Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER SAYISAL YÖNTEMLER Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 10.HAFTA İÇERİĞİ

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü İNTERPOLASYON (Ara değer bulma) SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. İnterpolasyon işlemi, bilinen veri noktaları arasındaki bilinmeyen değerin tahmin edilmesidir. Genellikle tablo halinde verilen değerleri kullanarak tabloda olmayan bir değerin belirlenmesi gerekir. Bu işlem için interpolasyon kullanılır. İnterpolasyon işleminde bilinmeyen bir f(x) fonksiyonun; xo, x1, x2,…xn ayrık noktaları için verilen f(xo), f(x1), f(x2) … f(xn) değerlerini kullanarak bu fonksiyondan daha basit bir fi(x) interpolasyon fonksiyonu elde edilir. interpolasyon fonksiyonu fi(x) polinom, trigonometrik, üslü, logoritmik, ya da özel bir fonksiyon olabilir. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü İNTERPOLASYON (Ara değer bulma) SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Genellikle interpolasyon fonksiyon olarak polinomlar kullanılır. Gösterim ise; şeklindedir. n+1 adet nokta için tüm noktalardan geçen n. dereceden bir polinom vardır. Polinom interpolasyonunda n+1 adet nokta için tüm noktalardan geçen n. dereceden bir polinom belirlenir. Daha sonra bu polinom kullanılarak ara değer hesaplanır. n+1 veri noktasından geçen n. dereceden bir polinomun çok sayıda ifade ediliş şekli vardır. Bunlardan en çok kullanılan ve bilgisayar uygulamalarına uygun olanları Newton ve Langrange polinomlarıdır. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü İNTERPOLASYON (Ara değer bulma) SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. y x y=f(x) aı a b Doğrusal polinom 1.dereceden Parabolik 2.dereceden Kubik polinom 3.dereceden Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Genel bir yöntem verilmeden önce 1. ve 2. dereceden interpolasyonlar basit ve sık kullanılmalarından dolayı anlatılacaktır. a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Doğrusal İnterpolasyon SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. En basit interpolasyon iki nokta arasında doğru çizmektir. Bu durumda interpolasyon fonksiyonu 1. dereceden polinom yani doğru denklemi olur. Bu şekildeki interpolasyona doğrusal intepolasyon denilir. y fi(x)  1.dereceden interpolasyon fonksiyonu fi(x) y x y=f(x) aı a b f(x1) f(x) Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü fi(x) =ao+a1x şeklinde olacaktır fi(x) f(xo) f(x)  gerçek fonksiyon xo x x1 a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x Bilinen noktalar olan xo ve x1 için gerçek fonksiyonun değeri ile, interpolasyon fonksiyonun değeri aynı olacaktır. x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. f(xo) = fi(xo) ve f(x1) = fi(x1) olur . Bu değerler interpolasyon denklemine xo ve x1’in yerine konulmasıyla ile aynı olacaktır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Denk.(1) f(xo) = ao+a1xo Denk (2) f(x1) = ao+a1x1 yazılır. İki bilinmeyen (ao ve a1) ve iki denklem olduğundan; Denk (3) ao= f(xo)-a1xo bulunur ve 2. denklemde yerine yazılırsa; f(x1) = f(xo)- a1xo+a1x1 = f(xo) + a1(x1-xo) y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü bulunur. Bu 3. denklemde yerine yazılırsa; a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü İNTERPOLASYON (Ara değer bulma) SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. elde edilir. Bu interpolasyon denkleminde yerine konulursa; y x y=f(x) aı a b Kesme noktası Eğim Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Diğer bir yaklaşım ise üçgenlerin benzerliğinden yararlanılarak yazılır a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca ve buradan fi(x) çekilirse; x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. Genel olarak veriler ne kadar dar olursa, yaklaştırma da o kadar iyi olur.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Örnek SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. f(x)=1/x fonksiyonun xo= 1 ve x1= 5 için değerlerini kullanarak x=3 için değerini doğrusal interpolasyon yöntemi ile bulunuz. y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Örnek SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. olduğuna göre x= 1.5 için değeri hesaplayınız x y 1 2.718282 2 7.389056 y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Örnek SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. (ex fonksiyonu için yandaki değerleri aldık) verilere göre x= 2.5 için y değerini doğrusal interpolasyon uygulayarak hesaplayınız x y 2 7.38906 3 20.0855 y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü 2.dereceden interpolasyon SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Doğrusal interpolasyon ile bir eğriye bir doğru ile yaklaştırılma yapıldığından hata oluşmaktadır. İnterpolasyon için tahmini iyileştirmenin yolu noktaları birleştiren doğru yerine eğri kullanmaktır. Eğri, eğer bilinen üç nokta var ise, ikinci derece bir polinom (parabol) ile tahmin yapılabilir. 2.dereceden bir polinom: y x y=f(x) aı a b (1) (1) yazılacağı gibi Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü (2) şeklinde yazılabilir a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca eşitliği vardır x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. yukarıdaki (2) nolu denklemde x yerine xo yazılırsa,

