SONLU ELEMANLAR DERS 2.

Slides:



Advertisements
Benzer bir sunumlar
Prof.Dr.Şaban EREN Yasar Üniversitesi Fen-Edebiyat Fakültesi
Advertisements

DİFERANSİYEL AKIŞ ANALİZİ
Kofaktör Matrisler Determinantlar Minör.
KARMA Ş IK SAYILAR Derse giriş için tıklayın... A. Tanım A. Tanım B. i nin Kuvvetleri B. i nin Kuvvetleri C. İki Karmaşık Sayının Eşitliği C. İki Karmaşık.
Cebirsel İfadeler’ de Toplama İşlemi
MODÜLER ARİTMETİK.
JEODEZİ I Doç.Dr. Ersoy ARSLAN.
BASİT ELEMANLARDA GERİLME ANALİZİ
ENERJİ, ENERJİ GEÇİŞİ VE GENEL ENERJİ ANALİZİ
Hidrolik Hesaplamalar
Bölüm 8 EKSERJİ: İŞ POTANSİYELİNİN BİR ÖLÇÜSÜ
Bölüm 8: EĞRİ UYDURMA Fizikte laboratuarda yapılan deneysel ölçümlerin ne kadar hata payı içerdiğini, veya belli teorik modellere ne kadar uyduğunu bilmek.
REAKSİYON KUVVETLERİ SERBEST GÖVDE DİYAGRAMLARI ve POISSON ORANI
Birinci Dereceden Denklemler
VEKTÖR-KUVVET-LAMİ TEOREMİ
2. BÖLÜM VEKTÖR-KUVVET Nicelik Kavramı Skaler Nicelikler
Lineer Sistemlerin Deprem Davranışı
Analiz Yöntemleri Çevre Yöntemi
Çizge Algoritmaları.
BİRİNCİ DERECEDEN BİR BİLİNMEYENLİ DENKLEMLER
MATRİSLER ve DETERMİNANTLAR
Temel Kanunlar ve Temel Elektronik
DERS 2 MATRİSLERDE İŞLEMLER VE TERS MATRİS YÖNTEMİ
Bölüm 4: Sayısal İntegral
Analiz Yöntemleri Çevre Yöntemi
ZORLANMIŞ TİTREŞİMLER
MATRİS-DETERMİNANT MATEMATİK.
Bölüm6:Diferansiyel Denklemler: Başlangıç Değer Problemleri
Bölüm 5 HAREKET KANUNLARI
GEOMETRİK PROGRAMLAMA
Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü
LOGARİTMİK DEKREMAN (LOGARITHMIC DECREMENT) :
SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ
BENZETİM Prof.Dr.Berna Dengiz 3. Ders Monte Carlo Benzetimi
RAYLEIGH YÖNTEMİ : EFEKTİF KÜTLE
SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ
SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ
SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ
Bu slayt, tarafından hazırlanmıştır.
Lineer Cebir Prof.Dr.Şaban EREN
SONLU ELEMANLAR DERS 5.
SONLU ELEMANLAR YÖNTEMİ
Analiz Yöntemleri Düğüm Analiz
MATEMATİK 1 POLİNOMLAR.
SONLU ELEMANLARA GİRİŞ DERSİ
SONLU ELEMANLAR DERS 7.
SONLU ELEMANLAR DERS 4.
SONLU ELEMANLAR DERS 3.
SONLU ELEMANLAR DERS 9.
Öğretmenin; Adı Soyadı :
Kapalı ve Açık Sistemler Arş. Gör. Mehmet Akif EZAN
SONLU ELEMANLAR DERS 8.
SONLU ELEMANLAR DERS 6.
Temel Kanunlar ve Temel Elektronik
YAPI DİNAMİĞİ Prof. Dr. Erkan ÇELEBİ
Lineer Denklem Sistemlerinin
SİMPLEKS METOT Müh. Ekonomisi.
Makine Mühendisliği Mukavemet I Ders Notları Doç. Dr. Muhammet Cerit
Zeminlerde Kayma Mukavemeti Kayma Göçmesi Zeminler genel olarak kayma yolu ile göçerler. Dolgu Şerit temel Göçme yüzeyi kayma direnci Göçme yüzeyi.
Yrd. Doç. Dr. Erbil KAVCI KAFKAS ÜNİVERSİTESİ MÜHENDİSLİK MİMARLIK FAKÜLTESİ KİMYA MÜHENDİSLİĞİ BÖLÜMÜ.
Eşdeğer Noktasal Kütleler Teorisi Yrd.Doç.Dr. Aysun Eğrisöğüt Tiryaki
HİPERSTATİK SİSTEMLER KUVVET YÖNTEMİ
GrafTeorisine İlişkin Bazı Tanımlar
Tanım: ( Temel Çevreler Kümesi)
AKIŞKANLARIN STATİĞİ (HİDROSTATİK)
F=hA BATMIŞ YÜZEYLERE GELEN HİDROSTATİK KUVVETLER
Genel Fizik Ders Notları
RİJİT CİSMİN İKİ BOYUTTA DENGESİ
MİMARLIK BÖLÜMÜ STATİK DERSİ
Lineer Denklem Sistemlerinin
Sunum transkripti:

