SONLU ELEMANLAR DERS 2

Bir problemi sonlu elemanlarla formüle etmede üç yaklaşım vardır. Direk formülasyon Minimum toplam potansiyel enerji formülasyonu Ağırlıklı hata formülasyonu

DİREK FORMÜLASYON Direk formülasyonu bir örnekle açıklayalım: ÖRNEK: w1 Yanda boyutları verilen değişken kesitli çubuk üst kenarından sabitlenmiş olup alt kenarından P kuvveti ile yüklenmektedir. Elastisite modülü E olan bir malzemeden üretilmiş olan bu çubuğun uzunluğu boyunca farklı noktalarda ne kadar deplasman yaptığını bulunuz. Çözümde çubuğun ağırlığını ihmal ediniz. L y w2 P

ÖN İŞLEM (PREPROCESSING) İlk önce model elemanlara ve düğümlere bölünür. Sonucun hassasiyetini arttırmak için eleman ve düğüm sayısı arttırılır. Bu örnekte 5 düğüm ve 4 eleman kullanılacaktır.

1.Çubuğun eleman ve düğümlere ayrılması 2 2 u2 2.eleman l2 A2 3 3 u3 l3 3.eleman A3 4 4 u4 4.eleman A4 l4 5 5 u5 P P P

2. Bir eleman için çözüm geliştirilir. Bu eleman için ortalama gerilme: l Bu eleman için ortalama birim uzama: Dl Kesit alanı A F keş keş x Bu ifade F=k.x e benziyor F O halde olarak bulunur.

Yani modeli, kesit alanları farklı 4 yayın ucuca eklenmesi, bir ucunun sabitlenerek diğer ucundan kuvvetin uygulanması şeklinde düşünebiliriz. O halde

Tüm düğümler üzerine etkiyen kuvvetleri gösteren serbest cisim diyagramını çizersek Statik dengeden her bir düğüme etkiyen kuvvetlerin toplamının sıfır olması gereklidir. Buna göre 1. düğüm k1(u2-u1) k1(u2-u1) 2. düğüm k2(u3-u2) k2(u3-u2) 3. düğüm k3(u4-u3) k3(u4-u3) 4. düğüm k4(u5-u4) k4(u5-u4) 5. düğüm P

Bu eşitliği kuvvet terimlerinin eşitliğin diğer tarafına atarak tekrar düzenlersek: Bu denklemleri matris formunda yazarsak:

Matris ifadesinde uygulanan kuvvet ve reaksiyon kuvveti ayırarak düzenleme yaparsak: Bu ifadeyi genel bir şekilde yazarsak:

Sınır şartları uygulanırsa 1 nolu düğümün deplasmanı sıfırdır Sınır şartları uygulanırsa 1 nolu düğümün deplasmanı sıfırdır. Bu nedenle global direngenlik matrisinde u1 e karşılık gelen satır ve sütun 0 olurken köşe eleman 1 olur. Yani:

Bu yeni matris formu Gauss eliminasyon yöntemi ile çözülerek düğümlerdeki deplasman değerleri bulunur. Deplasman değerleri bulunduktan sonra önceki bağıntılardan reaksiyon kuvvetleri bulunabilir. Şimdi bir eleman için direngenlik matrisi ve global direngenlik matrisinin nasıl oluşturulduğunu inceleyelim.

3. Bir eleman için denklemler çıkarma fi=keş(ui+1-ui) Problemdeki her bir elemanda iki düğüm vardır. İki düğümle alakalı olarak tek yöne hareket var. O halde deplasmanları bakımından iki bilinmeyen var. İki bilinmeyeni bulmak için iki denkleme ihtiyaç var. i. düğüm ui i+1.düğüm Ui+1 fi+1=keş(ui+1-ui) veya fi=keş(ui-ui+1) Yanda görüldüğü gibi iç kuvvetleri gösterebiliriz. Statik denklemlerinden iç kuvvetlerin toplamının sıfır olduğunu söyleyebiliriz. i. düğüm ui i+1.düğüm Ui+1 fi+1=keş(ui+1-ui)

Deplasman matrisi Elemanın direngenlik matrisi İç kuvvetler matrisi

4. Sistemin tümünü temsil eden global direngenlik matrisinin bulunması Problemimizde 4 tane eleman ve 5 tane düğüm vardı. Serbestlik derecesi düğümün kaç yönde hareket ettiğini gösterir. Bizim problemimizde her düğüm sadece 1 yönde hareket etmektedir. O halde her düğüm bir serbestlik derecesine sahiptir. Global K matrisinin boyutları bu tanıma göre düğüm sayısı.serbestik derecesi x düğüm sayısı.serbestlik derecesi Sonuç olarak problemimizde K matrisi 5x5 boyutundadır.

1. elemanın direngenlik matrisi

2. elemanın direngenlik matrisi

3. elemanın direngenlik matrisi

4. elemanın direngenlik matrisi

Herbir elemanın glabal direngenlik matrisinin içinde bulunduğu matrisler toplanırsa

Sınır şartları uygulanırsa 1 nolu düğümün deplasmanı sıfırdır Sınır şartları uygulanırsa 1 nolu düğümün deplasmanı sıfırdır. Bu nedenle global direngenlik matrisinde u1 e karşılık gelen satır 0 olurken köşe eleman 1 olur. Yani:

Bu yeni matris formu Gauss eliminasyon yöntemi ile çözülerek düğümlerdeki deplasman değerleri bulunur. Deplasman değerleri bulunduktan sonra önceki bağıntılardan reaksiyon kuvvetleri bulunabilir.

