Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü DERS DÜZENİ DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. SAYISAL YÖNTEMLER DENKLEMLERİN KÖKLERİ Verilen bir x değeri için y=f(x) fonksiyonu hesaplanabilir. f(x)=0 durumunu sağlayan x değerinin bulunuşu çözüm olarak kabul edilir. Bu çözüm çoğu zaman kök bulma olarak adlandırılır. Kök bulmada iki teorem vardır. x y a b y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü DERS HAKKINDA SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. TEOREM 1 Eğer f(x), x=a ve x= b aralığında sürekli ve f(a) ile f(b) ters işaretli ise a, b aralığında en az bir kök vardır. x y a b y=f(x) y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b y x Burada f(a) ve f(b) ters işaretli olmasına karşın fonksiyon süreksiz olduğundan bu aralıkta bir kök yoktur. a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER LİNEER OLMAYAN BİR DENKLEM TAKIMININ ÇÖZÜMÜ Lineer olmayan bir denklem takımının çözümü için izlenecek yöntem: Birkaç veya bütün köklerin bulunması Köklerin gerçek ya da sanal olmasına Kökler için yaklaşık değer bulunup, bulunmadığına bağlı olarak seçilir. Bazı yöntemler tek bir denklemin, bazılarında bir denklem takımının çözümüne daha uygundur a b y x y=f(x) a b y x y=f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Kullanılacak yöntemler: Basit iterasyon yöntemi Newton yöntemi İterasyon Yöntemleri Yarıya bölme yöntemi Regula-Falsi yöntemi Enterpolasyon yöntemi Grafik yöntemi Burada ise f(x) hiç x eksenini kesmediğinden kök yoktur Burada a, b arasında üç kök vardır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. BASİT İTERASYON YÖNTEMİ (Basit Sabit Noktalı İterasyon) f(x)= 0 şeklinde verilen denklem x=g(x) şekline getirilerek ardışık tekrarlar sonunda xk+1 = g(xk) şeklinde köke ulaşmaya çalışır. Eğer I gı(xo) I < 1 ise bu yöntem mutlaka köke yaklaşır. Deklemin asıl kökü (x) için I gı(1) I ≈ 1 ise yaklaşım yavaş olur. I gı(xo) I > 1 olursa yaklaşım zordur. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK f(x)= x3-x-1=0 dekleminin bir kökünü bulmaya çalışalım. Bu denklemin xo=1.3 civarında kökü olduğu bilindiğine göre önce şartları sağlayıp sağlamadığına bakalım. x=g(x) şeklinde yazılsın a) x=x3-1  g(x)= x3-1 ve gı(x)=3x2 olur. | gı(xo) | > 1 b) f(x)=x(x2-1)-1 =0’ dan  c) x3=x+1 ’ den ol.dan yaklaşım vardır C şıkkı yakınsama şartını yerine getirdiğinden iterasyon bu şekilde başlatılır. Xk+1 = g(xk) demiştik X1=g(xo) olacak g(x)= (x+1)1/3  x1= 1.3200061 (bulunan bu değer g fks.nda yerine konuldu) x2= g(x1)  x2= 1.3238223 x3= 1.3245478 x4= 1.3246856 x5= 1.3247118 x6= 1.3247168 x7= 1.3247177 x8= 1.3247179 x9= 1.3247179 9 iterasyon sonunda 0.00000001 hassasiyetle köke yaklaşılmıştır. İterasyonu sonlandırmak için | xn – xn-1 | < ε şartına bakılır (daha önce εk olarak gösterilmişti). Ε problemi çözen tarafından belirlenen çok küçük bir sayıdır. Köke yaklaşma hassasiyeti ne ölçüde isteniyorsa εk ona göre seçilir. LİNEER OLMAYAN BİR DENKLEM TAKIMININ ÇÖZÜMÜ Lineer olmayan bir denklem takımının çözümü için izlenecek yöntem: Birkaç veya bütün köklerin bulunmasına Köklerin gerçek ya da sanal olmasına Kökler için yaklaşık değer bulunup, bulunmadığına bağlı olarak seçilir. Bazı yöntemler tek bir denklemin, bazıları da bir denklem takımının çözümüne daha uygundur. