bileşkesi (R ) alınabilir. Bileşke kuvvet, cisim üzerine uygulanan kuvvetlerin gösterdiği etkiyi yapan tek kuvvettir. Katı cisme etki eden bütün kuvvetlerin bileşkesi sıfır olursa, cismin dengede olduğu söylenir. Bir cismin aynı noktasına etki eden kuvvetlere de kesişen kuvvetler denir. A)KESİŞEN KUVVETLERİN BİLEŞKESİ: Kesişen iki kuvvetin bileşkesi R2=F12+F22+2.F1.F2.COS dan bulunabilir. İkiden fazla kuvvet için vektörlerin bileşenlere ayrılması yöntemi kullanarak bulunabilir. B)AYNI DOĞRULTULU KUVVETLERİN BİLEŞKESİ: kuvvet vektörleri aynı yönlü ise bileşke R=F1+F2 den, zıt yönlü ise R=F1-F2 den bulunur. F1 F2 R R F2 F1

R bileşke kuvvetin yeri F1.IACI=F2.IBCI bağıntısından bulunur. C)PARALEL KUVVETLERİN BİLEŞKESİ: a)Aynı yönlü paralel iki kuvvetin bileşkesi: R bileşke kuvvetin yeri F1.IACI=F2.IBCI bağıntısından bulunur. b)Paralel ve zıt yönlü iki kuvvetin bileşkesi: A C B F1 F2 R=F1+F2 F2 A C B R=F1-F2 F1 Bileşke kuvvetin yeri kuvvetlerin dışında, büyük kuvvetin tarafında olup, F1.IACI=F2.IBCI bağıntısından bulunur.

ÖRNEK: Büyüklükleri 60 N ve 20 N olan paralel iki kuvvet, uzunluğu iki metre olan bir çubuğun uçlarına uygulanıyor. Bileşke kuvvetin büyüklüğünü ve uygulama noktasının 60 N’luk kuvvetten uzaklığını bulunuz. ÇÖZÜM: x 2-x 20 R=60+20=80 N 60 60.x=20.(2-x) 3x=2-x 3x+x=2 4x=2 x=0,5 m yani 50 cm dir.

KUVVETİN DÖNDÜRME ETKİSİ VE MOMENT Moment, bir kuvvetin döndürme etkisinin bir ölçüsüdür. Momentin büyüklüğü; kuvvetin büyüklüğüne, yönüne ve dönme eksenine uzaklığına bağlıdır. Moment, M=F.d.sin bağıntısıyla verilir. F;kuvvet(N), d dönme noktası ya da eksenine uzaklık (m),  ise F ile d arasındaki açıdır. ÖRNEK: Bir kapının dönme ekseninden 1 m uzaklıktaki koluna uygulanan 40 N’luk yatay bir kuvvet kapı düzlemi ile 530’lik açı yapıyor. Bu kuvvetin momentinin büyüklüğünü ve yönünü bulunuz (sin53=0,8) F d  A 1 m ÇÖZÜM: M=F.d.sin=40.1.0,8=32 N Yönü saat yünüdür. 530 40 N

DENGE ŞARTLARI Bir cisme dengelenmemiş herhangi bir kuvvet etki etmiyorsa, cisim dengededir denir. Cismin dengede olması için durması, sabit hızla doğrusal hareket etmesi yada sabit hızla dönme hareketi yapması gerekir. Eğer cisim durmakta ise statik dengede, sabit hızla dönme ve öteleme hareketi yapıyorsa dinamik dengededir. Burada statik denge işlenecektir. Statik dengenin iki koşulu vardır; 1)Cisme etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfır olmalıdır. Yani;  ve 2)Cisme etki eden kuvvetlerin momentlerinin toplamı sıfır olmalıdır.

A)KESİŞEN KUVVETLERİN DENGESİ: Bir noktaya etki eden üç kuvvet dengede ise , bunlardan ikisinin bileşkesi üçüncü kuvvettin eksi değerine eşit olur. F1 F2    F3 Bu üç kuvvetin dengesi için Lami teoremi (Stevin bağıntısı) de denilen sinüs yasası da kullanılabilir. Bu yasa şöyledir;

ÖRNEK: Yatay bir tavana şekildeki gibi asılan 100 N’luk cisme bağlı iplerdeki T1 ve T2 gerilme kuvvetleri ne olur? (sin37=0,6 sin53=0,8 ) tavan ÇÖZÜM: 530 370 T2 T1 1430 1270 100 N T1=60 N T2=80 N

B)PARALEL KUVVETLERİN DENGESİ: 1)Aynı yönlü paralel iki kuvvetin dengesi: R’ C A B R=R’=F1+F2 F1 F2 C’ye göre moment alınarak, bileşke vektörün yeri bulunabilir. F1IACI=F2IBCI R 2)Zıt yönlü paralel iki kuvvetin dengesi: R’ F2 R=R’=F1-F2 B C A C’ye göre moment alınarak, bileşke vektörün yeri bulunabilir. F1 IACI=F2 IBCI R F1

C)BASİT MAKİNELERDE DENGE: 1)SABİT MAKARADA DENGE: 2)HAREKETLİ MAKARADA DENGE: 3)EĞİK DÜZLEMDE DENGE: T Makara ağırlığı önemsiz ise T=G+F dir. T’ye göre moment alınırsa; F.r=G.r , F=G bulunur. Bu durumda T=2F olur. Makara ağırlığı varsa T=2F+W olur. Burada W makara ağırlığıdır. r r G F Makara ağırlığı önemsiz ise G=T+F dir. G’ye göre moment alınırsa T.r=F.r ‘den T=F bulunur. Buradan da F=G/2 elde edilir. Makara ağırlığı varsa F=(G+W)/2 olur. NOT: “Aynı ipteki gerilme kuvvetleri eşittir.” T F r r G T Eğik düzlemde ipteki T gerilme kuvveti T=F=G.sin dir. F G 

ÖRNEK: Eşit bölmeli ağırlıksız çubuk şekildeki gibi dengededir ÖRNEK: Eşit bölmeli ağırlıksız çubuk şekildeki gibi dengededir. Buna göre ipteki T gerilme kuvveti kaç N dur? ÖRNEK: Makara ağırlıkları 10 N olan şekildeki sürtünmesiz makara sistemi dengededir. Buna göre F kuvveti kaç N’dur? ÇÖZÜM: T’ye göre moment alırsak, 20.3=F.2 60=2F F=30N bulunur. Buna göre T=20+30=50N’dur. T 3m 2m F 20 N ÇÖZÜM: Aynı ipteki gerilme kuvvetleri eşit olduğundan hareketli makaranın sağında ve solundaki kuvvet F’dir. Bu durumda F+F=30+10  2F=40  F=20N’dur F 30N

ÖRNEK:Eşit bölmeli ağırlıksız çubuk şekildeki gibi dengededir ÖRNEK:Eşit bölmeli ağırlıksız çubuk şekildeki gibi dengededir. Buna göre ipteki T gerilme kuvveti kaç N’dur?(sin30=0,5) ÖRNEK: Sürtünmesiz eğik düzlemde 50N ağırlığındaki bir cisim şekildeki gibi dengededir. Buna göre G kuvveti kaç N’dur?(makara ağırlığı ve sürtünmeler önemsiz, sin37=0,6 cos37=0,8) ÇÖZÜM: Duvara göre moment alınırsa; T.sin30.7=30.7+20.3 3,5.T=210+60 3,5.T=270 T=270/3,5 T=77,14 N bulunur. T 300 20N 30N Duvar ÇÖZÜM: Eğik düzlemdeki cismi dengede tutan kuvvet F=50.sin37  F=50.0,6  F=30N’dur. Hareketli makaradan dolayı G=2.F  G=2.30  G=60N ‘dur. 50N G 370

KÜTLE VE AĞIRLIK MERKEZİ 1)KÜTLE VE AĞIRLIK KAVRAMLARI Kütle, bir cismin bulundurduğu madde miktarı ile ilgili büyüklüktür. Bir cismin ağırlığı ise, o cisme etki eden kütle çekim kuvvetidir. Ağırlık G=m.g bağıntısından bulunur. Burada;m kütle, g yerçekimi ivmesidir. Yerin merkezinden uzaklaştıkça g’nin değeri azalır. g’nin değeri yer yüzünde ekvatorda yaklaşık 9,8 N/kg’dır. ancak hesaplarda kolaylık olsun diye bu değeri 10 N/kg olarak alacağız. 2)KÜTLE VE AĞIRLIK MERKEZİ Bir cisim m1, m2….gibi kütlelerin bir araya gelmesinden oluşur. Tüm bu kütlelerin ya da ağırlıkların bileşkelerinin uygulama noktası cismin ağırlık ya da kütle merkezidir. Cisim koordinat sistemine yerleştirilerek kütle merkezinin koordinatları bulunabilir. Bu durumda küçük kütlelerin x veya y eksenlerine göre momentlerinin toplamı kütle merkezinin x veya y eksenine göre kütle merkezlerine eşit olmalıdır.

c)Bazı cisimlerin kütle ve ağırlık merkezi: a)Ağırlık merkezi: b)Kütle merkezi: c)Bazı cisimlerin kütle ve ağırlık merkezi: y y2 G2 ykm G G1 y1 x x1 xkm x2 “yer çekimli ortamlarda kütle merkezi ile ağırlık merkezinin yeri aynıdır.” 2z y x a=4.r/(3.) a 2x z 2y a b r r Dikdörtgen plaka Üçgen plaka Yarım daire levha

