Kuantum Devre Sentezi ve Optimizasyonu için Verimli Bir Algoritma Ömercan Susam Mustafa Altun An Efficient Algorithm to Synthesize Quantum Circuits and Optimization

İçerik Kuantum Hesaplama Algoritma Deneysel Sonuçlar Sonuç Temel Fonksiyonlar Sıralama Optimizasyon Deneysel Sonuçlar Sonuç

İçerik Kuantum Hesaplama Algoritma Deneysel Sonuçlar Sonuç Temel Fonksiyonlar Sıralama Optimizasyon Deneysel Sonuçlar Sonuç

Kuantum Hesaplama IBM 3 Milyar $ Yatırım Google Kuantum Yapay Zeka Laboratuvarı Lockheed Martin Karmaşık Sistemlerin Doğrulanması

Kuantum Hesaplama 1982’de Richard Feynman tarafından önerildi. Shor faktorizasyon algoritması Grover arama algoritması Richard Feynman Feynman, R. P. (1982). Simulating physics with computers. International journal of theoretical physics, 21(6), 467-488.

Bit - Kübit Bit KüBit 0 ya da 1 1 süperpozisyon 0 →1 𝛼, 𝛽 𝜖 ℂ 1 →0 1 süperpozisyon 0 →1 𝛼, 𝛽 𝜖 ℂ 1 →0 𝜓 = 𝛼 0 + 𝛽 1 0 → 1 0 1 → 0 1 𝛼 2 + 𝛽 2 =1 𝛼 2 →0 𝛼 𝛽 𝛽 2 → 1 Bloch Küresi Nielsen, M. A., & Chuang, I. L. (2010). Quantum computation and quantum information. Cambridge university press.

Klasik Hesaplama – Kuantum Hesaplama 1-bit Tam Toplayıcı Klasik Devre Kuantum Devre = 𝑆 = 𝐶 𝑜𝑢𝑡

Tersinir Devreler Yüksek verimlilik Optik Hesaplama DNA Hesaplama Landauer, Rolf. "Irreversibility and heat generation in the computing process." IBM journal of research and development 5.3 (1961): 183-191.

Kapı Sembolleri ve Matrisler Kuantum Maliyet

CNT (C-NOT,NOT,Toffoli) Kütüphanesi CC-NOT Giriş 𝑐𝑏𝑎 000 001 010 011 100 101 110 111 Çıkış 𝑐 ′ 𝑏 ′ 𝑎 ′ 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 Giriş 𝑐𝑏𝑎 000 001 010 011 100 101 110 111 Çıkış 𝑐 ′ 𝑏 ′ 𝑎 ′ 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 Giriş 𝑐𝑏𝑎 000 001 010 011 100 101 110 111 Çıkış 𝑐 ′ 𝑏 ′ 𝑎 ′ 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0

Kuantum Lojik Fonksiyonlar 𝑛 → Bit sayısı 2 𝑛 → Satır sayısı 2 𝑛 !→ Oluşturulabilecek tüm fonksiyonların sayısı 𝑛 =3, 2 3 =8, 2 3 !=40320 8𝑥 7𝑥 6𝑥 5𝑥 4𝑥 3𝑥 2𝑥 1=40320 1 2 3 4 5 6 7 8 Giriş 𝑐𝑏𝑎 000 001 010 011 100 101 110 111 Çıkış 𝑐 ′ 𝑏 ′ 𝑎 ′ 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 Giriş 𝑐𝑏𝑎 000 001 010 011 100 101 110 111 Çıkış 𝑐 ′ 𝑏 ′ 𝑎 ′ 0 0 0 - 0 0 1 - 0 1 0 - 0 1 1 - 1 0 0 - 1 0 1 - 1 1 0 - 1 1 1 0 0 0 - 0 0 1 - 0 1 0 - 0 1 1 - 1 0 0 - 1 0 1 - 1 1 0 0 0 0 - 0 0 1 - 0 1 0 - 0 1 1 - 1 0 0 - 1 0 1 0 0 0 - 0 0 1 - 0 1 0 - 0 1 1 - 1 0 0 0 0 0 - 0 0 1 - 0 1 0 - 0 1 1 0 0 0 - 0 0 1 - 0 1 0 0 0 0 - 0 0 1 0 0 0

İçerik Algoritma Kuantum Hesaplama Temel Fonksiyonlar Sıralama Optimizasyon Deneysel Sonuçlar Sonuç

