AKIŞKANLAR MEKANİĞİ Ercan Kahya Hidrolik. B.M. Sümer, İ.Ünsal, M. Bayazıt, Birsen Yayınevi, 2007, İstanbul

BÖLÜM 1 TEMEL KAVRAMLAR

1.2. BİRİMLER, ÖZGÜL KÜTLE, ÖZGÜL AGIRLIK SI: "Systeme International d'Unites"

SI Birim Sistemi Newton İkinci Kanunundan türetilen kuvvet birimi: “ the force required to accelerate a kilogram at one meter per second per second is defined as the Newton (N)” Yeryüzündeki yer çekimi ivmesi: 9.81 m/s2 Böylece, “bir kilogramın ağırlığı” yeryüzünde: W = m g = (1) (9.81) kg m / s2 = 9.81 N

- Suyun 20 derece sıcaklıktaki özgül ağırlığı: 9.79 kN/m3 Özgül kütle (ρ): Maddenin birim hacminin kütlesi Özgül ağırlık (γ): Maddenin birim hacminin ağırlığı Ağırlık = Kütle x Yer Çekimi İvmesi - Suyun 20 derece sıcaklıktaki özgül ağırlığı: 9.79 kN/m3 - Suyun 4 derece sıcaklıktaki yoğunlugu: 1000 kg/m3

Cıvanın 20 oC deki rölatif özgül kütlesi: Rölatif Özgül Kütle (S): Akışkan özgül kütlesinin standart şartlardaki suyun özgül kütlesine oranıdır ve boyutsuzdur. Cıvanın 20 oC deki rölatif özgül kütlesi:

1.3. MOLEKÜLER YAPI Akışkanlar Mekaniği, sürekli ortam kabulü üzerinde kurulur.

1.4. GERİLMELERE KARŞI DAVRANIŞ Bir kuvvetler sisteminin etkisi altında bulunan herhangi bir cismin içinden geçen bir yüzey düşünelim: Normal gerilme → Basınç

Akışkanın Basınç Gerilmelerine Karşı Davranışı: Sıkışabilirlik - Gazlarda sıkışabilme en fazla, sıvılarda daha az, katılarda ise en azdır. Akışkanın hacımsal elastisite katsayısı SONUÇ: Akışkan sıkışabildiğine göre özgül kütlesi de sabit kalmaz & özgül kütlesi artar. Sıkıştırılamayan akışkan kabul: ρ=sabit

Akışkanın Kayma Gerilmelerine Karşı Davranışı: Vizkosite Katıların kayma gerilmelerine karşı gösterdiği direnç son derece büyüktür. Akışkanların ise kayma gerilmelerine karşı gösterdiği direnç son derece küçüktür. GÖZLEM: Akışkan sürekli olarak şekil değiştiriyor... SONUÇ: "derine doğru akımın zayıflaması, suyun bu gerilmeye karşı az da olsa bir direncinin olduğunu gösteriyor" Akışkanın kayma gerilmelerine karşı, az da olsa, direnç gösterme özelliğine, akışkanın viskozite özelliği denir.

Newton'un Elemanter Sürtünme Kanunu: Viskozite: Akışkanların kaymaya veya açısal deformasyonlara, yani akmaya, karşı gösterdiği direncin bir ölçüsüdür. Newton'un Elemanter Sürtünme Kanunu: Taralı akışkan tabakasını düşünelim: GÖZLEM: Kayma gerilmesi ne kadar büyük ise hızdaki du/dy artması da o nisbette büyük olacaktır.

- Her iki gözlem sonucunu birleştirisek, GÖZLEM: Akışkan viskozitesi ne kadar büyük olursa, “du/dy” o kadar küçük olacaktır. - Her iki gözlem sonucunu birleştirisek, : kinematik viskozitesi kt. :dinamik viskozite katsayısı

Viskozitenin Sıcaklıkla Değişimi: Gazlardaki bu moleküler faaliyet, sıcaklığın artması ile artar. => Gazların viskozitesi sıcaklıkla artar. Sıvılarda sıcaklığın artması ile moleküller arasındaki kohezyon kuvveti azalır. => Sıvılarda viskozitenin sıcaklıkla azalır.

Kayma gerilmesinin açısal deformasyon hızı ile değişimi - Newtonian olmayan akışkanların mekaniğini de kapsayan bilimdalına Rheology (Reoloji) denir.

Buhar Basıncı ■ Sıvılar bütün sıcaklıklarda buharlaşma eğilimi gösterirler. ■ Bu durum, sıvı moleküllerinin, doğal termal titreşim sonucu yüzeyden kaçması ile oluşur. ■ Bu şekilde sıvı bünyesinden kaçarak sıvı yüzeyinde biriken moleküllerin oluşturduğu basınca buhar basıncı, Pb, denir. ■ Moleküler aktivitenin sıcaklıkla artması nedeniyle buhar basıncı da sıcaklıkla artar.

