Bölüm5 :Kök Bulma Sayısal bilgisayarlar çıkmadan önce, cebirsel denklemlerin köklerini çözmek için çeşitli yollar vardı. Bazı durumlarda, eşitliğinde olduğu gibi kökler doğrudan bulunabiliyordu. Bu şekilde doğrudan çözülebilen denklemler olmasına karşın, daha da fazla çözülemeyen vardı. Örneğin f(x)=e-x-x gibi basit görünen bir fonksiyon bile analitik olarak çözülemez. Bu tip durumlarda tek seçenek yaklaşık çözüm teknikleridir. Yaklaşık bir çözüm elde etmek için kullanılacak yöntemlerden biri, fonksiyonu çizerek x eksenini kestiği noktayı belirlemektir. f(x)=0 şartını sağlayan x değerini gösteren bu nokta, köktür. Yani, [a,b] aralığında tanımlı bir f(x) fonksiyonu için f(x)=0 denklemini sağlayan x değerine o fonksiyonun kökleri denir.

N. Dereceden bir fonksiyonun N tane kökü vardır (reel veya komplex). Kök bulma yöntemlerinde iterasyon tekniği kullanılır. Kök bulmada en çok kullanılan yöntemler; Interval yarılama yöntemi Kiriş yöntemi Newton-Raphson yöntemi Şekil 5.1:

Şekil 5.2: Kök bulmada İnterval yarılama yöntemi. Şekilde gösterildiği gibi, [a,b] aralığında sürekli bir fonksiyon için f(a)•f(b)<0 oluyorsa, yani fonksiyon işaret değiştiriyorsa, bu [a,b] aralığında bir kökü vardır. Şekil 5.2: Kök bulmada İnterval yarılama yöntemi. Bu aralıkta kökü olduğu bilindikten sonra, aralığın orta noktası olan, noktasına bakılır.

[a,b] aralığının yarısı alınır. Eğer f(a)•f(xm) < 0 oluyorsa, kök solda demektir ve yeni aralık olarak [a,xm] alınır. f(xm)•f(b) < 0 oluyorsa, kök sağda demektir. O zaman yeni aralık [xm,b] olur. Bu işlem iterasyon yoluyla tekrarlandıkça, giderek köke yaklaşılır ve önceden belirlenmiş olan duyarlıkta (ε) kök bulunur. Bu yöntemde kullanıcı, kökün bulunduğunu tahmin ettiği a ve b değerlerini başlangıçta vermelidir. [a,b] aralığında aralık yarılama yönteminde aşağıdaki yol izlenir; [a,b] aralığının yarısı alınır. Eğer c yaklaşık kök değeridir. (ε:hata payıdır) Eğer a=c alınır. Eşit değil ise b=c alınır, (1) adımına dönülür ve iterasyona devam edilir.

Şekil 5.3: Kök bulmada Kiriş yöntemi. İnterval yarılama yönteminde kökü yandan kavrayan [a,b] aralığının hep ortası alınarak kök’e yaklaşılıyordu. Buna karşın, f(a) ve f(b) değerlerine bakılarak kökün hangi tarafa daha yakın olacağını tahmin edebiliriz. Örneğin, |f(a)|>|f(b)| ise kök b değerine daha yakın olacaktır. Kiriş yöntemi bu özelliği kullanan hızlı bir yöntemdir. Şekil 5.3: Kök bulmada Kiriş yöntemi.

Kiriş yönteminde verilen iki noktadan geçen kirişin x-eksenine ulaştığı noktayla devam edilir. Birbirine yakın x0 ve x1 gibi iki nokta ele alalım (Bu noktaların kökü iki taraftan sarması şart değildir). Öncelikle bu iki noktayı birleştiren doğrunun denklemini yazalım; Bu doğru f(x) fonksiyonu için x0 ve x1 noktaları arasındaki kiriş olur. Kirişin x-eksenini kestiği x2 noktasını bulmak için doğru denkleminde y=0 alırsak, x2 noktası köke daha yakın olacaktır. Bu kez x1 ve x2 noktalarından geçen kirişi esas alıp, aynı işlemlerle yeni x3 noktası hesaplayabiliriz. Bulunan her yeni xi değeri köke daha yakın olur ve sonunda belli hata payı içinde kök bulunur.

Kiriş yöntemiyle, aşağıdaki şekilde olduğu gibi, çift katlı kökler de bulunabilir. Kiriş yöntemi daha önce gördüğümüz interval yarılama yöntemine göre çok daha hızlı bir yöntemdir. Diğer taraftan, kiriş yönteminde kökün yeterince yakınından başlanılmazsa, yöntem sonuç vermeyebilir. Bu duruma iki örnek aşağıdaki şekillerde gösterilmiştir.

Şekil 5.5: şeklinde her yeni kiriş kökten uzaklaşmaktadır. şeklinde kirişlerin köke yaklaşması çok yavaş olur. Böyle durumlarda fonksiyonlar için interval yarılama yöntemi daha uygun olur.

Şekil 5.6: Kök bulmada Newton-Raphson yöntemi. Kiriş yönteminde eğrinin iki noktadan geçen kirişin uzantısı alınıyordu. Bunun için, başlangıçta iki nokta verilmesi gerekiyordu. Buna benzer bir yöntemi, tek bir noktadan başlayıp, o noktadaki teğeti kullanarak da yapabiliriz. Sadece bir noktayla başlatılan ve f’(x) türevinin de bilinmesi gereken bu hızlı yöntem “Newton-Raphson Yöntemi” olarak bilinir. Bu yöntemde teğet uzantısının x-eksenine ulaştığı nokta ile devam edilerek köke ulaşılır. Şekil 5.6: Kök bulmada Newton-Raphson yöntemi.

Şekilde görüldüğü gibi, x1 noktasında f(x) eğrisine teğet olan doğrunun denklemi; Bu teğetin x-eksenini kestiği x2 noktasını bulmak için denklemde y=0 alınırsa; Bu kez x2 noktasındaki teğeti esas alıp yeni bir x3 noktası bulunur. Buradan devamla, xi noktasından sonraki nokta aşağıdaki gibi olur. Bulunan her yeni nokta köke daha da yaklaşır ve sonunda belli bir hata payı içinde köke erişilmiş olur. Kiriş yönteminde olduğu gibi, bu yöntemde de çift katlı kökler de bulunabilir. Newton-Raphson yöntemi hem interval yarılama hem de kiriş yöntemine göre çok daha hızlıdır. Her iterasyonda anlamlı sayı iki katına çıkar.