GENELLEŞTİRİLMİŞ GEZGİN SATICI PROBLEMİNİN TAMSAYILI KARAR MODELİ İmdat KARA Tusan DERYA Emrah DEMİR Tolga BEKTAŞ Başkent Üniversitesi Mühendislik Fakültesi Endüstri Mühendisliği Bölümü / ANKARA YA/EM 2005 Koç Üniversitesi, 4-6 Temmuz 2005

SUNUŞ PLANI PROBLEMİN TANIMI (GGSP) GGSP’nin UYGULAMA YERLERİ GGSP’nin ÇÖZÜM YAKLAŞIMLARI GEZGİN SATICI PROBLEMİNE DÖNÜŞÜMLÜ YAKLAŞIMLARININ KARŞILAŞTIRILMASI GGSP için TAMSAYILI KARAR MODELİ ÖNERİSİ SAYISAL ANALİZLER SONUÇ ve ÖNERİLER

PROBLEMİN TANIMI .1 .2 .3 .4 .5 .6 .7 .8 .9 .10 .11 .12

PROBLEMİN TANIMI Bir gezgin satıcı, s tane salkımlı n düğümlü bir serimde bir başlangıç noktasından başlayıp, her salkımdan bir düğüme sadece bir defa uğrayıp, başladığı yere dönmek durumunda uğrayacağı yerlerin sıralarını belirlerken, kat edeceği toplam mesafenin veya yapacağı harcamanın en küçük olmasını ister. Bu tür problemlere Genelleştirilmiş Gezgin Satıcı Problemi denir.

PROBLEMİN TANIMI GGSP, Laporte ve Nobert (1983)’e göre: Henry-Lapordere (1969) Srivastava ve diğerleri (1969) Saksena (1970) tarafından tanımlanmış ve Dinamik Programlama ile çözüm önerilmiştir.

UYGULAMA YERLERİ GSM operatörlerinin baz istasyonlarının yerleşim yerlerinin belirlenmesi problemi GSP bir alt problem olarak birçok ulaşım ve lojistik uygulamalarında ortaya çıkmaktadır. Malzeme akış sistem tasarımı Posta kutusuna dağıtım problemleri Araç Rotalama Problemleri Depolardaki vinç güzergahlarının programlaması Stok alanındaki malzeme toplama problemleri Uçaklar için havaalanı rotalaması Elektronik devre tasarımı

GGSP çözüm yaklaşımları-1 1. Karar modeline dayalı özel algoritmalar Laporte ve Nobert (1983) AGGSP Üstel sayıda kısıt Dal ve Sınır Laporte, Mercure ve Nobert (1987) SGGSP Dal ve kes Noon ve Bean (1991) Lagrangian Fishetti, Gonzales ve Toth (1995, 1997, 2002) Polihedral analiz Dallandır ve kes

GGSP çözüm yaklaşımları-2 2. GSP’ye dönüştürerek çözen yaklaşımlar Noon ve Bean (1991) n düğümlü AGGSP  n düğümlü AGSP Lien-Ma-Wah (1993) n düğümlü AGGSP  3n düğümlü GSP Dimitrijevic ve Saric(1997) n düğümlü AGGSP  2n düğümlü AGSP Laporte ve Semet (1997) SGGSP  STSP Ben-Arieh et al (2004) Bazı sezgiseller

ARAŞTIRMADA CEVAP ARANAN SORULAR GSP çözen çok sayıda algoritma olduğuna göre, GGSP’yi GSP’ye dönüştürerek çözen yaklaşımlardan hangisi daha kullanışlı olur? Geliştirilen karar modelleri üstel sayıda kısıttan oluştuğundan, doğrudan kullanılamamaktadır. GGSP için polinom sayıda kısıttan oluşan bir karar modeli geliştirilebilir mi? (2)’ye olumlu bir cevap verilebilirse yani yeni bir model önerilebilirse, GGSP’yi, GSP’ye dönüştürerek mi yoksa önerilen modelle mi çözmeli?

GSP DÖNÜŞÜMLÜ ÇÖZÜMLERİN KARŞILAŞTIRILMASI TSPLIB SONUÇLARI No Problem ismi DIMITRIJEVIC- SARIC Çözüm Süresi (sn) NOON-BEAN EN İYİ DEĞER 1 4br17 26.03 4.17 31 2 7ftv33 207.1 199.02 476 3 8ftv35 2305.8 1813.25 525 4 8ftv38 10152.46 6485.23 511

RASSAL PROBLEMLERİN SONUÇLARI-1 CPLEX 8.1 (Kullanılan Program) Bilgisayar Sistemi: 2 adet P.3 işlemci 1 GB RAM 4 Adet 76 GB’lık hardiskler 25 düğüm 5 salkım Cij~[50,99]

RASSAL PROBLEMLERİN SONUÇLARI-2 DIMITRIJEVIC-SARIC NOON-BEAN ORTALAMA 1760.10 sn. 445.42 sn. VARYANS 3755159.08 81181.86 STD. SAPMA 1937.82 sn. 284.92 sn.