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Örnek 2x4-3x-2=0 fks.nun köklerini bulunuz Kullanılacak yöntemler: Basit iterasyon yöntemi Newton-Raphson yöntemi İterasyon Yöntemleri Yarıya bölme yöntemi Regula-Falsi yöntemi Enterpolasyon yöntemi Sekant Yöntemi Grafik yöntemi y x 0.5 1 1.5 -0.5 1.0 -2.0 x1 x2 Xo=1.3 ve x= -0,5 civarında bir kökün olduğu görülmektedir. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Öncelikle xo= 1.3 civarındaki kökü arayalım. 1) 2) 3) x1= 1.3 x2= 1.3105558 x3= 1.3123108 x4= 1.3126019 x5= 1.3126502 x6= 1.3126582 x7= 1.3126595 x8= 1.3126597 8 iterasyon sonucunda 0.0000001 hassasiyetle kök bulunmuştur. İterasyona son vermek için | xn- xn-1|< εk şartı aranabilir. ε k problemi çözen tarafından saptanır. Ne kadar küçük olursa iterasyon sayısı o kadar artar. ε k seçiminde köke yaklaşma hassasiyetine göre karar verilir.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER xo=-0.5 yakınlarındaki kök için BASİT İTERASYON YÖNTEMİ (Basit Sabit Noktalı İterasyon) Bu yöntemde kökün bulunması için bir formül kullanılır. f(x)= 0 şeklinde verilen denklem; x=g(x) şekline getirilerek ardışık tekrarlar sonunda xk+1 = g(xk) şeklinde köke ulaşmaya çalışır. Eğer I gı(xo) I < 1 ise bu yöntem mutlaka köke yaklaşır. Denklemin asıl kökü (r) için I gı(r) I ≈ 1 ise yaklaşım yavaş olur. I gı(xo) I > 1 olursa yaklaşım zordur. İterasyona, | εt | < εk şartı sağlandığında son verilir. ε t=(xk+1 - xk) / xk+1 1) x1= -0.5 x2= -0.6250 x3= -0.5649 x4= -0.5988 x5= -0.5810 x6= -0.5967 x7= -0.5855 x8= -0.5883 x9= -0.5868 x10= -0.5876 x11= -0.5872 x12= -0.5874 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK f(x)= x3-x-1=0 denkleminin xo=1.3 civarında kökü olduğu bilindiğine göre, gerçek kökü εk = 0.0000001 hassasiyetle basit iterasyon yöntemiyle bulunuz. Bu denklemin xo=1.3 civarında kökü olduğu bilindiğine göre önce şartları sağlayıp sağlamadığına bakalım. ÖDEV f(x) = x3-Sin4x Xo=1.5 civarında bir kökünün olduğu bilindiğine göre gerçek kökü ε k =0.0000001 yaklaşımla bulunuz. (x radyan olarak dikkate alınacak) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Çözüm: Denklemi; x=g(x) şeklinde yazılım. (Yani x=g(x) dönüşümü yapılır) a) x=x3-1  g(x)= x3-1 ve gı(x)=3x2 olur. | gı(xo) | = | 3x2 | = 5.07 > 1 olduğu için yaklaşım çok zordur. Yani kök yoktur.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Yakınsama ve Iraksama İterasyonun gerçek bağıl yüzde hatası, bir önceki iterasyon hatayla orantılıdır. Doğrusal yakınsama adı verilen bu özellik basit iterasyonun bir karakteristiğidir. Yakınsamayı incelemek için iki eğrili grafik yöntemden yararlanılır. Bu yöntemde, fks. iki ayrı bileşene ayrılır. Bu iki fks. Grafiksel olarak kesim noktası kökü vermektedir. b) f(x) = x( x2 - 1) -1 =0’ dan | gı(xo) | = 5.46 > 1 olduğu için yaklaşım çok zor. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü c) x3=x+1 ’ den f1(x) = f2(x) y1= f1(x) , y2= f2(x) = g(x) Olduğu için yaklaşım vardır. Yani köke ulaşılır. c) şıkkı yakınsama şartını yerine getirdiğinden iterasyon bu şekilde başlatılır. ÖRNEK e-x –x = 0 x= e-x y1 = x ve y2 = e-x Bu fks.nun kökleri grafik yöntemle iki şekilde bulunabilir. x ekseni kestiği yerdeki kök Bileşen fks.larının kesiştiği yerdeki kök. Xk+1 = g(xk) yaklaşımıyla köke ulaşılmaya çalışılır. X1=g(xo) olacaktır. y y=e-x-x y f1(x) =y1=x f2(x)=y2 = e-x x a) x b) b

