Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü 13.HAFTA İÇERİĞİ RUNGE KUTTA

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Düşen bir paraşütçünün hızının “v”, zamanın “t” bir fonksiyonu olarak hesaplamak için Newton’un ikinci yasasına dayalı aşağıdaki eşitlik yazılabilir. Burada g yerçekimi ivmesi, m kütle ve c direnç katsayısıdır. Bilinmeyen fonksiyonu ve onun türevini içeren bu tür denklemler, diferansiyel denklem olarak adlandırılır. v – bağımlı değişken t –bağımsız değişken Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü 2

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Diferansiyel denklemler derecelerine göre sınıflandırılırlar. Dereceden diferansiyel denklemler - Lineer birinci dereceden diferansiyel denk. - Non-Lineer birinci dereceden diferansiyel denk. f(x,y) non lineer Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü 3

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü 2. Dereceden diferansiyel denklemler - Lineer ikinci dereceden diferansiyel denk. İkinci dereceden denklem ikinci türev içerir - Non-Lineer ikinci dereceden diferansiyel denk. f(x,y) non lineer Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü 4

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü * Yüksek dereceli denklemler birinci dereceden denklemelere indirgenebilir. dv = F dt m Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü 5

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü eğim Adım büyüklüğü yi+1 = yi +Φh Bu eşitliğe göre, h aralığı boyunca eski bir yi değerinden yeni bir yi+1 değerini ekstrapolasyonla bulmak için eğim tahmini Φ kullanılır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Bu formül, ileriye doğru adım adım uygulanabilir ve böylece çözümün yörüngesi çizilebilir. 6

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Euler Yöntemi Tahmin Gerçek Hata Çözüm Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü *Birinci türev, xi deki eğimin doğrudan tahmini verir. Φ= f(xi, yi) *Burada, f(xi, yi), xi ve yi’de hesaplanmış olan diferansiyel denklemdir. bu tahminler eşitlikte yerine konursa; yi+1 = yi +Φh Euler – Caucy Yöntemi (noktasal eğim) 7

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Euler Yöntemi ÖRNEK: Eşitliği sayısal olarak integre etmek için Euler yöntemini kullanın. Adım büyüklüğünü 0,5 alarak x =0 dan x=4’e kadar integre edin. Başlangıç koşulu : x = 0 to y = 1 X Y gerçek Y Euler 0.0 1.00000 0.5 3.21875 5.25000 1.0 3.00000 5.87500 1.5 2.21875 5.12500 2.0 2.00000 4.50000 2.5 2.71875 4.75000 3.0 4.00000 3.5 4.71875 7.12500 4.0 7.00000 Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü 8

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Euler Yöntemi * Adım aralığı büyük oldukça hata artmaktadır. Gerçek çözüm Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Euler çözüm hatalarını azaltabilmek için iyileştirmeler yapılmalıdır. Bu yöntemler; Heun’s Method Orta nokta (Midpoint) Method Ralston Method 9

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI Euler yönteminin hatasını azaltmanın bir yolu çözümde Taylor serisinin daha yüksek dereceli terimlerini de almaktır. = sabitler sabitler ve Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü 10

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI Birinci derece RK methodu n=1 Euler methodu. 2. İkinci derece RK methodu Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü *Taylor serisinin İkinci derece kuralları dikkate alındığında açılımında a1, a2, p1, ve q11 değerleri ile ilgili bağıntılar elde edilebilir. 11

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI En çok kullanılan üç metod; Heun Methodu (a2=1/2) Orta nokta (Midpoint) Methodu (a2= 1) Raltson Methodu (a2= 2/3) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü 12

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI y f(xi,yi) xi xi+h x f(xi+h,yi+k1h) Heun Methodu Eğim tahminini iyileştirmek için, biri aralığın başında diğer sonunda olmak üzere aralık için iki türev hesaplanır. Göz önüne alınan aralık için iyileştirilmiş bir eğim elde etmek amacıyla, daha sonra bu iki türevin ortalaması alınır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü y ea xi xi+h x eğim: 0.5(k1+k2) 13

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI f(xi+h/2,yi+k1h/2) y ea xi xi+h x Eğim: k2 f(xi,yi) xi+h/2 Orta Nokta Methodu Aralığın orta noktasındaki y değerini tahmin etmek için Euler Yönetmi kullanılır. Daha sonra bu tahmini değer, orta noktadaki eğimi hesaplamak için kullanılır. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü 14

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI x f(xi+ 3/4 h, yi+3/4k1h) xi+h y f(xi,yi) xi xi+3/4h ea Eğim: (1/3k1+2/3k2) Ralston Methodu Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü 15

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü 16

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI 3. Derece RK methodu Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü 17

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI 4. Derece RK methodu Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü 18

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI Örnek: f(x,y)=-2x3+12x2-20x+8,5 denklemini adım büyüklüğünü h=0,5 alarak, x=0’da y=1 başlangıç koşulu ile integre etmek için klasik 4.derceden R.K yöntemini kullanın. Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü 19

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü Runge-Kutta METODLARI Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Mühendisliği Bölümü 20