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. bulunur. Aynı şekilde x1 yazıldığında bulunur. Son olarak x2 yazıldığında y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü elde edilir a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Örnek SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. n x y 0 1 0 1 3 1.09861 2 5 1.60944 Verilen üç noktadan geçen 2. dereceden polinom uydurun ve x=4 için y yi bulun . y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Bu fonksiyon f(x)= lnx ol.dan gerçek değer a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. x=4 için

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Newton Bölünmüş Fark İnterpolasyon Polinomları SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. 2.dereceden elde edilen polinom fonksiyonunu n+1 veri için n. dereceden bir polinom uydurulması amacı ile genelleştirmek mümkündür. n.dereceden bir polinom; y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü şeklindedir. Buradaki bo, b1…bn katsayıları veri noktaları kullanılarak bulunabilir. a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır. . olur. Burada köşeli parantezli fonksiyon hesaplamaları sonlu bölünmüş farklardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Birinci dereceden sonlu bölünmüş fark; İkinci dereceden sonlu bölünmüş fark; y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü n. dereceden sonlu bölünmüş fark; a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Sonlu farklar tablo yardımı ile de hesaplanabilir i xi f(x) Birinci İkinci Üçüncü xo f(xo) f[x1,xo] f[x2,x1,xo] f[x3,x2,x1,xo] 1 x1 f(x1) f[x2,x1] f[x3,x2,x1] 2 x2 f(x2) f[x3,x2] 3 x3 f(x3) y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Örnek SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Aşağıdaki tabloda verilen değerleri kullanarak fi(3) değerini Newton bölünmüş farklar yöntemi ile hesaplayınız. n x f(x) 0 1 1 1 4 3 5 9 8 5 y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. n x f(x) 0 1 1 1 4 3 5 9 8 5 y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. n x f(x) 0 1 1 1 4 3 5 9 8 5 y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Aynı soruyu bölünmüş sonlu fark tablosu hazırlayarak çözelim. n xn f(x) Birinci İkinci Üçüncü 1 4 3 2 5 9 8 y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.

Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü Ödev SAYISAL YÖNTEMLER TEOREM 2 Eğer f(x), x=a ve x=b aralığında sürekli ve aynı zamanda x arttığında fonk.da artıyorsa ya da x azaldığında fks.da azalıyorsa f(x)=0 değerini sağlayan bir kök vardır. Newton bölünmüş farklar yöntemleri ile interpolasyon fonksiyonunu bulunuz. n x f(x) 0 2 5 1 4 8 7 2 9 10 11 7 y x y=f(x) aı a b Yıldız Teknik Üniversitesi Makina Müh. Bölümü a b 8 y x soldan yaklaşınca sağdan yaklaşınca x arttığında fks artıyor, fakat sürekli değil. Buna rağmen iki adet kök vardır.