Temel Fonksiyon Nedir? Oluşabilecek ikili gruplar 𝑐𝑏𝑎 000 001 010 011 100 101 110 111 𝑐 ′ 𝑏 ′ 𝑎 ′ 0 0 1 - 0 1 0 - 0 1 1 - 1 0 0 - 1 0 1 - 1 1 0 - 1 1 1 0 1 0 - 0 1 1 - 1 0 0 - 1 0 1 - 1 1 0 - 1 1 1 0 1 1 - 1 0 0 - 1 0 1 - 1 1 0 - 1 1 1 1 0 0 - 1 0 1 - 1 1 0 - 1 1 1 1 0 1 - 1 1 0 - 1 1 1 1 1 0 - 1 1 1 1 1 1 7+ 6+ 5+4+3+2+1=28 Bit Sayısı Fonksiyonlar Temel Fonksiyon # Toplam Fonksiyon # 2 6 24 3 28 40320 4 120 20922789888000 5 469 2.613308e + 35 2016 1.268869e + 89 𝑛 =3, 2 3 =8, 𝐶 2 3 2 = 8∗7 2 =28

Temel Fonksiyonlar 1 2 3 4 5 6 7 8 Giriş 𝑐𝑏𝑎 000 001 010 011 100 101 110 111 𝑓 1 𝑐 ′ 𝑏 ′ 𝑎 ′ 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 3 6 5 4 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 Giriş 𝑐𝑏𝑎 000 001 010 011 100 101 110 111 𝑓 2 𝑐 ′ 𝑏 ′ 𝑎 ′ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1 5 2 3 4 1 6 7 8 1 2 3 4 5 6 7 8 Giriş 𝑐𝑏𝑎 000 001 010 011 100 101 110 111 𝐹 𝑐 ′ 𝑏 ′ 𝑎 ′ 1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 5 2 3 6 1 4 7 8

Temel Fonksiyon Örnek 𝑓 1 𝑓 2 1 2 3 4 5 6 7 8 Giriş 𝑐𝑏𝑎 000 001 010 011 100 101 110 111 Çıkış 𝑐𝑏𝑎 000 001 110 111 100 101 010 011 Çıkış 𝑐𝑏𝑎 000 001 110 101 100 111 010 011 Çıkış 𝑐𝑏𝑎 000 001 010 101 100 011 110 111 𝑓 1 𝑐𝑏𝑎 000 001 010 101 100 011 110 111 Çıkış 𝑐𝑏𝑎 000 001 010 101 100 111 110 011 Çıkış 𝑐𝑏𝑎 000 101 010 001 100 011 110 111 Çıkış 𝑐𝑏𝑎 000 101 110 001 100 111 010 011 𝑓 2 𝑐𝑏𝑎 100 001 010 101 000 011 110 111 𝐹 𝑐 ′ 𝑏 ′ 𝑎 ′ 100 001 010 101 000 011 110 111 𝑓 1 𝑓 2

İçerik Algoritma Kuantum Hesaplama Temel Fonksiyonlar Sıralama Optimizasyon Deneysel Sonuçlar Sonuç

 Sıralama Seçmeli Sıralama Birleştirmeli Sıralama Eklemeli Sıralama Kullanılacak temel fonksiyon sayısı olacaktır. Maksimum = 2 𝑛 −1 Birleştirmeli Sıralama Alt kümeler içerisnde yapılacak olan her yerdeğişikliği bir temel fonksiyon kullanımı gerektirdirir. Eklemeli Sıralama Yapılacak olan her kaydırma işlemi ek temel fonksiyon kullanımına neden olur. 4 3 2 1 1 3 2 4 1 2 3 4 4 3 2 1 3 4 3 4 1 2 1 2 1 4 3 2 4 3 2 1 1 2 3 4 4 3 2 1 3 4 3 4 2 1 2 1 3 2 4 1 2 3 4 1 .

Optimum Sıralama Yukarıdan Aşağıya ↓ Optimum f 000 111 7 1 3 001 2 010   Optimum f 000 111 7 1 3 001 2 010 100 4 101 5 110 6 011 Temel Fonksiyon 1-7 2-7 3-7  7-3 1-3 2-3 Maliyet 9

İçerik Algoritma Kuantum Hesaplama Temel Fonksiyonlar Sıralama Optimizasyon Deneysel Sonuçlar Sonuç

Optimizasyon 𝑓 1 𝑓 2

Kuantum Optimizasyon - Şablonlar Toffoli Kapısı 𝑈= 𝑉 2 eğer 𝑉 = 𝑋 , 𝑈=𝑋 Kuantum Maliyet Metriği : NCV - 111 𝑉 † =( 𝑉 ) 𝑇 , 𝑉 𝑉 † =𝐼