■ Yüzeyindeki mutlak basıncın, buhar basıncına eşit veya altına düşmesiyle sıvılarda kaynama meydana gelir. ■ Kaynama ile birlikte sıvıya yoğun şekilde buhar kabarcıkları karışır. Sıvı akımlarında ortaya çıkabilecek bu duruma kavitasyon denir.

Cavitation In case b, flow rate is higher Phenomenon that occurs when the fluid pressure is reduced to the local vapor pressure and boiling occurs. Vapor bubbles form in the liquid, grow and collapse; producing shock wave, noise & dynamic effects. RESULT: lessened performance & equipment failure ! Cavitation typically occurs at locations where the velocity is high. In case b, flow rate is higher

BÖLÜM 2 AKIŞKANLARIN STATİĞİ

2.2. BİR NOKTADA BASINÇ Bu denklemlerden: dx → 0, dz → 0. Bu durumda (dx,dz,ds) üçgeni bir noktaya indirgenecektir. Prizmaya etkiyen kuvvetler için denge denklemleri: Bir noktada basınç doğrultudan bağımsızdır.

2.3. BASINCIN DERİNLİKLE DEGİŞİMİ Durgun bir akışkan kütlesi içerisinde boyutlan (1x1xdz) olan bir akışkan parçası düşünelim: z-doğrultusunda denge denklemi:

mutlak basınç: rölatif basınç: ► Durgun bir akışkanda basıncı aynı olan noktaların geometrik yeri birer yatay düzlemdir. Bunlara “nivo yüzeyleri” denir.

Mutlak Basınç, Rölatif Basınç: Basınç ölçen manometreler ve düzenekler rölatif basıncı verdiğinden, rölatif basınca manometre basıncı da denir. Atmosfer basıncı, Patm, barometre basıncı olarak da anılır ve denizden yükseklik ve meteorolojik şartlar ile değişir. Standart atmosfer basıncı deniz seviyesindeki basınç olup aşağıdaki değerler ile verilir: Patm = 760 mm Hg = 10,34 m su = 101300 Pa = 1,013 bar

Mutlak ve rölatif basınç değerleri şematik olarak gösterimi:

2.4. BASINÇ-DERİNLİK BAĞINTISININ PRATİKTEKİ UYGULAMALARI 2.4.1. Değişik Ağırlıklı Sıvılar 2.4.2. Birleşik Kaplar

2.4.3. Manometre 2.4.4. Toricelli Deneyi a-a bir nivo yüzeyidir; bu yüzey üzerinde basınçlar birbirine eşittir:

2.4.5. Pascal Kanunu Pascal kanunu: Denge halinde bulunan bir gaz, kapalı bir kap içerisinde basınca maruz kalırsa, ağırlık ihmal edildiği takdirde, kabın her noktasında basınç aynıdır. Force = pressure x area [N = N/m2 x m2] For 25 cm-diameter piston: If air pressure is 600 kN/m2 what is the force lifting up the car? Ans: 29.5 kN

U-tube Manometer 1: Initial point index 2: Final point index General manometer equation 1: Initial point index 2: Final point index Problem: water in pipe, mercury manometer liquid ( mercury specific weight =133 kN/m3) ∆h = 60 cm l =180 cm Find the pressure at the centre of the pipe ? Ans: 62.1 kPa

Example 3.7: Manometer Analysis Question: Pressure of the air? Given: l1 = 40 cm l2 = 100 cm l3 = 80 cm

Differential Manometers To measure the pressure difference btw two points in a pipe Here, the pressure difference between 1 and 2 is: (this is for a horizontal pipe… z1 = z2) γm : the specific weight of the manometer liquid, γf : the specific weight of the fluid, Δh : the deflection of this liquid.

Differential Manometers Example 3.8: Specific gravity of manometer fluid is 3. Δh = 5 cm Δz = 1 m Dy = 2 cm What is the pressure difference? What is the change in piezometric pressure?

Solution: Piezometric pressure Piezometric difference Applying the manometer equation between points 1 and 2: Change in piezometric pressure:

Düzlemsel Yüzeylere Etkiyen Basınç Kuvveti FLUID STATICS: Düzlemsel Yüzeylere Etkiyen Basınç Kuvveti Engineering Fluid Mechanics 8/E by Crowe, Elger, and Roberson Copyright © 2005 by John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

SHOW INTRODUCTION !

Distribution of hydrostatic pressure on a plane surface Pressure on the differential area can be computed if the y distance to the point is known dF = p dA = ( y sin) dA Integrating the differential force over the entire area A Hydrostatic Force Integral is the first moment of the area Pressure at the centroid

Hydrostatic Force Hydrostatic Force Terms Δh: Vertical distance from centroid to the water surface (This distance determines the pressure at the centroid) y: Inclined distance from water surface to the centroid ycp: Inclined distance from water surface to centre of pressure ¯P: the pressure at the centroid