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Basit iterasyonun yakınsamasının ve ıraksamasının gösterimi k=0 için x1= g(xo)= (x+1)1/3 = (1.3+1)1/3  x1= 1.3200061 x y y1=x y2 = g(x) Kök xo Iraksak x y Yakınsak y1=x y2 = g(x) Kök xo x1 x2 Mutlak hata Et = x1 –xo = 1.3200061 – 1.3 = 0.0200061 | εt | < εk şartı sağlanmadığı için iterasyona devam edilir. Bağıl hata εt = Et / x1 = 0.0200061/ 1.3200061 =0.015156  % 1,5156 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Yakınsama ve ıraksama şartı y1 = x  y|1 = 1 (Eğim) y2= g(x)  | g|(xo) | < 1 ise yakınsak | g|(xo) | > 1 ise ıraksak Burada y2= g(x) fks.nun eğiminin mutlak değeri y1 = x fks.nun eğiminden küçük olması halinde yakınsama olmaktadır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır k= 1 için  x2= g(x1) = (x1+1)1/3 = (1.320006+1)1/3 = 1.323822 Et = x2 –x1 = 1.323822 – 1.320006= 0.003816 εt = Et / x2 = 0.003816 / 1.323822 = 0.002882 | εt | < εk şartı sağlanmadığı için iterasyona devam edilir Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan y1 = x k= 2 için  x3= g(x2) = (x2+1)1/3 = (1.323822+1)1/3 = 1.324547 c) x2 = x + 3 ‘ den Et = x3 –x2 = 1.324547 – 1.323822= 0.0007254 y1 = x εt = Et / x3 = 0.000547 | εt | < εk şartı sağlanmadığı için iterasyona devam edilir y2 = (x+3)1/2 yakınsaktır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ‘ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır εt Et k= 3 için x4= 1.3246856 0.0001378 0.00010 k= 4 için x5= 1.3247118 0.0000261 0.000019 k= 5 için x6= 1.3247168 0.0000049 0.0000037 k= 6 için x7= 1.3247177 0.00000094 0.00000071 k= 7 için x8= 1.3247179 0.00000017 0.00000013 k= 8 için x9= 1.3247179 0.00000003 0.00000002 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü b) x ( x -1 ) – 3 = 0 ‘ dan y1 = x 9 iterasyon sonunda 0.0000001 hassasiyetle köke yaklaşılmıştır. İterasyonu sonlandırmak için | εt | < εk şartına bakılır (εk daha önce anlatılmıştı). εk problemi çözen kişi tarafından belirlenen çok küçük bir sayıdır. Köke yaklaşma hassasiyeti ne ölçüde isteniyorsa εk ona göre seçilir. c) x2 = x + 3 ‘ den y1 = x y2 = (x+3)1/2 yakınsaktır

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK f(x)= 2x4-3x-2=0 fks.nun xo= 1.3 ve xo= -0.5 civarında kökleri olduğu bilindiğine göre εk= 0.0000001 hassayetle basit iterasyon yöntemiyle denklemin köklerini bulunuz ÖDEV 1) xe3x = 1 kökünün basit iterasyon ile bulunuz. 2) f(x) = sinx + 3cosx -3x ‘ in kökünü ε= 0.0001 hassasiyetle bulunuz. 3) f(x) = x4 – x -10 = 0 kökünü bulunuz. y x 0.5 1 1.5 -0.5 1.0 -2.0 x1 x2 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Çözüm: Denklem; x=g(x) şeklinde yazılım. (Yani x=g(x) dönüşümü yapılır)

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Öncelikle xo= 1.3 civarındaki kökü arayalım. 1. Adım Başla xo, ε 2. Adım Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) 3. Adım E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Xk+1 = g(xk) yaklaşımıyla köke ulaşılmaya çalışılır. X1=g(xo) olacak. Başla 8 iterasyon sonucunda 0.0000001 hassasiyetle kök bulunmuştur. İterasyona son vermek için | εt |< εk şartı aranır. ε k problemi çözen tarafından saptanır. Ne kadar küçük olursa iterasyon sayısı o kadar artar. ε k seçiminde köke yaklaşma hassasiyetine göre karar verilir. x0= 1.3 x1= 1.3105558 x2= 1.3123108 x3= 1.3126019 x4= 1.3126502 x5= 1.3126582 x6= 1.3126595 x7= 1.3126597 xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER xo=-0.5 yakınlarındaki kök için 1) Başla x0= -0.5 x1= -0.6250 