Sistemin kütle merkezi olan C’ye göre moment alınırsa; 144.x=36.(8-x) ÖRNEK: Şekildeki gibi yerleştirilmiş dört kütlenin kütle merkezinin koordinatlarını bulunuz. ÖRNEK: Aynı maddeden yapılmış ve aynı kalınlıklı üçgen ve dikdörtgen plaka şekildeki gibi birbirine yapıştırılmıştır. Sistemin kütle merkezi dikdörtgenin kütle merkezinden kaç cm uzaktadır? y ÇÖZÜM: Xkm=[2.5+2.(-4)+1.2]/[2+2+1] Xkm=(10-8+2)/5 =4/5 Ykm=[2.4+2.0+1.(-3)]/[2+2+1] Ykm=(8+0-3)/5 =5/5 =1 2 kg 4 2kg -x x 2 5 -4 -3 1kg -y 12cm 6cm x C 8-x ÇÖZÜM: Sistemin kütle merkezi olan C’ye göre moment alınırsa; 144.x=36.(8-x) 4x=8-x  5x=8 X=8/5 X=1,6 cm bulunur. 6cm A2=36 A1=144 6cm

BÖLÜM 2 HAREKET Mekanik, cisimlerin hareketini, harekete sebep olan etkileri ve cisimlerin denge durumlarını inceler. Mekanik, genellikle kinematik, dinamik ve statik olmak üzere üç alt dala ayrılır. Kısaca ifade edilirse kinematik hareket çeşitlerini, dinamik hareketi değiştiren etkenleri, statik ise cisimlerin denge durumlarını inceler. Bir cismin konumu sabit bir noktaya göre zamanla değişiyorsa cisim hareket ediyor demektir. Hareket, değişik gözlem çerçevelerinden izlendiğinde farklı görülür. Örneğin yere bağlı gözlem çerçevesinde sabit duran cisimler, hareketli bir arabadan bakıldığında zıt yönde hareket ediyorlarmış gibi görülür. Bir cismin hareketi sırasında geçtiği noktaları birleştiren eğriye hareketlinin yörüngesi denir. Cisimlerin yörüngesi doğru, eğri ya da çember gibi çeşitli şekillerde olabilir. Bu bölümde yörüngesi doğru olan hareketler ele alınacaktır.

BİR DOĞRU ÜZERİNDE KONUM VE YER DEĞİŞTİRME Bir doğru üzerinde hareket eden bir parçacığın her hangi bir andaki konumu, seçilen bir başlangıç noktasına uzaklığı ve yönüyle belirtilir. Parçacığın bulunduğu yere o andaki konumu, o başlangıç noktasından parçacığın bulunduğu yere çizilen vektörüne de konum ya da yer değiştirme vektörü denir. Parçacık t2 anında x2 konumuna hareket etmişse, parçacığın konumundaki değişme olur ve buna parçacığın yer değiştirmesi denir. Yer değiştirme vektörüyle gösterilir. x x1 x=x2-x1 x=-1-(+2) x=-3 br x2 +x -x -2 -1 +1 +2

ÖRNEK:Bir adam bulunduğu noktadan 2km batıya daha sonra da 4km doğuya gidiyor. Adam başlangıç noktasından kaç km yer değiştirmiştir? ÇÖZÜM: . x1=2, x2=4, x=x2-x1=4-2=2 km doğudadır. ÖRNEK: Bir kişi, önce 3 km doğuya, sonra 4 km kuzeye yürüyor. Kişi, ilk hareket noktasına göre kaç km yer değiştirmiştir? ÇÖZÜM: (x)2=x12+x22 (x)2=32+42 (x)2=9+16 (x)2=25 x=5 km kuzey x X2=4km X1=3km doğu

HIZ VE SÜRAT HIZ:Birim zamanda yapılan yer değiştirmeye hız denir. Hız vektörel bir niceliktir.SI birim sisteminde birimi m/s dir. SÜRAT:Hız vektörünün büyüklüğüne sürat denir. ÖRNEK:Bir parçacık t1=0 s’de x1=+2 m konumunda, t2=4 s’de x2=-6 m konumuna hareket ediyor. Parçacığın hızı nedir? ÇÖZÜM:

DÜZGÜN HAREKET Bir cisim bir doğru boyunca eşit zaman aralıklarında eşit yer değiştirmeler yapıyorsa, cisim sabit hızlı hareket ediyordur. Bu harekete doğru boyunca sabit hızlı hareket ya da düzgün doğrusal hareket denir. Böyle hareket yapan bir cismin konum-zaman ve hız-zaman grafikleri şöyledir. X(m) Konum zaman grafiğinde doğrunun eğimi hızı verir. tan=x/t =(x2-x1)/(t2-t1) =v 3x 2x x t(s) t 2t 3t V(m/s) Hız zaman grafiğinde doğrunun altındaki alan, yani doğru ile zaman (t) ekseni arasındaki alan yer değiştirmeyi verir. x=v.t v 3t t(s) t 2t

ÖRNEK: Artvin ile Hopa arasındaki mesafe 64 km’dir ÖRNEK: Artvin ile Hopa arasındaki mesafe 64 km’dir. Artvin’den Hopa’ya 70 km/sa ortalama hızla, Hopa’dan Artvin’e 58 km/sa ortalama hızla iki otomobil aynı anda harekete geçiyor. Otomobiller kaç saat sonra karşılaşırlar? ÇÖZÜM: V1=58 V2=70 Hopa K Artvin IHKI+IAKI=IHKI V1.t+V2.t=64 58.t+70.t=64 128.t=64 t=64/128 t=0,5 saat sonra karşılaşırlar.

ORTALAMA HIZ VE ANİ HIZ Eşit zaman aralıklarında farklı yollar alan bir cismin hareketine değişen doğrusal hareket denir. Böyle bir hareketli için ortalama hız ve ani hızdan söz edilir. ORTALAMA HIZ: değişen doğrusal hareket yapan bir cismin birim zamandaki yaptığı yer değiştirme ortalama hız olarak tanımlanır. Böyle bir hareketlinin konum zaman grafiğinde eğrinin belirli zaman aralığındaki eğimi cismin o zaman aralığındaki ortalama hızını verir. ANİ HIZ: hareketli bir cismin herhangi bir andaki hızına da cismin o andaki ani hızı denir. Konum zaman grafiğinde eğrinin her hangi bir andaki eğimi cismin o andaki ani hızını verir. x x t t x A x t t

İVME İVME: Birim zamandaki hız değişimine ivme denir. İvme vektörel bir niceliktir. SI birim sisteminde ivme birimi m/s2 dir. Bir cisim bir doğru boyunca (+x yönünde) hızlanıyorsa ivmesi pozitif, yavaşlıyorsa negatif, sabit hızla gidiyorsa veya duruyorsa ivmesi sıfırdır. Hız vektörünün yönündeki değişme de ivme oluşturur. ÖRNEK: Çember şeklindeki bir yarış pistinde bir otomobil 20 m/s sabit hızla 8 saniyede bir tur atıyor. Otomobil harekete başladığı noktadan 900’lik bir dönüş yaptığında hareketin ivmesinin büyüklüğü kaç m/s2 olur? ÇÖZÜM: V v1 V2=20 v2 t=2 v=v2-v1, (v)2=V12+V22 (V)2=202+202=400+400=800, V=20(2)1/2 a=V/t =20(2)1/2/2=10(2)1/2 m/s2 V1=20

ORTALAMA İVME: bir cismin hızı zamanla düzgün olmayan bir şekilde değişiyorsa bu cismin hareketi için ortalama ivme ve ani ivme kavramları tanımlanır. Böyle bir harekette birim zamandaki hız değişimine ortalama ivme denir. Cismin belirli zaman aralığında ortalama ivmesi hız zaman grafiğinde, eğrinin o aralıktaki eğiminden bulunur. ANİ İVME: Değişen doğrusal harekette, hareketlinin her hangi bir andaki ortalama ivmesine ani ivme denir. Hız zaman grafiğinde her hangi bir zamandaki ani ivme, o anda eğrinin teğetinin eğiminden bulunur. v v t t v v t t

SABİT İVMELİ HAREKET 1)+X EKSENİ YÖNÜNDE DÜZGÜN HIZLANAN YA DA YAVAŞLAYAN HAREKET: a)Düzgün hızlanan: a(m/s2 V(m/s) X(m) x a v0 t(s) t(s) t(s) t t t *hız zaman grafiğinde doğrunun eğimi ivmeyi verir. *hız zaman grafiğinde doğrunun altındaki alan yer değiştirmeyi verir. *ivme zaman grafiğinde doğrunun altındaki alan hız değişimini denir.

b)Düzgün yavaşlayan: “+x yönünde düzgün yavaşlayan harekette ivme negatiftir, bundan dolayı hız ve yol formüllerinde a-a getirilir”. a(m/s2 X(m) V(m/s) v0 x t(s) t v t(s) t(s) -a t t *hız zaman grafiğinde doğrunun eğimi ivmeyi verir. *hız zaman grafiğinde doğrunun altındaki alan yer değiştirmeyi verir. *ivme zaman grafiğinde doğrunun altındaki alan hız değişimini denir.

2)-X YÖNÜNDE DÜZGÜN HIZLANAN VE DÜZGÜN YAVAŞLAYAN HAREKET: a)Düzgün hızlanan: “-x yönünde düzgün hızlanan harekette ivme negatiftir, bundan dolayı hız ve yol formüllerinde a-a getirilir”. X(m) V(m/s) a(m/s2 t t(s) t t(s) t -v0 t(s) -x -a -v *hız zaman grafiğinde doğrunun eğimi ivmeyi verir. *hız zaman grafiğinde doğru ile zaman ekseni arasındaki alan yer değiştirmeyi verir. *ivme zaman grafiğinde doğru ile zaman ekseni arasındaki alan hız değişimini denir.

b)Düzgün yavaşlayan: “-x yönünde düzgün yavaşlayan harekette ivme pozitiftir”. X(m) V(m/s) a(m/s2 t t(s) t t(s) a -v t(s) -x -v0 t *hız zaman grafiğinde doğrunun eğimi ivmeyi verir. *hız zaman grafiğinde doğru ile zaman ekseni arasındaki alan yer değiştirmeyi verir. *ivme zaman grafiğinde doğru ile zaman ekseni arasındaki alan hız değişimini denir.

