POLİNOMLARIN KÖKLERİNİ BELİRLEMEYE İLİŞKİN YÖNTEMLER VE BU YÖNTEMLERİN SİSTEM KARARLILIĞIYLA OLAN İLİŞKİSİ Hazırlayan:Cihan Soylu

Sistemler Yöntemler Ayrık Zamanlı Sistemlerde denge noktaları ve kararlılık Periyodik Çözümler

SİSTEMLER Sürekli zamanlı sistemler Ayrık zamanlı sistemler

Sistemlerin kararlılığı incelenmek istendiği takdirde o sisteme ilişkin karakteristik polinomun köklerinin yerini belirlemek gerekmektedir.Ayrık ve sürekli zamanlı sistemlerde bu işe yarayan yöntemler bulunmaktadır. Sürekli zamanlı Ayrık zamanlı - Routh-Hurwitz kararlılık - Juri kararlılık testi kriteri - Nyquist kararlılık kriteri

Peki kararlı bir sistem için kökler nerede olmalıdır? Ayrık zamanlı sistemlerde karakteristik polinomun kökleri birim çemberin içinde yer almalıdır. Sürekli zamanlı sistemlerde karakteristik polinomun kökleri sol yarı düzlemde ve ya sanal eksen üzerinde katsız ise sistem kararlıdır. x y -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6

Routh-Hurwitz Kararlılık Kriteri Routh-Hurwitz kararlılık kriteri sürekli zamanlı sistemler için geçerlidir. Karakteristik polinomun köklerinin sol yarı düzlemde olup olmadiğini söyler. karakteristik polinomuyla verilen bir sistem düşünelim.Polinomun katsayılarıyla şekildeki gibi bir tablo olusturalım.

Tablo oluşturulduktan sonra ilk sütundaki elemanlar aynı işarette ise sistem kararlıdır.Yani kökler sol yarı düzlemde. Örnek:

Juri Kararlılık Testi Juri kararlılık testi ayrık zamanlı sistemler üzerinde uygulanır. Karakteristik polinomu; ile verilen ayrık zamanlı bir sistem düşünelim. Juri tablosunu oluşturmadan önce bakılması gereken iki koşul bulunmaktadır. 1. 2.

Önceki yansıda bahsedilen iki koşul sağlanmaz ise Juri tablosunu oluşturmaya gerek kalmaksızın sistem kararsızdır. Eğer koşullar sağlanırsa tablo şu şekilde oluşturulur: Sıra 1 2 3 4 . 2N-3

Tablo oluşturulduktan sonra aşağıdaki koşullara bakılır; Bu koşulların tamamı sağlanırsa kökler birim çemberin içindedir yani sistem kararlıdır.

Ayrık Zamanlı Sistemlerde Denge Noktaları Denge noktası (fixed point)

Yukarıdaki şekilde görüldüğü gibi iki denge noktası bulunmaktadır. Bu denge noktalarından biri kararlı diğeri ise kararsızdır.Kararlı denge noktasının özelliği başlangıç koşuluna bağlı olmaksızın sistemin o noktaya dönmesidir.

Kararsız denge noktasını kararlı hale getirmek: Sistem Olacak şekilde seçilen ve değerleriyle geri besleme yapılarak sistem kararlı hale getirilmiş olur.

Periyodik noktalar: Logistic Equation

olursa çevrim 2 (2-cycle) çözümler kararlı

için sistem sonsuz periyodik çözüme sahiptir.(Kaotik) Bu durumda sistemi bir periyotlu çözüm için kararlı hale getirelim. Elde edilen polinoma Juri kararlılık kriteri uygulanarak kökler birim çember içinde kalacak şekilde K ve değerleri bulunur. K=1/3 ve = 2 için çözüm kararlı hale gelir.

Kaynaklar Modern control engineering / Katsuhiko Ogata An introduction to difference equations / Saber Elaydi Chaos and fractals : new frontiers of science / Heinz-Otto Peitgen, Hartmut Jürgens, Dietmar Saupe