KESİRLİ FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ DERS:MATEMATİK GRAFİK ÇİZİMLERİ KONU: POLİNOM FONKSİYONLARININ GRAFİKLERİ KESİRLİ FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ ASİMPTOTLAR

1)POLİNOM FONKSİYONLARININ GRAFİKLERİ F(x)= anxn+an-1xn-1+an-2xn-2+....+a1x+a0 şeklindeki bir polinom fonksiyonunun grafiğini çizerken aşağıdaki aşamalar izlenir: 1.f(x) in tanım kümesi bulunur. Yani bu fonksiyonlar x  R için tanımlıdır. 2.f(x) in eksenleri kestiği noktalar bulunur. x=0 için oy eksenini kestiği nokta, y=0 için ox eksenini kestiği nokta bulunur. y=0 için bir x değeri bulunamıyorsa fonksiyonun ox eksenini kesmediği anlaşılır. Bu basamakları örnek soru üzerinde incelemek için TIKLAYIN

3.Fonksiyonun geliş ve gidiş yönüne bakılır. imx +  _ l (anxn+....) limiti hesaplanır,bulunan değerler eğrinin uç noktalarının hangi bölgede olduğunu gösterir. y II.bölge ( -,+) I.bölge (+,+) x III.bölge (-,-) VI.bölge (+,-) x  için y  ise I.bölge + + x -  için y  ise + II.bölge  için  ise x - y - III.bölge  için  ise x + y - IV.bölge Bu basamağı örnek soru üzerinde incelemek için TIKLAYIN

4. F(x)’in tam kareli bir çarpanı,veya başka bir deyişle için çift katlı bir kökü varsa bu kökte grafik ox eksenine teğettir. 5. F(x)’in türevine bakılır;yani fonksiyonun birinci türevi alınıp sıfıra eşitlenir,varsa kökler bulunur,bulunan bu kökler fonksiyonda yerine yazılarak y değeri elde edilir.Bu değerler fonksiyonun maksimum veya minimum değerini verir. 6.Değişim tablosu yapılır.Yukarıdaki bulunan tüm bilgiler tabloya aktarılır,türevin işareti incelenir,fonksiyonun minimum ve maksimum noktaları belirlenir. SONUÇ: Bu bilgilerin tamamı koordinat düzlemine aktarılarak grafik çizilmiş olur. Bu basamağı örnek soru üzerinde incelemek için TIKLAYIN

f : R R , f(x) = x2-2x-3 fonksiyonunun grafiğini çiziniz. 1. Tanım kümesi tüm reel sayılardır. 2.Eksenleri kestiği noktalar. için için x2-2x-3 x1= -1 , x2=3 3-4-5 6 BASAMAK

x + için y + II.bölge 3. Fonksiyonun uç noktaları; x +  için y + I.bölge x + için y + II.bölge 4.Çift katlı kök yoktur. 5.Türevine bakalım.

6.Değişim tablosunu inceleyelim. x -1 1 3 - - - + + -3 -4 y x 1 3 -1 -3 -4 ÖRNEK

ÖRNEK SORU: f(x)= (x-2)2(x+1) fonksiyonun grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM

ÇÖZÜM: 1. F(x) bir polinom olduğundan x R için tanımlıdır. 2.Eksenleri kestiği noktalar x=0 için y=4 , A(0,4) y=0 için (x-2)2(x+1)=0   x1=x2=2, x3=-1 bulunur. 3.Fonksiyonun uç noktaları x için y I.bölge x- için y- III.bölge

4.Fonksiyonun (x-2)2 çarpanı tam kare olduğundan eğri x=2 apsisli noktada x eksenine teğettir. 5.Türevine bakalım. F(x)=(x-2)2(x+1) ise f ‘(x)=2(x-2)(x+1) + 1 (x-2)2 =0 (x-2) - =0 (x-2) (3x)=0 x=2 , x=0 türevin kökleri 6.Değişim tablosu -1 2 - + + + y f(x) = (x-2)2(x+1) f(0) = (0-2)2(0+1) = 4 ise f(0) =4 f(2) = (2-2) (2+1) = 0 ise f(2)=0

Fonksiyonun grafiği aşağıdaki gibidir. 4 -1 2 DİĞER ÖRNEK

Fonksiyonun grafiğini çiziniz. ÖRNEK SORU 2 Fonksiyonun grafiğini çiziniz. ÇÖZÜM

ÇÖZÜM: 1. F(x) fonksiyonunu için tanımlıdır. 2.Eksenlerin kestiği noktalar 3.Fonksiyonun uç noktaları

4.Fonksiyonda çift kat kök yoktur. 5.Türevine bakalım. 6.Değişim tablosu 1 2 + + - + + -2 -2 max min

GRAFİK: y x 1 2 -2

ASİMPTOTLAR DÜŞEY ASİMPTOT YATAY ASİMPTOT EĞRİ VE EĞİK ASİMPTOT Asimptotlar fonksiyona sonsuzda teğet olan doğru veya eğrilerdir. DÜŞEY ASİMPTOT YATAY ASİMPTOT EĞRİ VE EĞİK ASİMPTOT

Düşey Asimptot kesirli fonksiyonunda paydayı sıfır yapan x değerine düşey asimptot denir. Düşey Asimptot Burada a ve b noktalarındaki limitler gider.

y y x x a b Düşey Asimptot Not:Grafik hiçbir zaman düşey asimptotu kesmez,ancak düşey asimptota sonsuzda teğet olur.