ÖRNEK: V(m/s) +x ekseni yönünde hareket eden bir cismin hız- zaman grafiği şekildeki gibi olan bir cisim için; a)Her aralıkta ivmeyi bulunuz. 30 20 t(s) 4 8 10 b)İvme-zaman grafiğini çiziniz. c)Cismin 10 saniyede yaptığı yer değiştirmeyi bulunuz. d)t=0 da x=0 alarak konum zaman grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM: a)”hız-zaman grafiğinde doğrunun eğimi ivmeyi verir”. I.aralıkta a=(30-20)/(4-0)=10/4=2,5 m/s2, II.aralıkta a=(30-30)/(8-4)=0/4=0 m/s2, III.aralıkta a=(0-30)/(10-8)=-30/2=-15 m/s2. c)”hız-zaman grafiğinde doğrunun altındaki alan yer değiştirmeyi verir”. XI=[(30-20).(4-0)/2]+[(20-0).(4-0)]=(40/2)+80=100 m, XII=(30-0).(8-4)=120 m, XIII=(30-0).(10-8)/2=60/2=30 m olup Xtoplam=100+120+30=250 m’dir. x(m) 250 b) a(m/s2) d) 220 2,5 t(s) 100 4 8 10 t(s) 4 8 10 -15

ÖRNEK: İlk hızı v0=20 m/s olan bir cismin ivme zaman grafiği yandaki gibidir. a)Cismin 6.saniyedeki hızını bulunuz. b)Cismin 6 saniyede aldığı yolu bulunuz. c)Hız zaman grafiğini çiziniz. a(m/s2) 5 t(s) 4 6 2 -10 ÇÖZÜM: a)”ivme zaman grafiğinde alan hız değişimini verir”. VI=5.2=10m/s v1-20=10 v1=30 m/s, VII=2.0=0 v2-30=0 v2=30 m/s, VIII=-10.2=-20m/s v3-30=-20 v3=10 m/s bulunur. b) x=v0.t+(1/2).a.t2 formülü yardımıyla; x1=20.2+(1/2).5.22=40+10=50 m, x2=30.2=60 m, x3=30.2-(1/2).10.22=60-20=40 m, toplam alınan yol xtop=50+60+40=150 m’dir. NOT: Bu problem hız zaman grafiğinden de çözülebilir. v(m/s) 30 a şıkkındaki sonuçlardan yararlanılmıştır. c) 20 t(s) 2 4 6

ÖRNEK: Aynı anda harekete geçen A ve B cisimlerinin hız zaman grafikleri yandaki gibidir. B hareketlisi kaç saniye sonra A’ya yetişir? B v(m/s) A 20 t(s) 4 ÇÖZÜM: hareketlilerin yakalama sürecinde aldıkları yollar eşittir. X1=X2  V0.t= (1/2).a1.t220.t=(1/2).(20/4).t2  t=(1/8).t2  t=8 saniyede yetişir. ÖRNEK: 72 km/sa sabit hızla giden bir otomobil birden fren yapıyor. Otomobil 10 m/s2 sabit ivmeyle yavaşlayarak duruyor. a)Otomobil kaç saniyede durmuştur?. b)otomobilin en küçük durma uzaklığı kaç metredir? ÇÖZÜM: v0=(72.1000m)/(3600s)=20 m/s a) v=v0-a.t 0=20-10.t t=2 saniyede durur. b) v2=v02-2.a.x  02=202-2.10.x  20.x=400  x=20 m’de durur.

GÖRELİ (BAĞIL) HAREKET Evrendeki bir cismin hareketini, başka bir cisme göre belirleriz. Örneğin bir uçağın hızı üzerinde uçtuğu yer küreye, bir gezegenin hızı da çevresinde döndüğü yıldıza göre belirlenir...vb. İşte bu çeşit hareketlere göreli hareketler denir. Buna göre evrendeki bütün hareketler görelidir diyebiliriz. Hareketli cisimlerin hızları genel olarak yere bağlı gözlem çerçevesine göre ölçülür. Örneğin; A’nın B’ye göre hızı ,B’nin A’ya göre hızı da şeklindedir. Bu sonuçlara göre göreli hız, yere bağlı bir koordinat eksenine bağlı olarak ölçülen hız vektörlerinin farkıdır. BİLEŞKE HIZ Göreli hızlar her zaman bir doğru boyunca olmayabilir. Örneğin doğu yönünde giden bir uçak kuzey yönünde esen bir rüzgara maruz kalırsa, uçak kendi ve rüzgar hızının bileşkesi yönünde hareket eder. Bu durumda uçağın sahip olacağı hıza da bileşke hız adı verilir. Bu durum bir nehirde hareket eden kayık için de geçerlidir.

ÖRNEK: 60km/sa hızla doğuya giden bir otomobildeki yolcu, 80km/sa hızla kuzeye giden bir otomobili hangi yönde ve kaç km/sa hızla gidiyormuş görür? V2=V12+V22 V2=602+802 V2=3600+6400 V2=10000 V=100 km/sa kuzey batıya. K ÇÖZÜM: 80 B D 60 G ÖRNEK: Bir kayık 100m genişliğinde ve akıntı hızı vn=3 m/s olan bir nehri, dik olarak 4 m/s hızla geçmek için harekete geçiyor. a)Kayık kaç sn’de karşıya geçer?. b)Hareket doğrultusundan kaç m uzakta kıyıya çıkar (sürüklenmiş olur)? x K ÇÖZÜM: a) y=vk.t  100=4.t  t=25 saniyede geçer. b) x=vn.t  x=3.25  x=75 m sürüklenir. 3 m/s 100 m 4m/s

BÖLÜM 3 NEWTON’UN HAREKET KANUNLARI 1)NEWTON’UN I.KANUNU: Bir cisme etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfır olursa, cisim ya durur, ya da sabit hızla hareketini sürdürür. Fnet=0 V=0 ya da V=sabit. Bu yasaya eylemsizlik ilkesi de denir. Bir cismin eylemsizliği, cismin durumunu koruma anlamına gelir. 2)NEWTON’UN II.KANUNU: Bir cisme etki eden kuvvetlerin bileşkesi sıfırdan farklı ise cisim ivmeli hareket yapar. Cismin ivmesi; net kuvvet ile doğru, cismin kütlesi ile ters orantılıdır, a=Fnet/m . Bu yasaya dinamiğin temel prensibi de denir. 3)NEWTON’UN III.KANUNU: Bir A cismi B cismine bir kuvvet uygularsa (etki), B cismi de A’ya, eşit ve zıt yönlü bir kuvvet uygular (tepki).

SÜRTÜNMESİZ YÜZEYLERDE HAREKET ÖRNEK:Sabit bir kuvvet m1 kütlesine uygulandığında 4 m/s2’lik , m2 kütlesine uygulandığında 1 m/s2 ivme kazandırıyor. İki kütle birleştirilip aynı kuvvet uygulandığında ivme kaç m/s2 olur? ÇÖZÜM: F=m1.4, F=m2.1  m1=F/4, m2=F/1 dir. F=(m1+m2).a  F=(F/4+F/1).a F=(5F/4).a a=4/5=0,8 m/s2 ÖRNEK: Sürtünmesiz yatay düzlemde durmakta olan 5 kg kütleli bir cisme 20 N’luk yatay bir kuvvet 6 saniye süreyle uygulanıyor. a)Cismin 3. saniyedeki ivmesi nedir? b)7.saniyede cismin hızı nedir? ÇÖZÜM: a) a=F/m  a=20/5=4 m/s2 b) v=a.t  v=4.6=24 m/s , bundan sonra F=0 olduğundan Newton’un I.kanunu gereği 7.saniyede de hız v=24 m/s olur.

ÖRNEK: Sürtünmesiz yatay düzlemde durmakta olan bir cisme F=40 N’luk bir kuvvet şekildeki gibi uygulanıyor. Bu cismin ivmesi kaç m/s2 olur? (sin37=0,6 cos37=0,8 g=10 m/s2) F=40N Fy M=4 kg 370 Fx ÇÖZÜM: Fx=F.cos=40.0,8=32 N, Fy=F.sin=40.0,6=24 N, G=m.g=4.10=40 N , Fy<G  24<40 olduğundan hareket yatay düzlemdedir. Buna göre; a=Fx/m=32/4=8 m/s2 olur. N Sürtünmesiz eğik düzlemde serbest bırakılan bir cisme etkiyen kuvvetleri ve cismin ivmesini bulunuz. (sin30=0,5 ,cos30=(3)1/2/2, g=10m/s2) ÖRNEK: M=2 kg F N’ G 300 ÇÖZÜM: G=m.g=2.10=20N, F=m.g.sin=2.10.0,5=10 N, N=N’=m.g.cos=2.10.(3)1/2/2=10(3)1/2 N. a=g.sin  a=10.0,5 a=5 m/s2.

