Bölüm6:Diferansiyel Denklemler: Başlangıç Değer Problemleri Diferansiyel denklemler fiziksel olayların modellenmesinde sık karşılaşılan denklemlerdendir. Dolayısıyla bu denklemlerin sayısal ve analitik çözümünün bulunması çok önemlidir. Örneğin, mekanikte harmonik salınıcı problemi veya kuantum mekaniğinde bir boyutlu schrödinger denklemi veya elektromagnetik teoride bir boyutlı Laplace denklemi …gibi. Bu denklemlerin analitik çözümleri çoğunlukla yoktur veya çok karmaşıktır. Bu durumda sayısal çözümler önem kazanır. Sayısal çözüm, f fonksiyonunun sürekli değil, ayrık noktalarda yani bağımsız değişkenlerin sadece belli değerleri için hesaplanması esasına dayanır. Çözüm tekniği bakımından, diferansiyel denklemleri üç gruba ayırabiliriz: 1) Başlangıç Değer Problemleri: Belli bir noktadan başlayıp aranan fonksiyonun çözüm alanında adım adım bulunabildiği problemlerdir. Zamana bağlı problemlerde, t=0 başlangıç anında sistemin fiziksel durumu verilmiş olur ve daha sonraki t değerleri için çözüm aranır.

Örneğin; denkleminde t=0 anında iki koşul verilmesi gerekir. y(0)=? ve y’(0)=? n. dereceden bir diferansiyel denklem için n tane başlangıç koşulu verilmesi gerekir. 2) Sınır değer problemleri: Çözümü kapalı bir alanda aranan problemlerdir. Bu tip problemlerde sabitlerin bulunması için gerekli şartlar bağımsız değişkenin birkaç değeri için, bir başka deyişle çözüm alanının sınırlarında verilir. Örneğin; denkleminin x: [0,L] aralığında çözümü İsteniyorsa, y(0) ve y(L) sınırlarında aldığı değerler verilir. 3) Özdeğer problemleri: Diferansiyel denklemin sınır koşulları verilmiş olsa dahi, sistemdeki bir parametrenin ancak belirli değerleri için çözümler mevcut olabilir.

Örneğin; Schrödinger denkleminde, E enerji parametresinin belli değerleri için, sonsuz sayıda sıfıra giden çözümleri vardır. Bu koşulu sağlayan En değerleri, diferansiyel denklemin özdeğerleri olur. EULER YÖNTEMİ Taylor serisinde birinci türevden sonrası atılarak hesaplamaların gerçekleştirilmesi Euler yöntemi olarak bilinir. Bu yöntemde ilave türevler gerekmediğinden oldukça basittir. Ancak hassas sonuç elde edilebilmesi için adımı küçük olmalıdır. Birinci derceden diferansiyel denklem gözönüne alalım: x bağımsız değişken, y(x) ve f(x,y) reel fonksiyonlar ve y0 reel sayıdır.

Bu denklemin çözümünden şunu anlıyoruz: Eşit h adım uzunluklarıyla sıralanmış x1,x2,x3,….,xn noktalarında fonksiyonun aldığı y1,y2,y3,… değerlerini bulmak iştiyoruz. Bunun için denkleminde y fonksiyonu x0 civarında açılır, birinci türevden sonrası ihmal edilirse; veya kısaca hata terimi atılrsa, yaklaşık değeri elde edilir. Genel olarak ifade edersek; şeklinde yazılır.

Şekil 6.1: Euler yönteminin grafik üzerinde gösterimi. Bu değer gerçek eğrinin x1’e karşılık vereceği y1r değerinden farklıdır. Aradaki fark olan mutlak hatanın (e=y1-y1r) küçük olması, adımın küçüklüğüne ve fonksiyonun eğimine bağlı olacaktır. Şekil 6.1: Euler yönteminin grafik üzerinde gösterimi. Bu şekilde ardışık hesaplamalarda herhangi bir y değeri, bir önceki y değerine bağlı olarak hesaplandığından hataların birikmesi söz konusudur.

RUNGE-KUTTA YÖNTEMİ Runge-Kutta yönteminin genel formu, Olarak yazılabilir. Euler yönteminde xi noktasından doğruca xi+1 noktasına geçiliyordu, burada xi ile xi+1 aralığının ortasında bir “deneme adımı” daha atılıyor. f fonksiyonu ağırlıklı ortalamalar içermekte olup genel olarak ai’ler sabit olmak üzere; şeklinde yazılabilir. Euler yöntemleriyle karşılaştırılırsa f, aralıktaki eğimlerin ağırlıklı ortalamaları olduğu görülür. Örneğin;

Benzer bir yöntem aralığın ortasındaki eğimden yararlanarak yn+1 değerini hesaplayan yöntemdir. “Orta nokta yöntemi” de denilen bu yöntemde önce ara değer, ve bu noktadaki eğimi, kullanılarak aranan değer, veya kısaca, ifadesinden bulunur.

Burada yazılabilir. Görüldüğü gibi yn+1 değerini hesaplamak için değişik eğimler kullanılabilmektedir. 2.Mertebe Runge-Kutta Yöntemi: şeklinde verilen bir diferansiyel denklemin sayısal çözümünde adım başı ve adım sonu eğimlerin ortalaması yerine aralığın üçüncü çeyreğindeki eğimin ağırlıklı olarak kullanılması durumunda kesme hatasının sınırlı kaldığı görülmüştür. Buna göre, ve bu noktadaki tahmini y değeri, ve türevi (yani eğimi),

hesaplanarak aranan değer, ifadesinden bulunur. 2.mertebe Runge-Kutta denilen bu yöntem aşağıdaki gibi özetlenebilir. Diferansiyel denklemin sayısal çözümünün n. adımında olmak üzere 2.mertebe Runge-Kutta yönteminin genel iterasyon denklemi aşağıdaki şekilde ifade edilir.

3.Mertebe Runge-Kutta Yöntemi: Hassasiyeti artırmak üzere daha fazla eğimden yararlanan bir diğer yöntem 3.mertebe Runge-Kutta yöntemidir. Benzer şekilde elde edilen bu yöntem şu şekilde özetlenebilir. Burada, (Euler adımı) (orta nokta adımı) (düzeltme adımı) olacaktır. Dikkat edilirse f fonksiyonunun sadece x’e bağlı olması durumunda bu yöntemin, adımı h/2 olan Simpson yöntemi ile eşdeğer olduğu görülür.

4.Mertebe Runge-Kutta Yöntemi Özellikle non-lineer diferansiyel denklemlerin sayısal çözümünde çok yaygın olarak kullanılan ve hassasiyeti yüksek olan bu yöntem, türevin tahmini için dört değerin ağırlıklı ortalamasına dayanır. Verilen bir diferansiyel denklemin adım adım sayısal çözümünün n. adımındaki katsayılar, Olmak üzere 4.mertebe Runge-Kutta yönteminin genel iterasyon denklemi ise aşağıdaki gibi yazılır.