İçerik Deneysel Sonuçlar Kuantum Hesaplama Tersinir Devreler Algoritma Temel Fonksiyonlar Sıralama Optimizasyon Deneysel Sonuçlar Sonuç

Deneysel Sonuçlar T.M. A.O. K.M. A.O. Süre %38.26 13.10 Boyut Önerilen Yöntem Optimum CNT PN-CNT TDS ↓ EK OPT   28 4 27 29 26 90 10 25 207 31 24 436 145 23 791 238 22 1252 682 1 21 1954 1031 20 2523 1625 5 19 3349 2720 47 18 3772 3129 167 17 4125 4022 473 132 16 4211 4383 1283 249 15 3842 4179 2748 1126 14 3522 4126 4657 1758 13 2835 3528 6018 2988 64 12 2308 3104 6586 4686 364 11 1706 2389 5696 5158 1160 1239 1772 4347 5945 2500 9 843 1203 3137 5752 5820 8 547 818 2178 4485 8756 577 7 340 531 1354 3512 8656 10253 6 194 322 825 2321 6837 17049 3236 111 181 438 1190 3996 8921 20480 52 80 208 615 1611 2780 13282 3 43 100 286 452 625 2925 2 42 78 102 369 T.M. A.O. 15.97 14.82 11.55 9.79 7.31 5.86 4.57 K.M. A.O. 34.14 21.74 32.85 28.97 13.88 - Süre 6d33s 5d59s 40 ? Boyut Önerilen Yöntem Optimum CNT PN-CNT Tersinir Maliyet A.O. 15.97 10.58 5.86 4.57 Kuantum Maliyet 34.26 30.43 13.88 - Süre (saniye) 8 14 40 ? %38.26 13.10 %5.61 İyileştirme Optimum Sıralama CNT PN-CNT T.M. A.O. 11.55 7.31 K.M. A.O. 21.74 28.97 Süre 6d33s 5d59s

İçerik Sonuç Kuantum Hesaplama Tersinir Devreler Algoritma Temel Fonksiyonlar Sıralama Optimizasyon Deneysel Sonuçlar Sonuç

Sonuç Önerdiğimiz sentezleme yöntemini, optimum yöntemlerle kıyasladığımızda, çalışma sürelerimizin her zaman daha iyi çıktığını gördük. Literatürde henüz 5 bit devreler için dahi optimum sentezleme algoritması bulunmamaktadır. 4 bit devreleri optimum sentezlemek için sunulmuş olan en iyi algoritmayı, 5 bit için uygulasaydık, tüm fonksiyonları çözmemiz 447x 10 18 yılımızı alacaktı. İleriye yönelik amacımız, belirli kuantum hesaplama yöntemleri için daha düşük seviyede devre sentezlerini gerçekleştirmek.

Teşekkürler 2210-C Öncelikli Alanlara Yönelik Yurt İçi Yüksek Lisans Burs Programı İstanbul Teknik Üniversitesi Bilimsal Araştırma Projeleri

Referanslar R.P. Feynman, "Simulating physics with computers." International journal of theoretical physics, pp. 467-488, June 1982. P. W. Shor, "Polynomial-Time Algorithms for Prime Factorization and Discrete Logarithms on a Quantum Computer," AT&T Research, Santa Fe, NM, 1995. L. K. Grover, "A fast quantum mechanical algorithm for database search," in 28th Annual ACM Symposium on the Theory of Computing, Murray Hill NJ, 1996. Landauer, Rolf. "Irreversibility and heat generation in the computing process." IBM journal of research and development 5.3 (1961): 183-191. Maslov, Dmitri, Gerhard W. Dueck, and D. Michael Miller. "Toffoli network synthesis with templates." Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, IEEE Transactions on 24.6 (2005): 807-817. M.A. Nielsen, I.L. Chuang. Quantum computation and quantum information. Cambridge University press, 2010. A. Barenco, et al. "Elementary gates for quantum computation." Physical Review A 52, November 1995. V.V. Shende, A.K. Prasad, I.L. Markov, J.P. Hayes, "Synthesis of reversible logic circuits." Computer-Aided Design of Integrated Circuits and Systems, IEEE Transactions, pp. 710-722, June 2003. Wille, Robert, et al. "Exact synthesis of Toffoli gate circuits with negative control lines." Multiple-Valued Logic (ISMVL), 2012 42nd IEEE International Symposium on. IEEE, 2012.