ÇÖZÜM: a) Bileşik sistemlerin ivmesi a=Fnet/ m bağıntısından bulunur. ÖRNEK: Şekildeki sitem sürtünmesizdir. Buna göre; a)sistemin ivmesi nedir?. b)İpteki gerilme kuvveti nedir? (g=10 m/s2) M2=3 kg T ÇÖZÜM: a) Bileşik sistemlerin ivmesi a=Fnet/ m bağıntısından bulunur. M1=2 kg a=m1.g/(m1+m2) = 2.10/(2+3) = 20/5 =4 m/s2 b) T=m2.a =3.4 =12 N ÖRNEK: Şekildeki sürtünmesiz Atwood aletinde; a)ivme nedir?, b)ipteki T gerilme kuvveti nedir? (g=10 m/s2) ÇÖZÜM:a) a=(m1g-m2g)/(m1+m2)  a=(3.10-2.10)/(3+2)  a=10/5  a=2 m/s2 b) T=2.m1.m2.g /(m1+m2)  T=2.3.2.10/(3+2)  T=120/5  T=24 N T T M1=3 kg M2=2 kg

SÜRTÜNMELİ YÜZEYLERDE HAREKET Sürtünen yüzeyler arasında ortaya çıkan ve hareketi zorlaştıran kuvvete sürtünme kuvveti denir. Yapılan deneyler,sürtünme kuvvetinin sürtünen iki yüzeyin pürüzlülüğünden ortaya çıktığını göstermiştir. Bu kuvvetler, özellikle sürtünen küçük yüzeylerde atom ya da moleküllerin bir birine çok yakın olması ve bunun sonucu bir birlerini moleküller arası kuvvetle etkilemelerinden ortaya çıkar. Sürtünme kuvvetleri, yürüyebilmemiz, koşabilmemiz, kısaca hareket edebilmemiz ya da durabilmemiz için gereklidir. Sürtünme kuvveti statik ve kinetik olmak üzere ikiye ayrılır. Statik sürtünme kuvveti; duran bir cismi, durgun durumdan harekete geçirinceye kadar uygulanan kuvvettir. Statik sürtünme kuvveti maksimum değere ulaştığında hareket başlar. Kinetik sürtünme kuvveti; bir cismi sabit hızda harekette tutan kuvvettir. Bu kuvvete kayma sürtünme kuvveti de denir. Maksimum statik sürtünme kuvveti kinetik sürtünme kuvvetinden azıcık daha büyüktür.

SÜRTÜNME KANUNLARI 1)Sürtünme kuvveti, sürtünen yüzeyin alanına bağlı değildir. 2)Sürtünme kuvveti, sürtünen yüzeylere dik olan tepki kuvvetiyle doğru orantılıdır. 3)Sürtünme kuvveti, sürtünen yüzeylerin cinsine ve durumuna (ıslak, kuru, yağlı…) bağlıdır. 4)Kinetik sürtünme kuvveti cismin hızından bağımsızdır. 5)Sürtünme kuvveti, daima harekete zıt yöndedir. SÜRTÜNME KUVVETİ N Fuy Fs Burada k, sürtünme katsayısıdır. N, normal kuvvettir. Yatay düzlemde N=m.g, eğik düzlemde ise N=m.g.cos dır. N’=m.g

ÖRNEK: Kinetik sürtünme katsayısı 0,2 olan yatay düzlemde durmakta olan cisme Fu=28 N’luk bir kuvvet uygulanıyor. Cisim bu kuvvetin etkisiyle 10 m yol aldığına göre; cismin ivmesini ve 10.saniyedeki hızını bulunuz. ( g=10 m/s2) M=4kg Fu kk =0,2 10m ÇÖZÜM: Sürtünme kuvveti Fk=kk.m.g=0,2.4.10=8 N , net kuvvet ise Fnet=Fu-Fk=28-8=20 N olur. bu durumda cismin ivmesi a=Fnet/m =20/4=5 m/s2 bulunur. 10.m’de cismin hızı v2=v02+2.a.x bağıntısından, v2=02+2.5.10  v2=100  v=10 m/s olarak bulunur. ÖRNEK: 2 kg Bir tahta blok şekildeki eğik düzlemin en üst noktasından serbest bırakılıyor. a)cismin ivmesi nedir? b)cismin yatay düzleme inme süresi kaç saniyedir? (g=10 m/s2, sin37=0,6 cos37=0,8 ) Çözüm diğer sayfada (say 52 de) 3 m k=0,5 370

a=[0,6-(0,5.0,8)].10= (0,6-0,4).10=0,2.10=2 m/s2bulunur. ÇÖZÜM: a) a=[0,6-(0,5.0,8)].10= (0,6-0,4).10=0,2.10=2 m/s2bulunur. b)Cismin hareketi sabit ivmelidir. Cisim alacağı yol x=3/sin37 =3/0,6=5 m dir. x=(1/2).a.t2 formülünden; 5=(1/2).2.t2  t2=5  t=(5)1/2 saniyedir. ÖRNEK: Şekildeki sistem serbest bırakılırsa; a)sistemin ivmesi ne olur?, b)ipteki gerilme kuvveti ne olur? (g=10m/s2) 3 kg T k=0,5 ÇÖZÜM:a) a=Fnet/m a=(m1.g-k.m2.g)/(m1+m2) a=(2.10-0,5.3.10)/(2+3) a=(20-15)/5=1 m/s2 b) T=m2a+km2g T=3.1+0,5.3.10 =18 N bulunur.. 2 kg

ÇÖZÜM: Fx=F.cos=40.0,8=32 N, Fy=F.sin=40.0,6=24 N ÖRNEK: Yatay düzlemde durmakta olan bir cisme şekildeki gibi 40 n’luk bir kuvvet uygulanıyor. Cismin ivmesi ne olur? (sin37=0,6 cos37=0,8 g=10 m/s2 ) 40 N 4 kg 370 k=0,5 ÇÖZÜM: Fx=F.cos=40.0,8=32 N, Fy=F.sin=40.0,6=24 N N=m.g-Fy=4.10-24=40-24=16 N, Fsür=k.N=0,5.16=8 N a=Fnet/m =(Fx-Fsür)/m=(32-8)/4=24/4=6 m/s2 dir. ÖRNEK: 4 kg Sürtünmeli eğik düzlemde serbest bırakılan bir cisim sabit hızla hareket ediyor. Cisimle eğik düzlem arasındaki sürtünme katsayısı nedir? (sin37=0,6 cos37=0,8) 370 ÇÖZÜM: cisim sabit hızla hareket ettiğine göre Fnet=0 dır. Bu durumda F=Fsür dir. Buradan da m.g.sin =k.m.g.cos  k=sin/cos  k=0,6/0,8  k=3/4 bulunur.

SERBEST DÜŞME HAREKETİ BÖLÜM 4 YERYÜZÜNDE HAREKET SERBEST DÜŞME HAREKETİ 1)ATMOSFERDE SERBEST DÜŞME VE LİMİT HIZ: Yoğun, düzgün ve aerodinamik cisimler, hava içinde giderken ortamda bulunan hava moleküllerini fazla etkilemeden kolayca hareket eder. Yalnız, hareketleri esnasında cismin ön tarafındaki hava sıkışırken arka tarafındaki hava genişler. Bu nedenle cismin ön tarafında basınç artarken arka tarafında azalır. Ortaya çıkan bu basınç farkı, cismin hareketine zıt yönde bir kuvvet oluşturur. Bu kuvvete direnç kuvveti denir. Havanın direnç kuvveti, cismin biçimine, kesitine (A), havanın öz kütlesine ve cismin hızına bağlıdır. Havanın direnç kuvveti; küçük hızlar için hızla, 0,5 m/s ve 50 m/s arasındaki hızlar için hızın karesiyle, çok büyük hızlar için ise hızın daha büyük üsleriyle orantılıdır.

Buna göre havanın direnç kuvveti Fd=K. A. V2 dir Buna göre havanın direnç kuvveti Fd=K.A.V2 dir. Burada K orantı katsayısının birimi kg/m3 olup küre için 1/2, düzlem için 0,85, paraşüt için 1,63 dür. A ise cismin hareket doğrultusuna dik en büyük kesit alandır. Fd Fd Fd=G olduğunda hız sabitleşir. Bundan sonra cisim bu hızla hareket eder. Bu hıza limit hız denir. G G G=Fd paraşüt G>Fd

ÖRNEK: yeryüzünde 2 km yükseklikteki buluttan düşen yağmur damlalarını göz önüne alınız; a) hava direnci önemsiz ise yağmur damlalarını yere çarpma hızı nedir?, b)hava direnci önemli ise yarıçapı r=0,2 cm olan yağmur damlalarının limit hızı nedir?, sonuçları karşılaştırınız. (K=0,25 kg/m3, d=103 kg/m3 ve g=10 m/s2 alınız) ÇÖZÜM: v2=2.g.y  v2=2.10.2000  v2=4.104  v=200 m/s bulunur. b) m=(4/3)..r3.d ve A=.r2 v>vlim olduğundan yere yağmur damlaları yaklaşık 20 kat daha yavaş düşer ve canlılara zarar vermez.

2)HAVASIZ ORTAMDA SERBEST DÜŞME: Yer yüzünde atılan veya serbest bırakılan cisimler yer çekimi ivmesiyle hareket ederler(hava sürtünmesi önemsiz ise). Serbest bırakılan bir cisme etkiyen kuvvetler F=G şeklinde olup, buradan da ma=mg a=g bulunur. Bunun formülleri sabit ivmeli hareket formüllerinde v0=0 ve a=g alınarak belirlenir. Serbest düşmede cisim hızlandığı için ivme pozitiftir. V t y t

ÖRNEK: Bir taş 20 m yükseklikten serbest bırakılıyor. a)Taş kaç saniye sonra yere düşer? b)Taşın yere çarpma hızı ne olur? c)1saniye sonra taşın yerden yüksekliği kaç metre olur? (sürtünme yok, g=10 m/s2 ) ÇÖZÜM: a)   taş V0=0 t2=4  t= 2 saniye b) v2=2.g.y  v2=2.10.20  v2=400  v=20 m/s. 20 m c)   y= 5 m h=20-5=15 m yüksekte olur. yer

1)YUKARIDAN AŞAĞIYA DÜŞEY ATIŞ HAREKETİ: Yukarıdan aşağıya düşey atışta hareket düzgün hızlanan olduğundan ivme a=g’dir. Bu hareketin hız, yer değiştirme ve zamansız hız formülleri şöyledir: v0 y ÖRNEK: Bir cisim 20 m yükseklikten düşey aşağıya doğru 5 m/s hızla atılıyor. a)Cismin yere çarpma hızı nedir? b)Cismin yere düşme süresi nedir? ÇÖZÜM: a) v2=v02+2.g.h  v2=52+2.10.20  v2=25+200  v2=225  v=15 m/s b) v=v0+g.t  15=5+10.t  10=10.t  t=1 saniye.