x2= -0.5649 x3= -0.5988 x4= -0.5810 x5= -0.5967 x6= -0.5855 x7= -0.5883 x8= -0.5868 x9= -0.5876 x10= -0.5872 x11= -0.5874 xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) 12 iterasyon sonucunda 0.0000001 hassasiyetle kök bulunmuştur. E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖDEV f(x) = x3- 4.Sin(x) denkleminin xo=1.5 civarında bir kökünün olduğu bilindiğine göre kökü ε k =0.0000001 yaklaşımla basit iterasyon yöntemini kullanarak bulunuz. (x radyan alınacak) Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Yakınsama ve Iraksama SAYISAL YÖNTEMLER İterasyonun gerçek bağıl yüzde hatası, bir önceki iterasyondaki hatayla orantılıdır. Doğrusal yakınsama adı verilen bu özellik basit iterasyonun bir karakteristiğidir. Yakınsamayı incelemek için iki eğrili grafik yöntemden yararlanılır. Bu yöntemde, fonksiyon iki ayrı bileşene ayrılır. Bu iki fks. grafiksel olarak kesim noktası kökü vermektedir. Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) f1(x) = f2(x) y1= f1(x) , y2= f2(x) = g(x) E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK e-x –x = 0 x= e-x y1 = x ve y2 = e-x Bu fks.nun kökleri grafik yöntemle iki şekilde bulunabilir. x ekseni kestiği yerdeki kök Bileşen fks.larının kesiştiği yerdeki kök. Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo x y a) y=e-x-x x y b) f1(x) =y1=x f2(x)=y2 = e-x y = f(x) E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Basit iterasyonun yakınsamasının ve ıraksamasının gösterimi SAYISAL YÖNTEMLER x y Yakınsak y1=x y2 = g(x) Kök xo x1 x2 x y y1=x y2 = g(x) Kök xo Iraksak Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo Yakınsama ve ıraksama şartı y1 = x  y|1 = 1 (Eğim) y2= g(x)  | g|(xo) | < 1 ise yakınsak | g|(xo) | > 1 ise ıraksak y = f(x) Burada y2= g(x) fks.nun eğiminin mutlak değeri y1 = x fks.nun eğiminden küçük olması halinde yakınsama olmaktadır. E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖRNEK y = x2 - x - 3 denkleminin xo = 1 noktasında yakınsak mıdır ? a) x = x2 – 3 ’ den y1 = x y2= x2 – 3 = g(x)  | g|(xo) = 2x = 2 | > 1 ol.dan ıraksaktır Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER x ( x -1 ) – 3 = 0 ’ dan b) y1 = x Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo x2 = x + 3 ’ den c) y = f(x) y1 = x y2 = (x+3)1/2 E |x-y| ≤ εk Y H ol.dan yakınsaktır y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Başla Başla xo, εk xo, ε x = xo Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü y = f(x) x = xo y = f(x) E |(y-x)/y| < εk Y H E |x-y| ≤ εk y = x Y H Dur y = x İterasyon yönteminin algoritması Dur İterasyon yönteminin algoritması

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER x0=0; es=1.2; n=0; Nmax=100; xkeski=x0; while (n<Nmax) n=n+1; xkyeni=g(xkeski) if xkyeni~=0 ea=abs((xkyeni-xkeski)/xkyeni)*100 if ea<es disp('Kök='); disp(xkyeni); disp('Tekrar Sayisi='); disp(n); disp('Yüzde bagil Hata=');disp(ea); n=Nmax; end else disp('Sifira bolme hatasi'); xkeski=xkyeni; g.m dosyası function [xkyeni] = g(xkeski) xkyeni=1.0*exp(-xkeski); Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER ÖDEV f(x)= x·e3x -5 kökünün basit iterasyon ile bulunuz. 2) f(x) = sinx + 2cosx -x ‘ in kökünü ε= 0.0001 hassasiyetle bulunuz. 3) f(x) = x4 – x -8 = 0 kökünü bulunuz. Başla xo, ε Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü x = xo y = f(x) E |x-y| ≤ εk Y H y = x Dur İterasyon yönteminin algoritması