Vertical Location of Line of Action of resultant Hydrostatic Force - Considering moments of the pressure about the horizontal axis 0-0: SHOW DERIVATION ! ycp = (inclined) distance to the centre of pressure y ¯= (inclined) distance to the centroid I ¯= area moment of inertia about horizontal axis passing the centriod A = surface area Restrictions: 1- One liquid involved 2- Gage pressure is zero at the liquid surface Lateral Location of Line of Action of resultant Hydrostatic Force - The same principles as above can be used for the lateral location - Starts with taking moments about a line normal to line 0-0

Review of Centroid & Area Moment of Inertia

Fp = 1.54 MN Example: 3.10 Resultant hydrostatic force: An elliptical gate covers the end of a pipe 4m in diameter. If the gate is hinged at the top, what normal force F is required to open the gate when water is 8 m deep above the top of the pipe and the pipe is open to the atmosphere on the other side? Neglect the weight of gate. Resultant hydrostatic force: (a, b: half of major and minor axes) Fp = 1.54 MN y¯(slant distance from surface to centroid): 12.5m

Moment about the hinge. Moment arm for the hydrostatic force: Example cont’d Moment about the hinge. Moment arm for the hydrostatic force: 2.5 +0.125 = 2.625m Normal Force required to open gate Free body diagram of the gate

Pressure Prism The volume called the pressure prism, that is a geometric representation of the hydrostatic force on a plane surface The resultant force must pass through the centroid of the pressure prism.

Pressure Prism An informative and useful graphical interpretation can be made for the force developed by a fluid acting on a plane area. Consider the pressure distribution along a vertical wall of a tank of width b, which contains a liquid having a specific weight g. Since the pressure must vary linearly with depth, we can represent the variation as is shown in Figure below, where the pressure is equal to zero at the upper surface and reach to maximum at the bottom. It is apparent from this diagram that the average pressure occurs at the depth h/2 and therefore the resultant force acting on the rectangular area (A = b h) is

Hydrostatic Forces on Curved surfaces FLUID STATICS: Hydrostatic Forces on Curved surfaces Engineering Fluid Mechanics 8/E by Crowe, Elger, and Roberson Copyright © 2005 by John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Hydrostatic Forces on Curved Surfaces Find the magnitude and line of action of the hydrostatic force acting on surface AB Important Questions to Ask What is the shape of the curve? How deep is the curved surface? Where does the curve intersect straight surfaces? What is the radius of the curve?

Hydrostatic Forces on Curved Surfaces A free-body diagram of a suitable volume of fluid can be used to determine the resultant force acting on a curved surface.

Hydrostatic forces on Curved surfaces. Find the magnitude and line of action of the hydrostatic force acting on surface AB Forces acting on the fluid element FV : Force on the fluid element due to the weight of water above CB FH : Force on the fluid element due to horizontal hydrostatic forces on AC W : Weight of the water in fluid element ABC F : The force that counters all other forces - F has a horizontal component: Fx - F has a vertical component: Fy

Hydrostatic forces on Curved surfaces Find the magnitude and line of action of the hydrostatic force acting on surface AB - Given: Surface AB with a width of 1 m Problem Solving Preparation By inspection, curve is a ¼ circle. The depth to the beginning of the curve (4 m depth to B) The curve radius (2 m horizontal curve projection distance = curve radius) Label relevant points: BCDE is water above fluid element defined by the curve ABC is the fluid element defined by the curve

Example 3.11: Hydrostatic forces on Curved surfaces Find Fv, FH, W, Fx, Fy, F, Line of action for FH & Fv Given: Surface AB goes 1 m into the paper Fx= FH = (5 x 9810) (2 x 1) = 98.1 kN Pres. at the cenroid AC side area Fy= W + Fv Fv= 9810 x 4 x 2 x 1 = 78.5 kN W= γVABC= 9810 (1/4 x  r2) 1 = 30.8 kN Fy= 78.5 + 30.8 = 109.3 kN The hydrostatic force acting on AB is equal and opposite to the force F shown

The centroid of the quadrant Location of the resultant force Slide 33

Curved Surface with “liquid above” & “liquid below” W↓ = F = γ VABCD W↑ = F = γ Vabcd

FLUID STATICS: Buoyancy Engineering Fluid Mechanics 8/E by Crowe, Elger, and Roberson Copyright © 2005 by John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Buoyancy, Flotation & Stability Archimedes’ Principle The resultant fluid force acting on a body that is completely submerged or floating in a fluid is called the buoyant force. FB ↑ = γ VABCD Important for Surface Ships Stability; Sediment Transport in Rivers

Buoyancy: Floating Object Depends on submerged portion of the volume VD is the submerged volume Buoyant force where γ is the specific weight of the fluid and VD is the volume of the body Engineering Fluid Mechanics 8/E by Crowe, Elger, and Roberson Copyright © 2005 by John Wiley & Sons, Inc. All rights reserved.

Example 3.12: Bouyant force on a metal part - Wood block (1) has dimensions of 10 x 50 x 50 mm Specific Gravity of 0.3 - Metal object (2) has volume of 6600 mm3 – Find the tension in the cable and mass of object 2. Steps • Find the buoyant forces. • Find the weight of the block. • Perform force balances on both objects.

Solution: Free Body Diagrams