2)AŞAĞIDAN YUKARIYA DÜŞEY ATIŞ: Cismin her hangi bir andaki hızı, yer değiştirmesi aşağıdaki formüllerle belirlenebilir. V=0 v ymax v0 yer Maksimum yüksekliğe çıkış süresi ve maksimum yükseklik mesafesi ise;   Şeklindedir.

ÇÖZÜM: a) tçık=v0/g = 60/10 =6 saniye tuçuş=2.tçık =2.6 =12 saniyedir. ÖRNEK: 60 m/s’lik ilk hızla aşağıdan yukarıya doğru atılan bir taşın; a)çıkış ve uçuş süresini, b)2 saniye sonra hızını ve yerden yüksekliğini, c)maksimum çıkış yüksekliğini bulunuz. d)hız zaman ve konum zaman grafiğini çiziniz. (g=10 m/s2) ÇÖZÜM: a) tçık=v0/g = 60/10 =6 saniye tuçuş=2.tçık =2.6 =12 saniyedir. b) v=v0-g.t = 60-10.2 =60-20 =40 m/s y=v0.t-(1/2).g.t2 =60.2-(1/2).10.22 = 120-20 =100 m’dir. c) ymax=(v02)/(2.g) =602/(2.10) =3600/20 = 180 m’dir. d) y(m) V(m/s) v0 ymax tç tu t(s) t(s) -v0 tç tu

YATAY ATIŞ HAREKETİ Yüksek bir yerden yatay doğrultuda v0 ilk hızıyla atılan bir cismin yaptığı harekete yatay atış denir. Yatay doğrultuda cisme etki eden her hangi bir kuvvet olmadığından (hava sürtünmesi önemsiz) v0hızı değişmez. Cisim yatay doğrultuda sabit hızlı hareket yapar. Cisim düşey doğrultuda ağırlığının etkisi ile serbest düşme hareketi yapar. İşte yatay atış bu iki hareketin bileşkesidir. v0 y Her hangi bir andaki hız x Yörünge denklemi

b) vx=v0=150 m/s, vy=g.t=10.4=40 m/s ÖRNEK: Yerden 1125 m yüksekte 150 m/s hızla yatay olarak uçmakta olan bir savaş uçağı, düşey doğrultusundan hedefe 2200 m kala bir bomba bırakıyor. a)Bomba kaç saniyede yere düşer?, b)4 saniye sonra hızı nedir?, c)bombanın hedefe isabeti nasıldır?, d)bombanın konum zaman grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM: a) y=(1/2).g.t2 1125=(1/2).10.t2 1125=5.t2 t2=225  t=15 saniye b) vx=v0=150 m/s, vy=g.t=10.4=40 m/s v2=vx2+vy2 v2=1502+402 v2=22500+1600 v2=24100  v=155,24 m/s c) x=v0.t=150.15=2250 m, x=2250-2200= 50 m ıskalar. V0=150 1125 m d) x y t t

EĞİK ATIŞ HAREKTİ V0x=v0.cos V0y=v0.sin Vx=v0x=v0.cos Yatayla  açısı yapacak şekilde v0 ilk hızıyla atılan bir cismin hareketine eğik atış hareketi denir. Bu atış hareketinde cisme sadece yer çekimi kuvveti etki eder. Bu kuvvetin yatay bileşeni sıfır olduğundan cismin hızının yatay bileşeni sabit olur. Cisim, düşey doğrultuda uygulanan ağırlığının etkisiyle hızının düşey bileşeni her saniye g kadar azalarak yörüngenin tepe noktasında sıfır olur. Bu noktadan sonra düşey hız g kadar artarak yere düşünceye kadar devam eder. y V0x=v0.cos V0y=v0.sin v vy vx Vx=v0x=v0.cos Vy=v0y-g.t =v0.sin-g.t V2=vx2+vy2 v0 v0y hmax  x v0x xmax

Eğik atış hareketinde x ve y koordinatları ; Tepe noktasına çıkış süresi ve uçuş süresi; Maksimum yüksekliği ve menzil uzaklığı; Yörünge denklemi;

ÖRNEK: Bir cisim yerden yatayla 530 açı yapacak şekilde 40 m/s hızla eğik atılıyor. a)Cismin 2 saniye sonra hızı ne olur?, b)Cisim kaç saniye sonra yere düşer?, c)Cismin çıkabileceği maksimum yükseklik kaç metredir?, d)Menzil uzaklığı kaç metredir?, e)hareketin yörünge denklemi nedir? (g=10 m/s2, sin53=0,8 cos53=0,6 ) ÇÖZÜM: a) vx=v0.cos=40.0,6=24 m/s, vy=v0cos-g.t=40.0,8-10.2= 12 m/s v2=242+122=576+144=720 v=26,83 m/s b) tuçuş=(2.v0.sin)/g =(2.40.0,8)/10 =64/10=6,4 saniye c) hmax=(v02.sin2)/(2.g)= [402.(0,8)2]/(2.10)= [1600.0,64]/20 = 1024/20= 51,2 metre d) xmax=(v02.2.sin.cos)/g= [402.2.0,8.0,6]/10= [1600.0,96]/10= 1536/10=153,6 metre e) y=(tan).x-[g/(2.v02.cos2)].x2  y=(0,8/0,6).x-[10/(2.402.(0,6)2)].x2  y=(4/3).x-(0,0087).x2

DÖNME HAREKETİ, YÖRÜNGESİ ÇEMBER OLAN HAREKET Bir otomobil hareket ederken otomobilin tekerleği hem dönme hem de öteleme hareketi yapar. Yine dünyanın hem kendi hem de güneş çevresinde hareketi böyledir. Bir cisme hareket doğrultusuna dik ve sabit büyüklükte tek bir kuvvet etki ederse, bu cismin yörüngeye teğet hızının büyüklüğü değişmez. Hız vektörünün doğrultusu eşit zaman aralıklarında eşit miktarda değişir ve hareketin yörüngesi bir çember olur. Cismin hız vektörüne dik olan bu kuvvete merkezcil kuvvet, bu harekete de düzgün dairesel hareket denir. V F CİSİM R

YÖRÜNGESİ ÇEMBER OLAN HAREKET Düzgün dairesel hareket yapan bir cismin yörüngesinde bir devir yapması için geçen süreye periyot (T), bir saniyedeki dönme sayısına da frekans (f) denir. SI birim siteminde periyot birimi saniye, frekans birimi s-1 ya da hertz (Hz)dir. Periyot ile frekans arasında f=1/T ya da T=1/f bağıntısı vardır. Çizgisel hız; Açısal hız; Merkezcil ivme ve merkezcil kuvvet;

YATAY DÜZLEMDE DAİRESEL HAREKET Sürtünmesiz yatay bir masa üzerinde ipe bağlı bir cisim döndürüldüğünde, cismi dairesel yörüngede tutan ip gerilmesi, merkezcil ya da merkezkaç kuvvete eşit olur. cismin ağırlığı ise masanın tepki kuvvetiyle dengelenir. Fm=m.a=(m.v2)/R, burada R ipin uzunluğu veya yörünge yarıçapıdır. VİRAJLARI DÖNEN ARAÇLARA ETKİYEN KUVVETLER Yatay virajı güvenli dönebilmesi için; Yatay viraj Fs R Fm V olmalıdır. Eğimli viraj N Eğimli virajı güvenli dönebilmesi için; Fm v   G  olmalıdır. Önden görünüş

ÇÖZÜM: a) T=4.2=8 saniye, f=1/T =1/8 s-1 dir. ÖRNEK: Bir cisim, yarıçapı R=2 m olan bir dairenin çevresinde sabit hızla hareket etmektedir. Cisim A noktasından B noktasına 2 saniyede geldiğine göre; a)cismin periyodunu ve frekansını, b)çizgisel hızını, c)açısal hızını, d)merkezcil ivmesini, e)A’dan B’ye gelmesi sırasında hız değişimini bulunuz. (=3) v v B R C O A D ÇÖZÜM: a) T=4.2=8 saniye, f=1/T =1/8 s-1 dir. b) v=(2..R)/T =(2.3.2)/8=12/8 =1,5 m/s dir. c) v=w.R  w=v/R =(3/2)/2 =3/4 rad/s dir. d) a=v2/R = (3/2)2/2 =9/8 m/s2 dir. e) (v)2 =v2+v2=2v2  v=v.(2)1/2=(3/2).(2)1/2 m/s dir.

ÖRNEK: Bir yarış otomobili yarıçapı yaklaşık 100 m olan yatay bir virajı maksimum hızla dönecektir. Otomobilin lastikleri ile yol arasındaki sürtünme katsayısı 0,9 olduğuna göre, otomobil bu virajı en fazla kaç m/s hızla güvenli dönebilir? (g=10 m/s2) ÇÖZÜM: v2= k.g.R  v2=0,9.10.100  v2=900  v=30 m/s. ÖRNEK: Eğim açısı 370 , yarıçapı 80 m olan sürtünmesiz bir virajı bir otomobil en fazla kaç m/s hızla güvenli bir şekilde dönebilir?. Bu viraj yatay olsaydı, otomobilin yine aynı hızla dönebilmesi için sürtünme katsayısı en az kaç olmalıdır? (tan37= 3/4 ,g=10 m/s2 ) ÇÖZÜM: tan= v2/(R.g)  v2=R.g.tan v2=80.10.3/4  v2=600 v=10.(6)1/2 m/s k.R.g=R.g.tan  k=tan  k=3/4 olmalıdır.

