TEMEL KURAM VE AÇMAZLARIYLA BİLGİSAYAR BİLİMİ Yılmaz Kılıçaslan

DİĞER BİLİMLERLE İLİŞKİSİ İÇİNDE Sunum Planı Hilbert’in Problemi Hilbert’e Yanıtlar Bilgisayar Bilimi Bilgisayım Kuramı Enformasyon Kuramı Hesaplanabilirlik Sayılabilir Kümeler Sayılamaz Kümeler Karmaşıklık Verimli Hesaplama Chomsky Hiyerarşisi DİĞER BİLİMLERLE İLİŞKİSİ İÇİNDE BİLGİSAYAR BİLİMİ

Hilbert’in Problemi (1928) Formel Dil ALGORİTMA ? Doğru / Yanlış Matematiksel İfade (Önerme) Algoritma: Bir problemi sonlu sayıda adımla etkin (mekanik) olarak çözen yöntem.

‘Bütün Doğrulara’ Erişme Girişimi Russellın Paradoks’u: Kendi kendisinin elemanı olmayan bütün kümeleri içeren küme. Matematiğin bütün doğrularını, yüklem mantığı içinde, iyi tanımlanmış bir aksiyomlar ve çıkarım kuralları kümesinden çıkarma girişimi.

Gödel’in Tamlık (Completeness) Kuramı 1930 doktora tezinde Gödel, Whitehead ve Russell’ın Principia Mathematica’sına dayanarak birinci-dereceden yüklem mantığının tam bir aksiyomatizasyonunu sundu: Bir formülün, ancak ve ancak ‘geçerli’ olması halinde bu akiyomlardan yola çıkarak ispatlanabileceğini ispatladı. Bu, Hilbert’in problemini çözme yönünde atılmış bir adımdı.

Erişilemeyen Doğrular (ve Yanlışlar)

Hilbert’e Kötü Haberler Aritmetik Sistemlerin Eksikliği (Kurt Gödel) (Incompleteness of Systems of Arithmetic) (Birinci Dereceden Yüklem) Mantığında Karar Verilmezlik (Alonzo Church) (Undecidability of (First Order) Logic) Doğruluğun Tanımsızlığı (Alfred Tarski) (Undefinability of Truth) Fonksiyonların Hesaplanamazlığı / Durma Problemi (Alan Turing) (Uncomputability of Functions / Halting Problem)

Aristo Mantığının Temel İlkeleri Her önerme ya doğru ya yanlıştır. Bu ikisinin arasında ya da dışında üçüncü bir olasılık yoktur.

Bütün doğrulara erişme çabası Doğal dilin bütün çok anlamlılıklarından, muğlaklıklarından ve öznel ifadelerinden arınmış bir characteristica universalis, bir evrensel dil, geliştirilmesini önerdi. Bu dilin oluşturulmasında, sayıların asal çarpanlarının tek olmasına özel bir rol yükledi. Bu dilin sembollerinin manipülasyonu, ars combinatoria, doğrudan düşüncelerimizin işleyişine karşılık gelecekti. Kant’ın kötümser öngörüsünden yaklaşık yüz yıl kadar önce, Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) mantık alanında, modern mantık kuramlarında halen daha kullanılan düşünce ve yöntemler geliştirdi. Böylelikle, calculus ratiocinator içinde hesaplama yaparak, doğal dil ile ifade edilmiş düşünce zincirlerinin geçerliliğini kontrol etmek mümkün olacaktı: “Öyleyse, artık düşüncelerin farklılaşması halinde, nasıl iki hesap makinesi tartışmıyorsa, iki filozofun da tartışmasına gerek kalmayacak. Kağıdı kalemi ellerine alıp, abaküsün karşısına geçip (eğer istiyorlarsa bir arkadaşlarının tanıklığında) birbirlerine calculesmus demeleri yeterli olacak.”

Megara Okulu - Eubulides Atina’daki felsefe okuluna rakip olan Megara Okulu Aristo’nun hep canını sıkmıştır. Bu Stoacı okulun kurucusu yine bir Öklid’dir. Megara okulundan filozof Eubulides (MÖ. 405 – 330) Aristocu paradigmadaki problemleri dört paradoks ile açığa çıkarmıştır (Seuren 2005): Kel Adam ya da Yığın (The Heap) Şapkalı Adam, Fark Edilmeyen Adam ya da Elektra (The Hooded Man, the Unnoticed Man, or the Electra) Boynuzlu Adam (The Horned Man) Yalancı (The Liar)

Kel Adam Paradoksu A: ‘Eğer bir adamın yalnızca bir saç teli olsaydı, ona kel der miydiniz? B: Evet. A: Eğer iki saç teli olsaydı kel der miydiniz? A: Eğer üç saç teli olsaydı, … vs. A: Öyleyse kel olma durumu ile kel olmama durumu arasındaki sınırı nereye çizeceğiz?’