Düşey Asimptot kesirli fonksiyonu verildiğinde 1.Q(x)=0 denkleminin kökleri düşey asimptotları verir. Eğer kökleri yoksa fonksiyonun düşey asimptotlarıda yoktur. Düşey Asimptot 2.Düşey asimptot grafiği parçalar yani düşey asimptot sayısı n tane ise grafik n+1 parçadan oluşmaktadır. 3.Kesirli fonksiyonların paydası (x-a)2 gibi tam kare ise x=a da eğrinin ‘a atılmış bir ekstremumu vardır. (Aklımızda kalması için biz buna x=a da bir baca vardır diyeceğiz)

ÖRNEK SORU Düşey Asimptot x y y x x=a da ‘a atılmış bir x=a de ‘a atılmış bir ekstremum(baca) vardır. ekstremu (baca) vardır. UYARI: kesirli fonksiyonunda Q(x)=0 denkle- minin kökleri P(x)=0 denkleminin kökü değilse düşey asimptotturlar.Eğer Q(x)=0 denkleminin kökü,P(x)=0 denk leminin de kökü ise,bu noktada f(x)’in sağ ve sol limitlerine bakılır bu limitlerden en az ise o kök düşey asimptottur.

ÖRNEK SORU: Düşey Asimptot eğrisinin düşey asimptotu nedir? ÇÖZÜM

ÇÖZÜM: Düşey Asimptot Paydayı sıfıra eşitleyelim Bunlar düşey asimptot olabilmesi için bu noktalardaki limit- lerin ‘a gitmesi gerekir. olduğundan x=2 düşey asimptot değildir. olduğundan x=-2 düşey asimptottur.

YATAY ASİMPTOT kesirli fonksiyonunda ve y=a ve y=b doğrularına yatay asimptot denir. Bu kesirli fonksiyon da; i)Payın derecesi paydanın derecesinden büyükse olduğundan yatay asimptot yoktur(eğik veya eğri aimptot vardır)

ii)Payın derecesi paydanın derecesine eşitse eşit dereceli terimlerin önündeki katsayıları oranı limitin değeridir. olduğundan yatay asimptottur. iii)Paydanın derecesi payın derecesinden daha büyükse olduğundan y=0 yani x ekseni yatay asimptottur. y y x UYARI:Eğri düşey asimptotu kesmez.Fakat yatay asimptot eğri ve eğik asimptotları kesebilir.Fonksiyonla asimptot denklemi ortak çözüldüğünde bu kesim noktaları bulunur. ÖRNEK SORU

ÖRNEK SORU: eğrisinin yatay asimptotu bulunuz... ÇÖZÜM

ÇÖZÜM: olduğundan y=-3 yatay asimptottur. y x -3 y=-3

EĞİK EĞRİ ASİMPTOTU SORU kesirli fonksiyonunda payın derecesi paydanın derecesinden bir derece büyükse eğik,daha fazla dereceden büyükse eğri asimptot vardır. y=f(x) eğrisi için olacak şekilde bir K(x) polinomu varsa buna f(x) eğrisinin bir eğri veya eğri asimptotu denir.Bu asimptot K(x)=mx+n şeklinde ise eğik K(x)=mx2+nx+t şeklinde ise eğri asimptot adını alır. şeklinde yazılarak K(x) elde edilir. SORU

ÖRNEK SORU: Fonksiyonunun eğri asimptotunu bulunuz... ÇÖZÜM

ÇÖZÜM: SONUÇ= olduğundan y=x2-1 eğri asimptottur. 1 -1 -1

KESİRLİ FONKSİYONLARIN GRAFİKLERİ Bir f(x) fonksiyonunu grafiğini çizmek için aşağıdaki yollar sırasıyla izlenir. *) f(x) in tanımlı olduğu aralık bulnur,fonksiyon trigonometrik ise pe riyodu tespit edilir. **) f(x) fonksiyonunun asimptotları bulunur. ***) f(x) fonsiyonunun eksenleri kestiği noktalar bulunur. a) x=0 için y= f(0), A[0,f(0)] noktası fonksiyonunu y eksenini kestiği noktadır. b) y=0 için f(x)=0,B(x,0) noktası fonksiyonunun x ekseninin ****)Fonksiyon kesirli ise pay kesirsiz ise çarpanlardan biri tam kare ise tam karenin kökünde grafik x eksenine teğettir. *****)Türevine bakılır.Yani f’(x)=0 denklemi çözülerek eğrinin ekstremum noktaları bulunur.Değişim tablosu yapılarak artan ve aza- lan olduğu aralıklar tesspit edilir.Bütün bilgiler bu değişim tablosu üzerine yazılır ve bu bilgiler ışığında grafik çizilir. SORU

ÖRNEK SORU: Fonksiyonunun grafiğini çiziniz.... ÇÖZÜM

ÇÖZÜM: i) f(x)=y nin tanım kümesi R-{2} dir. ii) x-2=0 ise x=2 düşey asimptot doğrusu yani x ekseni yatay asimptottur. iii)Eksenleri kestiği noktalar x=0 için noktası y ekse- nini kestiği noktadır. yani eğri x eksenini kesmez. iv)Değişim tablosu incelenirse olduğundan denklemin kökü yoktur dolayısıyla foksiyon her yerde azalandır.

2 x y’ - - - y grafik ise şöyledir; y x 2