DÜŞEY DÜZLEMDE DAİRESEL HAREKET Fm Düşey düzlemde bir ipe bağlı cisim saat ibresinin tersi yönünde döndürüldüğünde ipteki gerilme kuvvetleri; V Fm B D G V  Gx TB Gy TD G TA Fm A G TC C V Fm G

ÖRNEK: Bir çocuk 50 cm uzunluğunda bir ipe 400 g’lık bir taşı bağlayarak düşey düzlemde 10 m/s sabit hızla döndürmektedir . a)taş en üst noktada iken ipteki gerilme kuvvetini, b) ip yere paralel iken ipteki gerilme kuvvetini, c) ipteki maksimum gerilme kuvvetini, d)taş en üst noktada iken ip koparsa taşın düşebileceği en fazla uzaklığı bulunuz. ( daire merkezinin yerden uzaklığı 1 m, g=10 m/s2 ) ÇÖZÜM: a) T=m.v2/R –m.g =(0,4.102/0,5)-(0,4.10)=80-4=76 N b) T=m.v2/R =0,4.102/0,5 =40/0,5=80 N c) T=m.v2/R +m.g =(0,4.102/0,5)+(0,4.10)=80+4=84 N d) en üst noktada ip koparsa taş yatay atış hareketi yapar. Y= (1/2).g.t2  1=(1/2).10.t2  t2=1/5 saniye, x=v.t  x=10.(1/5)1/2  x=2(5)1/2 metre uzağa düşer.

KEPLER KANUNLARI VE NEWTON’UN GENEL ÇEKİM KANUNU 1)Yörüngeler kanunu: Bütün gezegenler odaklarından birinde güneş bulunan elips şeklinde yörüngelerde dolanırlar. 2) Alanlar kanunu: Bir gezegeni güneşe birleştiren konum vektörü, eşit zaman aralıklarında eşit alanlar tarar. 3) Periyotlar kanunu: Bir gezegenin yörüngesinin ortalama yarıçap uzunluğunun küpü (R3), gezegenin periyodunun karesi (T2) ile orantılıdır. Yani; R3=K.T2 dir. Buradaki K=3,35.1018 m3/s2 dir. A gezegen B’ güneş t t B A’

ÖRNEK: Satürn gezegeninin güneşten uzaklığı dünyanın güneşten uzaklığının yaklaşık 10 katıdır. Dünyanın güneş çevresinde periyodu bir yıl olduğuna göre Satürn’ün periyodu kaç yıldır? ÇÖZÜM: yıl

NEWTON’UN GENEL ÇEKİM KANUNU Kepler kanunları, gezegenlerle ilgili önemli gelişmeler sağlamasına rağmen, gezegenlerin yörüngelerinde nasıl kaldığını açıklayamamıştır. Newton, gezegenlerin ve diğer gök cisimlerinin hareketlerini açıklayabilmek için genel çekim yasası denilen önemli bir yasa bulmuştur (1666). Bu yasada ortaya çıkan kütleler arası çekim kuvvetinin evrendeki bütün maddeler için geçerli olduğu kabul edilmiştir. Buna göre; gök ve yeryüzündeki hareketler aynı yasaya bağlıdır. Yasa şöyledir: “ Herhangi iki cisim, birbirlerini kütleleriyle doğru, aralarındaki uzaklığın karesi ile ters orantılı olarak birbirlerini çeker.” Burada G=6,67.10-11 N.m2/kg2 evrensel çekim sabiti, m1 ve m2 cisimlerin kütleleri, R cisimlerin merkezleri arasındaki uzaklıktır. G’nin değeri ilk defa 1789’da ingiliz fizikçi Cavendish tarafından burulma terazisi yöntemiyle ölçülmüştür.

ÖRNEK: Bir cismin ağırlığı Dünya yüzeyinden kaç km yükseklikte 4 kat azalır?. Bu yüksekliğe bir uydu yerleştirilirse, uydunun çizgisel hızı kaç m/s olur? ( dünyanın yarıçapı R=6400 km) ÇÖZÜM: Bu iki eşitlik birbirine oranlanırsa;   h=R=6400 km bulunur. Uydunun hızı ise;  olarak bulunur.

BASİT HARMONİK HAREKET Doğada titreşim hareketi yapan pek çok sistem vardır. Örneğin; bir katıdaki moleküller denge konumları etrafında titreşir. Elektromanyetik dalgalar, alternatif akım devrelerinde ortaya çıkan gerilim, akım ve elektrik yükü gibi nicelikler zamanla periyodik olarak değişir. Çember üzerindeki hareketli noktanın, çap üzerindeki izdüşümünün hareketi: R yarıçaplı bir çember üzerinde sabit v hızıyla hareket eden bir cismin hareketini inceleyelim. v vy =w.t  vx=v.sinwt vy=v.coswt x=R.coswt ve y=R.sinwt F=m.a=m.w2.R  Fx=m.ax= mw2x ve Fy=m.ay=m.w2.y vx y R  o x Denge konumuna geri çağırıcı kuvvetlerin etkisiyle yapılan harekete basit harmonik hareket denir.

SARIMLI BİR YAYIN BASİT HARMONİK HAREKETİ Yayın ucuna m kütleli cisim asıldığında yaydaki uzama miktarı F=G  -kxd=-mg xd=m.g/k olarak bulunur. Burada k yay sabitidir (N/m). Yay ucunda dengedeki cisim x kadar çekilip serbest bırakılırsa cisim +x ve –x aralığında basit harmonik hareket yapar. Hareketin periyodu ; XD -X +X FG G bağıntısından olarak bulunur. Sarımlı yaylar bir birine seri ve paralel bağlanabilirler. Bu durumda yay sisteminin yay sabiti değişir. Seride; x=x1+x2 den Paralelde; F=F1+F2 den k=k1+k2 bulunur.

BASİT SARKAÇ L uzunluğunda ağırlıksız bir ipin ucuna asılmış küçük kütleden oluşmuş sisteme basit sarkaç diyoruz.  L x  F N G=mg Sarkacın periyodu olarak bulunur.

ÇÖZÜM: a) m.g=k.x  k=m.g/x k=2.10/0,04 k=500 N/m ÖRNEK: Üst ucundan bir yere tutturulmuş bir sarmal yayın alt ucuna 2 kg’lık kütle asıldığında yay, denge konumundan itibaren 4 cm uzuyor. a)yay sabitini bulunuz. b)aynı yayın alt ucuna 5 kg’lık kütle asılıp basit harmonik hareket yaptırılırsa yayın periyodu ne olur? (g=10 m/s2, =3 ) ÇÖZÜM: a) m.g=k.x  k=m.g/x k=2.10/0,04 k=500 N/m b) T=2(m/k)1/2  T=2.3(5/500)1/2  T=6.(1/100)1/2 T=6/10  T=0,6 saniye. ÖRNEK: Şekildeki yay sistemine basit harmonik hareket yaptırılırsa hareketin periyodu ne olur? (=3) 200 N/m 400 N/m ÇÖZÜM: k’=k1+k2 k’=200+400 k’=600 N/m 1/k=1/k3+1/k’ k=k3.k’/(k3+k’)  k=300.600/(300+600)  k=200 N/m  T=2(m/k)1/2=2.3.(2/200)1/2=6.(1/100)1/2 =0,6 saniye 300 N/m 2 kg

ÖRNEK: Boyu 250 cm olan bir basit sarkacın; a)Periyodu kaç saniyedir ÖRNEK: Boyu 250 cm olan bir basit sarkacın; a)Periyodu kaç saniyedir? (g=10 m/s2), b)Bu sarkaç Aya’a götürülürse Ay’daki periyodu ne olur? ( ga=5/3 m/s2 ,=3) ÇÖZÜM: a) T=2(L/g)1/2=2.3.(2,5/10)1/2=6.(25/100)1/2=6.(5/10)=3 saniye. b)T=2(L/ga)=2.3.[2,5/(5/3)]1/2=6.[1,5]1/2=7,34 saniye ÖRNEK: Çekim alanının g olduğu bir yerde bulunan L boyundaki bir sarkacın periyodu T dir. Çekim alanının g/2 olduğu bir yerde boyu 2L olan bir sarkacın periyodu kaç T olur? ÇÖZÜM: T= 2(L/g)1/2 T’=2[2L/(g/2)]1/2=2(4L/g)1/2 T’/T =[2(4L/g)1/2]/[2(L/g)1/2] T’/T =(4)1/2 T’=2T

BÖLÜM 5 İMPULS VE MOMENTUM İMPULS (İTME) Dinamiğin temel prensibi F=m.a=m.v/t şeklindedir. Bu bağıntıdan F.t=m.v bulunur. Burada denklemin sol tarafı impuls (itme), sağ tarafı ise momentum değişimidir. Yani itme; bir cisme t süresince bir F kuvvetinin uygulanmasıdır. İmpuls vektörel bir niceliktir ve SI birim sisteminde birimi N.s’dir. Kuvvet zaman grafiğinde doğrunun altındaki alan toplam itmeyi verir. F Kuvvet zaman grafiği şekildeki gibi olan hareketlinin toplam itmesi; F.t=F1.t1-(1/2).F2.t2 şekildedir. F1 t t1 t2 F2

MOMENTUM (LİNEER MOMENTUM) Bir cismin kütlesiyle hızının çarpımına lineer momentum ya da momentum denir. P=m.v şeklindedir. momentum vektörel bir nicelik olup, birimi kg.m/s’dir. Newton’un II.yasasına göre F=P/t dir. Buradan F.t=P=m.v ifadesi bulunur. Bu momentum ile impuls arasındaki bağıntıyı ifade eder. ÖRNEK: Durmakta olan 4 kg kütleli bir cismin kuvvet zaman grafiği şekildeki gibidir. Cismin 30.saniyedeki hızını bulunuz. F(N) +20 t(s) 10 20 30 -10 ÇÖZÜM: doğrunun altındaki toplam alan toplam itmeyi verir. F.t= (10.20)/2 + 10.20 – (10.10)/2 =100+200-50=250 N.s F.t=m.v  250=4.(v-0)  250=4.v  v=62,5 m/s dir.