Yığın Paradoksu Bir çıkarım şeması: N kum tanesi bir kum yığınıdır. (Öncül 1) N kum tanesini 1 eksiltirsek yine bir kum yığını elde ederiz. (Öncül 2) ------------------------------------------------------------------------- (N-1) kum tanesi bir kum yığınıdır. (Sonuç) Uygulama: 1,000,000 kum tanesi bir kum yığınıdır. (Öncül 1) 1,000,000 kum tanesini 1 eksiltirsek yine bir kum yığını elde ederiz. (Öncül 2) ----------------------------------------------------------------------- 999,999 grains of sand is a heap of sand. (Conclusion) Çıkarım şemasını her defasında elde ettiğimiz sonuçla başlayarak defalarca uygularsak, neticede bir kum yığınının tek bir kum tanesinden oluşabileceği sonucunu kabul etmek zorunda kalırız.

Elektra Paradoksu While Agamemnon, king of Mycenes, was away to fight in the Trojan war, his wife Clytaemnestra had set up house with another man. Obviously, when Agamemnon was due back, there would be a problem. So when Agamemnon came home Clytaemnestra let him a warm bath, during which she chopped his head off with a sword. That would have been the end of the affair, had it not been for the children, in particular the son Orestes, who now had the holy duty to avenge his father. However, in order to do that, he would have to kill his mother, which would be a heinous crime. In order to sort out his moral dilemma, Orestes went to stay with an uncle for a while. At the end of that period he has made up his mind and has decided that the right thing to do, after all, is to kill his mother. So he returns to Mycenes, but, sensibly fearing to receive a treatment similar to his father’s, he disguises himself as a beggar so as not to be recognized. He then knocks at the gate and is let in. His sister Electra has him shown to the kitchen and given some soup. At this point in the story, Eubulides steps in and asks: ‘Is the sentence Electra knows that her brother Orestes is in the kitchen true or false?’

Boynuzlu Adam Paradoksu What you have not lost, you have. But you have not lost horns. Therefore you have horns.

Yalancının Paradoksu ‘Şu an bu cümleyle söylediğim yanlıştır.’ ‘Aşağıdaki cümle yanlıştır.’ ‘Yukarıdaki cümle doğrudur.’

Gödel’in Eksiklik Teoremi Gödel Yalancının Paradoksunu aşağıdaki şekilde değiştirdi: “Bu önerme ispatlanabilir değildir.” … Aritmetiğin her tutarlı biçimselleştirilmesi için öyle aritmetik doğrular vardır ki, bunlar bu biçimsel sistem içinde ispatlanabilir değillerdir.

Rüyanın Sonu

Durma Problemi Program ALGORİTMA (BİLGİSAYIM MODELİ) Durur / Durmaz ? Input Alan Turing 1936’da, Durma Problemini bütün program-input çiftleri için çözebilecek genel bir algoritmanın olmadığını ispatlamıştır.

Tipik Matematiksel Bilgisayım Modelleri Durum Modelleri Sonlu Durum Otomatları Bask-Bırak Otomatları Turing Makineleri vs. Lambda Calculus gibi fonksiyonel modeller Mantık programlama gibi mantıksal modeller Markov algoritmaları Formel sistemler

Bilgisayar Bilimi Bilgisayım Kuramı Enformasyon Kuramı

Hesaplanabilirlik Sayılabilir Kümeler Sayılamaz Kümeler

Sayılabilir Kümeler Tamsayılar Rasyonel Sayılar

Sayılamaz Kümeler Reel Sayılar Karmaşık Sayılar

Karmaşıklık Verimli Hesaplama (Efficient Computation) NP Problemleri Üstel Patlama

Verimli ve Verimsiz Algoritmalar Verimli algoritmaların zaman karmaşılığı: O(n) O(nlogn) O(n10) vs. Verimsiz algoritmaların zaman karmaşılığı: O(nlog n) O(2n) O(n!) Çok terimli (Polynomial) Bir c sabiti için O(nc) Çok terimli değil

"İyi Algoritmalar" An explanation is due on the use of the words "efficient algorithm"…I am not prepared to set up the machinery necessary to give it formal meaning, nor is the present context appropriate for doing this…For practical purposes the difference between algebraic and exponential order is more crucial than the difference between [computable and not computable]… (Paths, Trees and Flowers, Jack Edmonds, 1965)

P versus NP NP contains lots of problems we don’t know to be in P Classroom Scheduling Packing objects into bins Scheduling jobs on machines Finding cheap tours visiting a subset of cities Allocating variables to registers Finding good packet routings in networks Decryption … Hence proving P = NP would break cryptosystems

Kaynak Computers and Intractablity: by Mike Garey and David Johnson A guide to the Theory of NP-completeness by Mike Garey and David Johnson

Chomsky Hiyerarşisi Otomatlar Diller Turing Machine TİP 0 R.E. TİP 1 Bağlama-duyarlı ATN TİP 2 Bağlamdan-bağımsız RTN Düzenli Diller FSA TİP 3

Bir Kognitif Hiyerarşi Denemesi Bilişsel Yetiler Bilişsel Araçlar Akıl Mantık Turing Machine Anlam ATN Semantik Bellek RTN Sentaks Morfoloji Özyineleme FSA

En Kısa Özet Bilgisayar Bilimi kuramlarını içerir. Bilgisayım Kuramı Bilgisayım ve Enformasyon kuramlarını içerir. Bilgisayım Kuramı Hesaplanabilirlik ve Karmaşıklık alt kuramlarını barındırır.