SONLU ELEMANLAR DERS 2

Bir problemi sonlu elemanlarla formüle etmede üç yaklaşım vardır. Direk formülasyon Minimum toplam potansiyel enerji formülasyonu Ağırlıklı hata formülasyonu

DİREK FORMÜLASYON Direk formülasyonu bir örnekle açıklayalım: ÖRNEK: w1 Yanda boyutları verilen değişken kesitli çubuk üst kenarından sabitlenmiş olup alt kenarından P kuvveti ile yüklenmektedir. Elastisite modülü E olan bir malzemeden üretilmiş olan bu çubuğun uzunluğu boyunca farklı noktalarda ne kadar deplasman yaptığını bulunuz. Çözümde çubuğun ağırlığını ihmal ediniz. L y w2 P

ÖN İŞLEM (PREPROCESSING) İlk önce model elemanlara ve düğümlere bölünür. Sonucun hassasiyetini arttırmak için eleman ve düğüm sayısı arttırılır. Bu örnekte 5 düğüm ve 4 eleman kullanılacaktır.

1.Çubuğun eleman ve düğümlere ayrılması 2 2 u2 2.eleman l2 A2 3 3 u3 l3 3.eleman A3 4 4 u4 4.eleman A4 l4 5 5 u5 P P P

2. Bir eleman için çözüm geliştirilir. Bu eleman için ortalama gerilme: l Bu eleman için ortalama birim uzama: Dl Kesit alanı A F keş keş x Bu ifade F=k.x e benziyor F O halde olarak bulunur.

Yani modeli, kesit alanları farklı 4 yayın ucuca eklenmesi, bir ucunun sabitlenerek diğer ucundan kuvvetin uygulanması şeklinde düşünebiliriz. O halde

Tüm düğümler üzerine etkiyen kuvvetleri gösteren serbest cisim diyagramını çizersek Statik dengeden her bir düğüme etkiyen kuvvetlerin toplamının sıfır olması gereklidir. Buna göre 1. düğüm k1(u2-u1) k1(u2-u1) 2. düğüm k2(u3-u2) k2(u3-u2) 3. düğüm k3(u4-u3) k3(u4-u3) 4. düğüm k4(u5-u4) k4(u5-u4) 5. düğüm P

Bu eşitliği kuvvet terimlerinin eşitliğin diğer tarafına atarak tekrar düzenlersek: Bu denklemleri matris formunda yazarsak:

Matris ifadesinde uygulanan kuvvet ve reaksiyon kuvveti ayırarak düzenleme yaparsak: Bu ifadeyi genel bir şekilde yazarsak:

Sınır şartları uygulanırsa 1 nolu düğümün deplasmanı sıfırdır Sınır şartları uygulanırsa 1 nolu düğümün deplasmanı sıfırdır. Bu nedenle global direngenlik matrisinde u1 e karşılık gelen satır ve sütun 0 olurken köşe eleman 1 olur. Yani:

Bu yeni matris formu Gauss eliminasyon yöntemi ile çözülerek düğümlerdeki deplasman değerleri bulunur. Deplasman değerleri bulunduktan sonra önceki bağıntılardan reaksiyon kuvvetleri bulunabilir. Şimdi bir eleman için direngenlik matrisi ve global direngenlik matrisinin nasıl oluşturulduğunu inceleyelim.