ÖNERİLEN TAMSAYILI KARAR MODELİ Küme ve Parametreler G = (V, A) yönlü serimi V = {0, 1, 2, ..., n} düğüm kümesi A = {(i, j): i, j  V, i ≠ j} V kümesi V1, V2, ... Vk şeklinde karşılıklı ayrık ve boş olmayan k tane alt kümeye ayrılmış olsun V0 = {0} cij, (i, j)  A ayrıtının maliyeti

ÖNERİLEN TAMSAYILI KARAR MODELİ Karar Değişkenleri xij, (i, j)  A ayrıtı turdaysa 1, değilse 0 değerini alan tamsayılı karar değişkeni (i  Vq, j  Vp, q ≠ p, q, p = 1,...,k) up: p. salkımın turdaki durak numarası

ÖNERİLEN TAMSAYILI KARAR MODELİ

ÖNERİLEN TAMSAYILI KARAR MODELİ kısıtları altında

ASİMETRİK PROBLEMLER Problem Noon-Bean Çözüm Süresi (sn) Önerilen Model 4br17 41 0,01 7ftv33 199 0,54 8ftv35 1813 0,76 8ftv38 6485 2,52 9ftv44 - 18,71 10ftv47 21,43 10ry48 1687,27 11ft53 7,69 12ftv55 134,91 13ftv64 7,00 14ftv70 18,00

Laporte-Semet Dönüşümü SİMETRİK PROBLEMLER Problem Laporte-Semet Dönüşümü Çözüm Süresi (sn) Önerilen Model 3BURMA14 7,93 0,01 4GR17 506,71 0,04 5GR24 - 0,08 9SWİSS42 573 10HK48 2374

RASSAL OLARAK ÜRETİLEN ASİMETRİK PROBLEMLERİN SONUÇLARI Göstergeler Noon-Bean Önerilen Model Problem sayısı=30 Düğüm sayısı=25 Salkım sayısı=5 Ortalama süre (sn) 445,42 0,045333 Varyans 81181,86 0,000881 Düğüm sayısı=50 Salkım sayısı=10 - 1,203333 1,07183

RASSAL OLARAK ÜRETİLEN SİMETRİK PROBLEMLERİN SONUÇLARI Göstergeler Laporte-Semet Önerilen Model Problem sayısı=30 Düğüm sayısı=15 Salkım sayısı=3 Ortalama süre (sn) 137,9830 0,0137 Varyans 1131,3971 0,00003

SONUÇ VE ÖNERİLER GGSP için O(n2) yani polinom büyüklükte ilk model Gerek TSPLIB ve gerekse rassal olarak üretilmiş problemlerde, çözüm süresi yönüyle kesin üstünlük Hem asimetrik hem simetrik problemler için kullanılabilme Salkımlar arası öncelik veya benzeri özel kısıtların doğrudan yansıtılabilmesi GSP çözen özel algoritmalarla karşılaştırmalı analizler yapılacaktır. Genelleştirilmiş araç rotalama problemlerinin de benzer modelleri geliştirilebilir.

KAYNAKLAR Noon, C.E., Bean, J.C. An efficient transformation of the generalized traveling salesman problem, INFOR, 31(1), 39-44, 1993. Dimitrijevic, V., Saric, Z. An efficient of the generalized traveling salesman problem into the traveling salesman problem on digraphs, Informatics and Computer Science, 102, 105-110, 1997. Laporte, G., Asef-Vaziri, A., Sriskandarajah, C. Some applications of the generalized traveling salesman problem, Journal of the Operational Research Society, 47, 1461-1467, 1996. Ben-Arieh, D., Gutin, G., Penn, M., Yeo, A., Zverovitch, A. Transformations of generalized ATSP into ATSP, Operations Research Letters, 31, 357-365, 2003. Desrochers, M., Laporte, G. Improvements and extensions to the Miller-Tucker-Zemlin subtour elimination constraints, Operations Research Letters, 10, 27-36, 1991. GTSPLIB: http://www.cs.rhul.ac.uk/home/zvero/GTSPLIB TSPLIB: http://www.tsp.gatech.edu/apps/index.html

TEŞEKKÜR EDERİZ SORULAR???