İKİ CİSMİN ÇARPIŞMASINDA MOMENTUM DEĞİŞMELERİ Hareketli cisimler birbirlerini belli uzaklıktan sonra etkileme ye başlar, buna çarpışma denir. Bir A parçacığı B parçacığına çarptığında FAB.t =-FBA.t olur. Buradan da A’nın momentumundaki değişim, B cisminin momentumundaki değişime eşit ve zıt yönlüdür, PA =-PB . MOMENTUM KORUNUMU Bir çarpışmada momentumların değişimleri toplamı sıfır olur. Yani, herhangi bir çarpışma olayında, sistemin çarpışmadan hemen önceki momentumu, çarpışmadan hemen sonraki momentumuna eşit olur. Buna momentumun korunumu yasası denir.

1)HAREKETLİ BİR CİSİMLE DURAN BİR CİSMİN MERKEZİ ÇARPIŞMASI: Esnek çarpışmalarda hem momentum, hem de kinetik enerji korunur. v1 V2=0 m1>m2 m1 m2 Her ikisi de aynı yönde hareket eder. V2=0 m1<m2 v1 m1 I.geriye II.ileriye hareket der. m2 m1=m2 v1 V2=0 I. Durur, II. I.’nin hızıyla aynı yönde hareket eder. m1 m2

Kenetlenen cisimlerin ortak hızıdır. Bir doğru üzerinde esnek çarpışmada, çarpışmadan sonraki hızlar, momentum ve kinetik enerji korunumu ile; şeklinde bulunur. HAREKETLİ BİR CİSİMLE DURAN BİR CİSMİN MERKEZİ ÇARPIŞMA SONUNDA KENETLENEREK HAREKET ETMESİ: V2=0 V1 vort m1+m2 Kenetlenen cisimlerin ortak hızıdır.

HAREKETLİ BİR CİSİMLE DURAN BİR CİSMİN MERKEZİ OLMAYAN ÇARPIŞMASI: V’2 V1 V2=0 P’2  X M2 M1 p1 V’1 P’1 Bu durumda momentum korunumu, P1=P’1+P’2 vektörel toplamından, bileşenler şeklinde yazılabilir. P1┴P’1 den P’22=P21+P’21 bulunur.

ÖRNEK: Kütlesi 3m ve hızı 2v olan bir cisimle, kütlesi 2m olan duran bir cisim merkezi ve esnek olarak çarpışıyor. Cisimlerin çarpışmadan sonraki hızları nedir? ÇÖZÜM: v’1=(3m-2m)2v/(3m+2m)= 2mv/5m =2v/5 v’2=2.3m.2v/(3m+2m)= 12mv/5m = 12v/5 ÖRNEK: Kütlesi m ve hızı v olan bir bilye ile, kütlesi 2m olan duran bir bilye merkezi olarak çarpışıp kenetleniyor. Çarpışmadan sonraki ortak hız nedir? ÇÖZÜM: vort=m1v1/(m1+m2)= mv/(m+2m)= mv/3m= v/3 ÖRNEK: 4m kütleli bir top dururken patlayarak üç parçaya ayrılıyor. M kütleli parça +x yönünde 30 m/s hızla, diğer m kütleli parça ise +y yönünde 40 m/s hızla hareket ediyor. Üçüncü parçanın hızı ve yönü ne olur? ÇÖZÜM: çarpışma sonrası p21+p22=P23 (m.30)2+(m.40)2=(2mv)2 900+1600=4v2 2500=4v2  2v=50 v=25 m/s dir. yönü ise tan=v2/v1=40/30=4/3  =530 (-x ekseniyle).

ROKETLER Otomobil, gemi ve uçak gibi her hangi bir aracın hareketi, oluşturulan tepki kuvvetlerine bağlıdır. Bu araçların motorları, aracın çevresinde bulunan yol, su ve hava gibi ortamları geriye doğru iten etki kuvvetleri oluşturur. Çevrenin de araçlar üzerinde oluşturduğu tepki kuvvetleri, araçları ileriye doğru iterek hareket etmelerini sağlar. Boşluktaki uzay araçlarının hareketi daha güçtür, çünkü uzay aracını iten maddesel bir ortam yoktur. Bu nedenle uzay aracı, kendisini iten ortamı kendisi oluşturmak zorundadır. Bu nedenle bir roket motorunda yanan yakıt, hızla roketin arka kısmından dışarı atılır. Yani roket gazı iter ve gazın tepki kuvveti de ileriye doğru hareket ettirir. Bu durum momentum korunumundan hız;  bulunur. itme kuvveti ise şeklindedir.

BÖLÜM-6 ENERJİ Enerji, basit bir kavram olmayıp tanımlanması oldukça güçtür. Ancak etkileri göz önüne alınarak enerji, iş yapabilme yeteneği olarak tanımlanır. Enerji çok değişik biçimlerde bulunur. başlıca enerji çeşitleri; mekanik enerji, kinetik enerji, potansiyel enerji, kimyasal enerji, ısı enerjisi, elektromanyetik enerji, nükleer enerji …vb olarak sıralanır. Enerji bir biçimden diğerine dönüşür ve bu dönüşümde toplam enerji sabit kalır. Bu enerjinin korunumu yasasıdır. Bu yasa bütün evrende geçerlidir. Enerjinin dönüşümü fizik, kimya, biyoloji, jeoloji, astronomi gibi temel bilimlerle mühendislik çalışmalarının esasını oluşturur.

İŞ-GÜÇ Sabit bir F kuvveti bir cisme A noktasından B’ye x kadar yer değiştirtmişse yaptığı iş, kuvvetin büyüklüğü ile yer değiştirmenin çarpımına eşittir. Yani; W=F.x dir. F x B A Kuvvet vektörü ile yer değiştirme vektörü arasında bir  açısı varsa, bu durumda iş; W=F.x.cos şeklindedir. F Enerjinin birimi joule ya da erg’dir.  x “Kuvvet-yer değiştirme grafiğinde doğrunun altındaki alan işi verir. Birim zamanda yapılan işe ise güç denir. P=W/t şeklinde ifade edilir. Ortalama güç ise Port=W/t =F.v şeklindedir. güç birimi ise, SI’da watt yada J/s dir.

ÇÖZÜM: a) Fs=k.N =k.m.g= 0,2.4.10=8 N Ws=Fs.x.cos=8.14.cos180=-112 J ÖRNEK: Sürtünmeli yatay düzlemde durmakta olan 4 kg kütleli bir cisme 100 N’luk yatay sabit bir kuvvetin etkisinde cisim 14 m hareket ediyor. Cisimle yüzey arasındaki sürtünme katsayısı 0,2 olduğuna göre; a)Sürtünme kuvvetinin yaptığı işi, b)bileşke kuvvetin yaptığı işi bulunuz. (g=10 m/s2) ÇÖZÜM: a) Fs=k.N =k.m.g= 0,2.4.10=8 N Ws=Fs.x.cos=8.14.cos180=-112 J b) Fb=Fuy-Fs=100-8=92 N Wb=Fb.x.cos=92.14.cos0=1288 J ÖRNEK: Yüzeyle arasındaki sürtünme katsayısı 0,4 olan 5 kg’lık cisim hareketsiz durmaktadır. Cisme şekildeki gibi bir kuvvet uygulandığında cisim 85 N’luk bir kuvvet uygulandığında cisim 10 m hareket etmişse; bileşke kuvvetin yaptığı işi bulunuz. (sin37=0,6 cos37=0,8 g=10 m/s2) ÇÖZÜM: Fs=k(Fy+G)=0,4(85.0,6+5.10)=40,4 N Fb=Fx-Fs=(85.0,8)-40,4=27,6 N Wb=Fb.x= 27,6.10= 276 J bulunur. F=85 N 37

KİNETİK ENERJİ Bir cismin hareket enerjisine o cismin kinetik enerjisi denir. Kinetik enerji cismin kütlesine ve hızına bağlıdır. a)Yapılan iş ve kinetik enerji değişimi: Bir cisme x yolu boyunca etkiyen net kuvvetin yaptığı iş, cismin kinetik enerjisindeki değişme miktarına eşittir. b)Kinetik enerjinin korunumu: Esnek çarpışmalarda momentumun yanı sıra kinetik enerji de korunur. Yani çarpışma öncesi toplam kinetik enerji çarpışma sonrası toplam kinetik enerjiye eşittir.

c)Sürtünmeli yüzeylerde kinetik enerji kaybı: Sürtünmeli yatay bir düzlemde v0 hızıyla kaydırılan bir cisim belli bir süre sonra durur. Sürtünme kuvvetine karşı yapılan iş; Ws=Fs.x.cos =-Fs.x olur. Burada  açısı her zaman 1800 olduğundan cos=-1 alınmıştır. Cisim sürtünmeli yüzeyde durgun hale gelmişse iş Ws=Ek=-(1/2)mv02 şeklinde olur. sürtünme dolayısıyla kaybolan enerji ısıya dönüşür. d)Dönen bir cismin kinetik enerjisi: Dönen katı bir cismin kinetik enerjisi onun I eylemsizlik momentine ve w açısal hızına, şeklinde bağlıdır. Cisim hem dönüyor hem ilerliyorsa (örneğin otomobil lastiği) kinetik enerji; çizgisel ve açısal kinetik enerjilerin toplamı şeklindedir.