3. Bir eleman için denklemler çıkarma fi=keş(ui+1-ui) Problemdeki her bir elemanda iki düğüm vardır. İki düğümle alakalı olarak tek yöne hareket var. O halde deplasmanları bakımından iki bilinmeyen var. İki bilinmeyeni bulmak için iki denkleme ihtiyaç var. i. düğüm ui i+1.düğüm Ui+1 fi+1=keş(ui+1-ui) veya fi=keş(ui-ui+1) Yanda görüldüğü gibi iç kuvvetleri gösterebiliriz. Statik denklemlerinden iç kuvvetlerin toplamının sıfır olduğunu söyleyebiliriz. i. düğüm ui i+1.düğüm Ui+1 fi+1=keş(ui+1-ui)

Deplasman matrisi Elemanın direngenlik matrisi İç kuvvetler matrisi

4. Sistemin tümünü temsil eden global direngenlik matrisinin bulunması Problemimizde 4 tane eleman ve 5 tane düğüm vardı. Serbestlik derecesi düğümün kaç yönde hareket ettiğini gösterir. Bizim problemimizde her düğüm sadece 1 yönde hareket etmektedir. O halde her düğüm bir serbestlik derecesine sahiptir. Global K matrisinin boyutları bu tanıma göre düğüm sayısı.serbestik derecesi x düğüm sayısı.serbestlik derecesi Sonuç olarak problemimizde K matrisi 5x5 boyutundadır.

1. elemanın direngenlik matrisi

2. elemanın direngenlik matrisi

3. elemanın direngenlik matrisi

4. elemanın direngenlik matrisi

Herbir elemanın glabal direngenlik matrisinin içinde bulunduğu matrisler toplanırsa

Sınır şartları uygulanırsa 1 nolu düğümün deplasmanı sıfırdır Sınır şartları uygulanırsa 1 nolu düğümün deplasmanı sıfırdır. Bu nedenle global direngenlik matrisinde u1 e karşılık gelen satır 0 olurken köşe eleman 1 olur. Yani:

Bu yeni matris formu Gauss eliminasyon yöntemi ile çözülerek düğümlerdeki deplasman değerleri bulunur. Deplasman değerleri bulunduktan sonra önceki bağıntılardan reaksiyon kuvvetleri bulunabilir.

Reaksiyon kuvvetlerinin hesabı 1. YOL: 2. YOL:

Gerilmelerin hesaplanması

U faktörü (Btu/hr.ft2.oF) ÖRNEK 2- ISI PROBLEMİ Direnç (hr.ft2.oF/Btu) U faktörü (Btu/hr.ft2.oF) 1. Dış film tabakası 0.17 5.88 2. Tahta kaplama 0.81 1.23 3. Dış sıva 1.32 0.76 4. İzolasyon 11.0 0.091 5. Alçı sıva 0.45 2.22 6. İç film tabakası 0.68 1.47 6 5 4 3 1 2 Bir evin dış duvarı, yukarıdaki tabloda gösterilen malzemeleri içermektedir. Odadaki sıcaklık Tiç=70 ºF olup dış ortam sıcaklığı Tdış=20 ºF dir. Duvarın kesit alanı 150 ft2 olduğuna göre duvar boyuncaki sıcaklık dağılımını bulunuz.

ÖN İŞLEM (PREPROCESSING) İlk önce model elemanlara ve düğümlere bölünür. Sonucun hassasiyetini arttırmak için eleman ve düğüm sayısı arttırılır. Bu örnekte 7 düğüm ve 6 eleman kullanılacaktır.

