Değişkenlik Ölçüleri

İki farklı anakütleyi birbirinden ayırmak için aritmetik ortalama her zaman yeterli olmaz.

Örneğin aşağıdaki serilerde aritmetik ortalamalar aynı olmasına karşın serilerin frekans dağılımları birbirinden farklıdır. A B 2 5 1 6 4 8 9

Aşağıdaki iki grafik iki farklı örneklemden alınan veriler doğrultusunda oluşturulan histogramlardır. Her iki örnek ortalaması yaklaşık olarak 100 olduğuna göre iki örneğin aynı anakütleyi temsil ettiği söylenebilir mi?

Bu nedenle bir frekans dağılımının özellikleri araştırılırken, ortalama değerin yanı sıra, gözlem değerlerinin ortalama etrafındaki yayılışına ilişkin ölçülere de ihtiyaç vardır.   

Dağılımları birbirinden ayırt etmede kullanılan ve genellikle aritmetik ortalama etrafındaki değişimi dikkate alarak hesaplanan istatistiklere değişkenlik(yayılım) ölçüleri adı verilir.

Diğer bir deyişle değişkenlik ölçüleri bir serideki değerlerin nasıl yayıldığını göstermektedir.

Değişkenlik ölçüleri şunlardır: Ranj (dağılımın genişliği) Varyans Standart sapma

Ranj (Dağılımın Genişliği) Ranj, veri setindeki yayılımı ifade etmede kullanılan en basit istatistik değişim aralığıdır. En büyük gözlem değeri ile en küçük gözlem değeri arasındaki fark değişim aralığını verir.

Dağılımın genişliği kısaca D.G. ile gösterilirse, D.G. = Xmak – Xmin olarak ifade edilir.

Örneğin aşağıdaki serilerin dağılım genişlikleri şöyledir: DGa = 9 – 1 = 8 DGb = 6 – 4 = 2 5 1 6 4 8 9

Dağılım genişliği, veri setindeki tek bir gözlemin aşırı derecede küçük veya büyük olmasından etkilendiği için bir başka ifadeyle örnekte yer alan sadece iki veri kullanılarak hesaplandığından tüm veri setinin değişkenliğini açıklamada yetersiz kalmaktadır.

Dağılımın yaygınlığını gösteren ölçülerin en önemlisi standart sapmadır.

Standart sapma ortalamadan sapmanın ölçüsüdür.

Standart sapma büyüdükçe dağılım yaygınlaşır.

Varyans ise standart sapmanın karesidir.

Örneklemin standart sapma s ile, varyans ise s2 ile gösterilir.

Bir örneklemin standart sapması şöyle hesaplanır: Ele alınan puanların ortalaması bulunur Her bir puanın ortalamadan sapma miktarı çıkarma işlemi yapılarak hesaplanır Ortalamadan sapma miktarlarının kareleri alınır Kareleri alınmış sapmalar toplanır Toplam değer (n-1)’e bölünür Bölme sonucunun karekökü alınır.

Dikkat edilirse standart sapma hesaplanırken ortalamadan sapmaların kareleri alınmaktadır. Bunun sebebi, ortalamadan sapmaların toplanması durumunda sonucun her zaman için 0 olmasıdır.

Örnek Aşağıda verilen basit serinin standart sapmasını hesaplayınız. X 1 4 5 7 9 10

Uygulama Aşağıdaki değerler için standart sapmayı hesaplayınız: 6 , 5 , 8 , 10 , 5 , 3 , 8, 4, 3, 8

Frekans serilerinde ise standart sapma şu formülle hesaplanır:

Örnek Aşağıda verilen frekans serisinin standart sapmasını hesaplayınız. x f 2 1 4 3 5 6 8 9

Bu soruyu çözebilmek için ilk olarak frekansları hesaba katarak ortalamayı ve ortalamadan sapmaları bulmamız gerekmektedir.

Ardından elde edilen değer formülde yerine koyularak frekans serisinin standart sapması bulunur:

Örnek Aşağıda verilen frekans serisinin standart sapmasını hesaplayınız. X f 2 7 4 6 8 10 1

Kaynaklar http://notoku.com/ www.deu.edu.tr