ÖRNEK:1500 kg kütleli bir araba, 1500 N’luk yatay bir kuvvetin etkisiyle durgun halden başlayarak 200 m yol aldığına göre arabanın son hızı ne olur? ÇÖZÜM: W=F.x=(1/2).m.vs2 vs=(2.F.x/m)1/2 vs=(2.1500.200/1500)1/2 vs=20 m/s bulunur. ÖRNEK: 4 kg kütleli bir cismin F-x grafiği şekildeki gibidir. Cisim durgun halden harekete geçtiğine göre 6.saniyede hızı nedir? ÇÖZÜM: W=4.10+(1/2).2.10= 50 J (½)m.vs2=W Vs=(2W/m)1/2 Vs=(2.50/4)1/2 Vs=5 m/s olur. F 10 x 4 6

ÇÖZÜM: Ekd=(1/2)I.w2=(1/2).(2/5)m.r2.(v/r)2 ÖRNEK: 2 kg kütleli dolu bir küre, yatay ve sürtünmesiz yüzey üzerinde 10 m/s hızla yuvarlanıyor. Kürenin toplam kinetik enerjisini bulunuz? [ I=(2/5)m.r2] ÇÖZÜM: Ekd=(1/2)I.w2=(1/2).(2/5)m.r2.(v/r)2 Ekd=(1/5)mv2= (1/5).2.(10)2=40 J Eki=(1/2)m.v2=(1/2).2.(10)2=100 J Ek=40+100=140 J bulunur. Cisim Merkezden dik geçen eksene göre eylemsizlik momenti (kg.m2) Halka I=m.r2 Disk I=(1/2).m.r2 Dolu silindir Çubuk I=(1/12).m.l2 Dolu küre I=(2/5).m.r2

ÇEKİM POTANSİYEL ENERJİSİ Bir cismin durumu yada konumu sebebiyle sahip olduğu enerjiye potansiyel enerji denir. Potansiyel enerji, bir cisim yada sistemde depo edilmiştir.örneğin yüksekte bulunan cisim, sıkıştırılmış bir yay, barajda depolanmış su yada su buharı vb sitemler potansiyel enerjiye sahiptir. a)Yayın potansiyel enerjisi: Bir yay x kadar sıkıştırıldığında yayın tepki kuvveti (geri çağırma kuvveti) F=-k.x olur. Buna Hooke yasası denir. Bu durumda yayın potansiyel enerjisi Ep=(1/2)k.x2 şeklinde olur (bu formül kuvvet-sıkışma grafiğinden bulunur). m Cismin herhangi bir andaki toplam enerjisi o andaki kinetik ve potansiyel enerjilerinin toplamıdır, E=(1/2).m.v2+(1/2).k.x2 dir. xmax -xmax X=0’da cismin hızı maksimum, X=Xmax’da V=0 dır.

b) Yer yüzü yakınlarında çekim potansiyel enerjisi: Kütlesi m olan bir cisim, yer yüzeyinden h kadar bir yükseklikten serbest bırakılırsa kütle çekiminden dolayı yere düşer. Bu durumda yer ve cisim kütleleriyle orantılı kinetik enerji kazanırken potansiyel enerji kaybeder. Bu durumda, momentum korunumundan mv=MV yada V=(m/M)v olur. burada m/M çok çok küçük olduğundan yerin hareketi ihmal edilir (kinetik enerjisinin değişmediği kabul edilir). H yüksekliğinden yere düşen bir cismin kinetik enerjisindeki değişme potansiyel enerjisindeki değişmeye eşittir. m.g.(h2-h1)=(1/2).m.(v22-v12). Ep=m.g.h yükseklikten dolayı cismin potansiyel enerjisidir. Cisim yere düşerken kinetik ve potansiyel enerjilerinin toplamı sabit kalır, E=(1/2).m.v2+m.g.h . Düşen cismin kinetik enerjisi artarken potansiyel enerjisi azalır. E Ep Ek h

c)Genel olarak çekim potansiyel enerjisi: Bir cismin sonsuzdan belli bir P noktasına hareket ettirmek için yapılan iş W=Ep∞-Ep®=(G.m.M)/r dir. sonsuzdaki potansiyel sıfır olduğundan olarak bulunur. Cisim sonsuzdan r noktasına geldiğinde kaybettiği potansiyel enerji kinetik enerjiye dönüşür. Yalnızca cismin toplam enerjisi sabit kalır.

d)Kurtulma ve bağlanma enerjisi: Kütlesi m olan bir roketi yer yüzeyinden düşey doğrultuda yukarıya doğru v hızı ile atalım. Rokete yeteri kadar kinetik enerji verirsek yerden kurtulur ve hiçbir zaman geri dönmez. İşte bunu başarmak için verilmesi gerekli kinetik enerjiye kurtulma enerjisi denir. Kurtulma hızı ise, Şeklindedir. Burada, M gezegenin kütlesi, r de roketin atıldığı anda gezegenin merkezine olan uzaklığıdır. Bir uydunun yer çevresinde sabit hızla hareket edebilmesi için uyduya etki eden çekim kuvvetinin merkezcil kuvvete eşit olması zorunludur. Toplam enerjiden bulunur. Uyduyu yörüngede tutan toplam enerjiye de ; Bağlanma enerjisi denir.

EİNSTEİN’E GÖRE ENERJİ 1905 yılında Albert Einstein ışık hızına yakın hızla giden cisimlerin fiziğiyle ilgili olan özel görelilik teorisini açıklamıştır. Görelilik teorisine göre kütle, enerjinin soğrulmuş biçimidir. Bu durumda kütle ile enerji arasında E=m.c2 bağıntısı vardır. Burada, m kütle, c ışık hızıdır. Durgun kütlesi m0 olan bir cismin kinetik ve potansiyel enerjileri sıfır olsa bile, m0c2’ye karşılık gelen bir durgun kütle enerjisi vardır. Eğer cisim ışık hızına yakın hızlarda hareket ediyorsa kütlesi artar. Bu durumda kütle; şeklindedir. Cismin kinetik enerjisi ise Ek=(m-m0).c2 şeklindedir. Cisimler ışık hızına yakın hızla hareket ettiklerinde uzunlukları büzülür, orada zaman kısalır. Bir de; Einstein’in 1915 yılında ortaya attığı evrendeki kütle çekimini açıklayan genel görelilik teorisi vardır. Buna göre ışık büyük gök cisimlerinin yakınından geçerken sapmaya uğrar, hatta kara deliklerden hiç kurtulamaz…

ÇÖZÜM: a) k=F/x  k=50/0,4 k=125 N/m dir. ÖRNEK: kütlesi 4 kg olan bir cisim şekilde görüldüğü gibi bir yaya bağlanmıştır. Yayı, denge konumundan itibaren 0,4 m sıkıştırmak için 50N’luk uygulanıyor. a)yay sabitini bulunuz, b)x=0,2’de iken potansiyel enerjiyi bulunuz, c)hareketin periyodunu bulunuz, d)cismin maksimum hızını bulunuz, e)sistemin toplam enerjisini bulunuz (=3 ) 0,4 m ÇÖZÜM: a) k=F/x  k=50/0,4 k=125 N/m dir. b) Ep=(1/2).k.x2  Ep=(1/2).125.(0,2)2 Ep=5/2 Ep=2,5 J dur. c) d)  e) E=(Ep)max=(Ek)max  E=(1/2).k.xmax2  E=(1/2).125.(0,4)2  E=10 J bulunur.

ÖRNEK: kütlesi 1 kg olan bir küre h yüksekliğinden 4 m/s hızla yatay olarak atılıyor. Cisim atış doğrultusundan 2 m uzağa düştüğüne göre, cismin düştüğü bu noktadaki kinetik enerjisi kaç J’dur? ÇÖZÜM: h yüksekliğinde toplam mekanik enerji, cisim yere düştüğünde toplam mekanik enerjiye eşit olmalıdır. E= m.g.h+(1/2).m.v02 = (1/2).m.v2 dir. Ayrıca x=v.tuçuş 2=4.tuçuş  tuçuş=0,5 s dir. h=(1/2).g.tuçuş2=(1/2).10.(0,5)2=1,25 m dir. E=1.10.(1,25)+(1/2).1.42=12,5+8=20,5 J olarak bulunur. ÖRNEK: Kütlesi 6400 kg olan bir uzay aracının kurtulma enerjisini ve kurtulma hızını bulunuz. (G=6,67.10-11N.m2/kg2, My=6.1024 kg, ry=6,4.106 m) ÇÖZÜM:

MEKANİK ENERJİNİN KORUNUMU Sürtünmenin önemsiz olduğu bir sistemde, hareketli olan bir cismin sahip olduğu kinetik ve potansiyel enerjilerinin toplamı sabit olur. buna mekanik yada toplam enerjinin korunumu denir. ÖRNEK: Şekildeki sürtünmesiz yüzey üzerinde kayan cismin A noktasındaki hızı, ancak B noktasından geçebilecek büyüklüktedir. Cismin; a)A noktasındaki hızını, b)C noktasındaki hızını bulunuz. (g=10 m/s2) B ÇÖZÜM: mghA+(1/2)mvA2=mghB =(1/2)mvC2 vA2=2g(hB-hA)=2.10.(80-60)=400 vA=20 m/s dir. Vc2=2.g.hB=2.10.80=1600 VC=40 m/s bulunur. 80m A 60m C

Hazırlayan: MEHMET TAŞKAN Fizik Öğretmeni KAYNAKLAR: Prf Dr D.Mehmet Zengin, Lise 2 Fizik, Paşa yay. PSSC Fizik, MEB yayınları Mekanik ,Berkeley Fizik dizisi Osman URAL, Physics 2