1.Problemin eleman ve düğümlere ayrılması T7=70ºF T1=20ºF 1 2 3 4 5 6 7 (1) (2) (3) (4) (5) (6)

2. Bir eleman için çözüm geliştirilir. Isı transferinin iletim ve taşınım olarak iki tipi vardır. (2), (3), (4) ve (5) nolu elemanlar iletim mevcut olup düzenli rejim halindeki termal davranışları Fourier Yasası kullanılarak modellenebilir. Enerji yüksek sıcaklıktan düşük sıcaklığa doğru moleküler aktivite tarafından taşınmaktadır. Isı transferi oranı olarak tanımlanabilecek ısı akısı, Fourier yasası ile Isı akışının sıcaklığın azalması yönünde olduğunu gösterir alan sıcaklık gradyanı ısı akısının x bileşeni ısı iletim katsayısı

Eşitlik farklı bir formda şu şekilde yazılabilir: U ısı iletim faktörü diye adlandırılırken birim alandan geçen ısı geçişini gösterir. Isı direncinin tersidir ve U=k/l dir. O halde: Ti+1 qx Ti x

(1) ve (6) nolu elemanların ısı davranışı Newton’un soğuma yasası kullanılarak modellenebilir. Taşınım ısı transferi, hareket halindeki bir akışkanın farklı sıcaklıktaki bir yüzeye temas etmesi sonucu olur. Newtonun soğuma yasası ile verilen ısı akısı; ısı taşınım katsayısı alan ısı akısı Akışkanın sıcaklığı yüzey sıcaklığı

U faktörü kullanılarak bu denklem farklı bir formda yazılabilir U faktörü kullanılarak bu denklem farklı bir formda yazılabilir.U=h dır. O halde; Düzenli rejim koşullarında yüzeydeki enerji dengesi, yüzeyden, iletim ve taşınımla olan ısı akılarının birbirine eşit olması gerektiğini vurgular. l qtaşınım qiletim Ti+1 Ti=Ts k Tf x

Duvarın dış yüzeyinde iletimden dolayı olan ısı kaybı taşınımla olan ısı kaybına eşit olmalıdır. Duvarın içerisinde ise Duvarın iç yüzeyinde iletimden dolayı olan ısı kaybı taşınımla olan ısı kaybına eşit olmalıdır.

Bilinen sıcaklıklarla (T1=20 ºF ve T7=70 ºF) alakalı olan terimleri bilinmeyen sıcaklıklarla alakalı olan terimlerden ayırırsak:

Bunu matris formunda yazarsak Global direngenlik matrisi=[K]G Burada başlangıç koşulları uygulanmış durumdadır. Reaksiyon kuvvetleri de söz konusu olamaz. Gauss eliminasyon yöntemi ile bu matris çözülebilir.

3. Bir eleman için denklemler çıkarma Problemdeki her bir elemanda iki düğüm vardır. Her düğümün bir serbestlik derecesi vardır. Her eleman için iki denklem çıkarılabilir. Bu denklemler düğümlerdeki sıcaklıkları ve eşdeğer direngenlik matrislerini içermelidir.

İletim için ısı akıları Matris formunda sıcaklık matrisi İletim için direngenlik matrisi Isı akısı matrisi Matris formunda Taşınım için ısı akıları sıcaklık matrisi taşınım için direngenlik matrisi Isı akısı matrisi

1. elemanın direngenlik matrisi

2. elemanın direngenlik matrisi

3. elemanın direngenlik matrisi

4. elemanın direngenlik matrisi

5. elemanın direngenlik matrisi

6. elemanın direngenlik matrisi

Herbir elemanın glabal direngenlik matrisinin içinde bulunduğu matrisler toplanırsa

Sınır şartları uygulanırsa 1 nolu düğümün ve 7 nolu düğümün sıcaklıkları biliniyor. Bunla alakalı düzenlemeler yapılırsa.

Matris düzenlemesi yapılırsa Bu matrisi Gauss eliminasyon metodu ile çözebilir ve bilinmeyen terimleri elde edebiliriz.