YMT 222 SAYISAL ANALİZ (Bölüm 5) Prof. Dr. Asaf Varol 2012-2013 Bahar Dönemi

Sayısal İntegral

Sayısal İntegral Sayısal integrasyon analitik olarak çözülemeyen belirli integrallerin kullanımı için birincil anahtardır. Analitik çözüm yapmaz. Sayısal integrasyon formülü: Biz eşit aralıklı noktalarda fonksiyon değerleri kullanan birkaç temel nümerik yaklaşım formülleri araştırıyoruz. Bu metotlar Newton-Cotes formülleri olarak bilinir. Kullanılan integrasyon aralığının sonunda fonksiyon değerlerinin olup olmadığına bağlı olarak İki tip Newton –Cotes formülü vardır. Trapez ve Simpson kuralları “kapalı” formüllerin örnekleridir. Son nokta değerlerini kullanırlar. Midpoint kuralı “açık” formüllerin en basit örneğidir ve son noktayı kullanmazlar.

Newton-Cotes Kapalı Formülleri Trapez (Yamuk) Kuralı Basit bir yolla yaklaşım yapar. Eğri altındaki alanı düz bir doğru yoluyla eğriye yaklaştırır. Trapez (Yamuk) yaklaşımı düz doğru yoluyla eğri noktalarını aktarır. [a, f(a) ve b, f(b)], son iki nokta veya aralığa dikkat edilmelidir. x0=a, x1=b, ve h=b-a, ise

Örnek Trapez kuralı kullanılarak e-x^2 integralinin hesaplanması Değeri bilinmeyen integralin tam değeri fonksiyon için çok önemlidir Trapez kuralı kullanarak bulalım (bu örnek için (b-a)/2=1) Fonksiyon doğru yaklaşımı ile aşağıdaki şekilde gösterilmiştir.

Matlab Programı

Diyagram

Newton-Cotes Kapalı Formülleri Simpson Kuralı Simpson kuralı kuadratik polinom yaklaşımı yoluyla fonksiyonu integre edersek Yaklaşık integral Örnek simpson kuralını kullanarak p/4 yaklaşmını bulunuz. İntegralin kesin değeri

Newton-Cotes Kapalı Formülleri Simpson Kuralı (Devam)

Matlab Programı

Diyagram

Newton-Cotes Kapalı Formülleri Midpoint Kuralı Trapez ve Simpson kuralları Newton-Cotes kapalı formüllerinin en basit örnekleridir. Kapalı formüller integrasyon aralığının son noktasında fonsiyon değerlendirmede kullanılır. Eğer biz aralıksız noktalarda sadece fonksiyon değerlendirmeyi kullanırsak en basit formülü (Newton-Cotes açık formülleri) Midpoint kuralıdır. Midpoint kuralı: Örnek: sinx/x integralini Midpoint kullanarak bulun

Şekil Midpoint kuralı kullanımıyla bulunan alanın gerçek değeri karşılaştırılması sağ tarafta verilmiştir. Bu alan S integrali ve yaklaşımı tarafından midpoint kullanımıyla verilmiştir.

Matlab Programı

Diyagram

Gaussian Kuadratik Newton-Cotes formülleri bağımsız değişkenin uzay değerlerinin fonksiyonunun değerlendirilmesi tabanlıdır. Gaussian integral formülleri yüksek dereceden olası polinomlar için doğru formüllerle seçilen doğru noktaların fonksiyonlarını değerlendirir. Gaussian integral formülleri genellikle [-1 1] integrasyon aralığında hızlıdır. Gaussian kuadratik formülünün genel biçimi Burada xi noktanın yaklaşık değeridir ve n seçimine bağlı ci katsayısı üstünde kuadratik noktalar x1 ,…, xn ,n dereceden sıfır olmayan Legendre polinomu katsayı yakınsamasında kullanılır. 2n-1 dereceden polinom için gerçek integrasyon formülüdür.

Gaussian kuadratik Örneğin iki değerlendirme noktası Gauss-Legendre kuadratik kuralı için 3. dereceden eklenen polinom için şu formdadır; Gauss-Legendre kuadratik kuralı n=3 değerlendirme noktası için 5. dereceden eklenen polinom için sahip olduğu form şu şekildedir; Gauss kuadratik parametrelerin değerleri xi ve ci için n=2….4 aşağıda tablo verilmiştir.

Örnek e-x^2 [-1 1] üstünde Gaussian kullanarak;

Bölüm 5 Sonu

Referanslar Celik, Ismail, B., “Introductory Numerical Methods for Engineering Applications”, Ararat Books & Publishing, LCC., Morgantown, 2001 Fausett, Laurene, V. “Numerical Methods, Algorithms and Applications”, Prentice Hall, 2003 by Pearson Education, Inc., Upper Saddle River, NJ 07458 Rao, Singiresu, S., “Applied Numerical Methods for Engineers and Scientists, 2002 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Mathews, John, H.; Fink, Kurtis, D., “Numerical Methods Using MATLAB” Fourth Edition, 2004 Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ 07458 Varol, A., “Sayisal Analiz (Numerical Analysis), in Turkish, Course notes, Firat University, 2001