Reaksiyon kuvvetlerinin hesabı 1. YOL: 2. YOL:

Gerilmelerin hesaplanması

U faktörü (Btu/hr.ft2.oF) ÖRNEK 2- ISI PROBLEMİ Direnç (hr.ft2.oF/Btu) U faktörü (Btu/hr.ft2.oF) 1. Dış film tabakası 0.17 5.88 2. Tahta kaplama 0.81 1.23 3. Dış sıva 1.32 0.76 4. İzolasyon 11.0 0.091 5. Alçı sıva 0.45 2.22 6. İç film tabakası 0.68 1.47 6 5 4 3 1 2 Bir evin dış duvarı, yukarıdaki tabloda gösterilen malzemeleri içermektedir. Odadaki sıcaklık Tiç=70 ºF olup dış ortam sıcaklığı Tdış=20 ºF dir. Duvarın kesit alanı 150 ft2 olduğuna göre duvar boyuncaki sıcaklık dağılımını bulunuz.

ÖN İŞLEM (PREPROCESSING) İlk önce model elemanlara ve düğümlere bölünür. Sonucun hassasiyetini arttırmak için eleman ve düğüm sayısı arttırılır. Bu örnekte 7 düğüm ve 6 eleman kullanılacaktır.

1.Problemin eleman ve düğümlere ayrılması T7=70ºF T1=20ºF 1 2 3 4 5 6 7 (1) (2) (3) (4) (5) (6)

2. Bir eleman için çözüm geliştirilir. Isı transferinin iletim ve taşınım olarak iki tipi vardır. (2), (3), (4) ve (5) nolu elemanlar iletim mevcut olup düzenli rejim halindeki termal davranışları Fourier Yasası kullanılarak modellenebilir. Enerji yüksek sıcaklıktan düşük sıcaklığa doğru moleküler aktivite tarafından taşınmaktadır. Isı transferi oranı olarak tanımlanabilecek ısı akısı, Fourier yasası ile Isı akışının sıcaklığın azalması yönünde olduğunu gösterir alan sıcaklık gradyanı ısı akısının x bileşeni ısı iletim katsayısı

Eşitlik farklı bir formda şu şekilde yazılabilir: U ısı iletim faktörü diye adlandırılırken birim alandan geçen ısı geçişini gösterir. Isı direncinin tersidir ve U=k/l dir. O halde: Ti+1 qx Ti x

(1) ve (6) nolu elemanların ısı davranışı Newton’un soğuma yasası kullanılarak modellenebilir. Taşınım ısı transferi, hareket halindeki bir akışkanın farklı sıcaklıktaki bir yüzeye temas etmesi sonucu olur. Newtonun soğuma yasası ile verilen ısı akısı; ısı taşınım katsayısı alan ısı akısı Akışkanın sıcaklığı yüzey sıcaklığı

U faktörü kullanılarak bu denklem farklı bir formda yazılabilir U faktörü kullanılarak bu denklem farklı bir formda yazılabilir.U=h dır. O halde; Düzenli rejim koşullarında yüzeydeki enerji dengesi, yüzeyden, iletim ve taşınımla olan ısı akılarının birbirine eşit olması gerektiğini vurgular. l qtaşınım qiletim Ti+1 Ti=Ts k Tf x

Duvarın dış yüzeyinde iletimden dolayı olan ısı kaybı taşınımla olan ısı kaybına eşit olmalıdır. Duvarın içerisinde ise Duvarın iç yüzeyinde iletimden dolayı olan ısı kaybı taşınımla olan ısı kaybına eşit olmalıdır.

Bilinen sıcaklıklarla (T1=20 ºF ve T7=70 ºF) alakalı olan terimleri bilinmeyen sıcaklıklarla alakalı olan terimlerden ayırırsak:

Bunu matris formunda yazarsak Global direngenlik matrisi=[K]G Burada başlangıç koşulları uygulanmış durumdadır. Reaksiyon kuvvetleri de söz konusu olamaz. Gauss eliminasyon yöntemi ile bu matris çözülebilir.

3. Bir eleman için denklemler çıkarma Problemdeki her bir elemanda iki düğüm vardır. Her düğümün bir serbestlik derecesi vardır. Her eleman için iki denklem çıkarılabilir. Bu denklemler düğümlerdeki sıcaklıkları ve eşdeğer direngenlik matrislerini içermelidir.

İletim için ısı akıları Matris formunda sıcaklık matrisi İletim için direngenlik matrisi Isı akısı matrisi Matris formunda Taşınım için ısı akıları sıcaklık matrisi taşınım için direngenlik matrisi Isı akısı matrisi

1. elemanın direngenlik matrisi

2. elemanın direngenlik matrisi

3. elemanın direngenlik matrisi

4. elemanın direngenlik matrisi

5. elemanın direngenlik matrisi

6. elemanın direngenlik matrisi

Herbir elemanın glabal direngenlik matrisinin içinde bulunduğu matrisler toplanırsa

Sınır şartları uygulanırsa 1 nolu düğümün ve 7 nolu düğümün sıcaklıkları biliniyor. Bunla alakalı düzenlemeler yapılırsa.

Matris düzenlemesi yapılırsa Bu matrisi Gauss eliminasyon metodu ile çözebilir ve bilinmeyen terimleri elde edebiliriz.