AC DEVRE ANALİZİ (Sinüzoidal Kaynak Devre Analizi) AC devre analizi ile hepsi aynı frekansta salınım yapan sin veya cos tipi (sinüzoidal) sinyallerin olduğu bir devredeki herhangi bir akım veya gerilim büyüklüğünün bulunması ifade edilmektedir. Yani bu konu başlığı altında sadece sinüzoidal olan AC kaynaklar incelenecekler: NEDEN? Önce sinüzoidal kaynağı tanımlayalım...

Sinüzoidal Kaynak Aşağıdaki gibi tanımlanan bir kaynak veya sinyal sinüzoidal olarak adlandırılır: vs(t)=Vm . Sin (2πf.t + θ) Volt vs(t)=Vm . Cos (2πf.t + θ) Volt is(t)=Vm . Sin (2πf.t + θ) Amper veya is(t)=Vm . Cos (2πf.t + θ) Amper

Sinüzoidal Kaynak (Sinüzoidal Sinyal) Bu şekildeki bir sinüzoidal kaynak veya sinyalin üç tane tanımlayıcı parametresi vardır. Bunlar: Genlik Vm [Volt veya Amper] Faz Açısı  [rad veya derece] Frekans f [Hz = 1/sn] (Açısal Frekans  = 2f [rad/sn] ) büyüklükleridir.

NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER KULLANILIRLAR - 1: Yukarıdaki gibi bir sinüzoidal işaretin genlik (Vm), frekans veya açısal frekans (f veya ω) ve faz açısı (θ) büyüklükleri kullanıldıkları devrelerde ne şekilde değişikliğe uğrarlar?

NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER KULLANILIRLAR - 1: Bizim inceleyeceğimiz devreler sadece doğrusal ve pasif olan R, L ve C elektrik devre elemanları ile kurulu olanlardır. Bu elemanların akım ve gerilim büyüklüklerini birbirine bağlayan tanım bağıntıları ya ölçekleme ya türev ya da integral işlemleri ile tanımlıdırlar. O zaman bu üç işlem sonunda sinüzoidal bir işarette nasıl bir değişiklik oluşur veya üç tanımlayıcı parametresi nasıl değişir?

NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER KULLANILIRLAR - 1: YANİ; Sinüzoidal işaretlerin ölçeklenmesi, türev veya integralinin hesaplanması durumunda yine aynı frekansta salın yapan fakat genlik ve fazı değişmiş yanı sinüzoidal işaret elde edilir.

Sinyal v(t), integrali (iv(t) ile gösterilen) ve türevi (dv(t) ile gösterilen) 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 60 48 36 24 12 0.5 Hz frekansta 10V rms ac sinyal Zaman [s] Voltaj [V] 44.429 - v t n ( ) dv iv

NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER KULLANILIRLAR - 1: Basit bir AC kaynak ve R elemanı olan devrede: Eğer kaynak is(t)=K.cos(ωt+θ) A şeklinde alınırsa R elemanı tanım bağıntısı vR(t) = R . iR(t) yardımıyla vR(t)=R.K.cos(ωt+θ) V şeklinde hesaplanır.

NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER KULLANILIRLAR - 1: Basit bir AC kaynak ve C elemanı olan devrede: Eğer kaynak is(t)=K.cos(ωt+θ) A şeklinde alınırsa C elemanı tanım bağıntısı iC(t) = C . dvC(t)/dt yardımıyla vC(t)=1/ωC.K.cos(ωt+θ-90o) V şeklinde hesaplanır.

NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER KULLANILIRLAR - 1: Basit bir AC kaynak ve L elemanı olan devrede: Eğer kaynak is(t)=K.cos(ωt+θ) A şeklinde alınırsa L elemanı tanım bağıntısı vL(t) = L . diL(t)/dt yardımıyla vL(t)=ωL.K.cos(ωt+θ+90o) V şeklinde hesaplanır.

NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER KULLANILIRLAR - 1: R ELEMANI: Üzerine sin/cos şeklinde bir AC akım sinyali uygulanması durumunda elemanın uçları arasında oluşan gerilim sadece genliği R kadar ölçeklenmiş aynı sin/cos sinyali olacaktır. C ELEMANI: uçları arasında oluşan gerilim genliği 1/ωC kadar ölçeklenmiş ve fazı da -900 kadar ötelenmiş aynı sin/cos sinyali olacaktır. (Bakınız C elemanı akım-gerilim tanım bağıntısı ve sinüzoidal ifade integral işlemi) L ELEMANI: uçları arasında oluşan gerilim genliği ωL kadar ölçeklenmiş ve fazı da +900 kadar ötelenmiş aynı sin/cos sinyali olacaktır. (Bakınız L elemanı akım-gerilim tanım bağıntısı ve sinüzoidal ifade türev işlemi)

NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER KULLANILIRLAR - 1 BASİT R, L, C DEVRELERİNDE SİNÜZOIDAL SİNYALLERİN KULLANILMASI DURUMUNDA TÜM GERİLİM VE AKIM BÜYÜKLÜKLERİ SADECE GENLİK VE FAZ AÇISI DEĞERLERİ DEĞİŞMİŞ AYNI SİNÜZOİDAL SİNYAL OLMAKTADIR. BU DURUM R, L VE C ELEMANLARININ HERHANGİ BİR KOMBİNASYONU İLE KURULU TÜM DEVRELER İÇİN DE GEÇERLİDİR. BU DURUM BAŞKA BİR AC KANYAK İLE MESELA BİR KARE DALGA SİNYALİ İLE BU KADAR BASİT VE SADE OLAMAYACAKTIR.

NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER KULLANILIRLAR - 1 O ZAMAN SADECE SİNÜZOİDAL KAYNAKLAR VARKEN BİR DEVRE ELEMANININ AKIM VEYA GERİLİM BÜYÜKLÜKLERİNE ETKİSİ GENLİK VE FAZ AÇISI BÜYÜKLÜĞÜNÜ DEĞİŞTİRMEK OLARAK AÇIKLANABİLİR. BUNU MATEMATİKSEL OLARAK İFADE EDECEK BİR HESAPLAMA YÖNTEMİ ACABA NE OLABİLİR? İPUCU: KARMAŞIK SAYILAR GÜZELDİR…

NEDEN SİNÜZOİDAL SİNYALLER KULLANILIRLAR - 2 ASLINDA SİNÜZOİDAL OLMAYAN BİR AC KAYNAĞI TANIMLAMAK İÇİN DE sinüzoidal işaretleri KULLANMAK YETERLİDİR. Detaylar SİNYALLER ve SİSTEMLER Dersinde! ŞİMDİLİK AC KAYNAK OLARAK SADECE sinüzoidal işaretler VARMIŞ GİBİ DÜŞÜNEREK BUNLARLA DEVREDE EN ETKİN EN KOLAY HESAPLAMA (ANALİZ) MATEMATİKSEL OLARAK NASIL YAPILIR BUNUN ÜZERİNDE DURACAĞIZ… İPUCU: BİR REEL SAYI İLE KARMAŞIK SAYI ARASINDAKİ EN BELİRGİN FARK NEDİR?

SORU: ACABA BU MAKSATLA KARMAŞIK SAYILAR KULLANILABİLİRLER Mİ? CEVAP: EVET!!! ÇÜNKÜ HER KARMAŞIK SAYI ASLINDA ADLARI REEL VE İMAJİNER KISIM OLAN İKİ FARKLI SAYI DEMEKTİR... O ZAMAN KARMAŞIK SAYILAR AYNI ANDA İKİ FARKLI BÜYÜKLÜK ÜZERİNDE (genlik ve faz) İŞLEM YAPMAK İÇİN MATEMATİKSEL OLARAK YETERLİ VE UYGUN OLURLAR...

SİNÜZOİDAL SİNYALİN KARMAŞIK DÜZLEMDE GÖSTERİMİ imajiner +j ( = 90 veya  /2) Normalde karmaşık-düzlemde bir nokta bir karmaşık sayıyı ifade eder. Farklı bir yaklaşım olarak zamanla konumunu değiş- tiren bir nokta göz önüne alalım: bu noktanın θ baş- langıç açısı ve ω açısal hızı ile saatin ters yönünde döndüğünü kabul edelim.  orijine olan uzaklık: Vm θ+t - reel  = 0  = 180 veya  + reel -j ( = -90 or - /2)

+t +j ( = 90 veya  /2)  Vm  = 180 veya   = 0 + reel - reel 0.5 Hz frekansta 10V rms ac sinyal 14.142 15  12 9 Vm 6  = 180 veya  +t 3 Voltaj [V] v ( )  = 0 imag t n - reel + reel 3 6 9 12 - 14.142 15 -j ( = -90 veya - /2) 5 10 15 ( w × t ) 12.566 n açısal frekans [rad/s] . Zaman [s] 0.5 Hz frekansta 10V rms ac sinyal w açısal hızı ile dönen noktanın imajiner eksen üzerine iz-düşümü sin(wt) olur 1.5 3 4.5 6 w açısal hızı ile dönen noktanın reel eksen üzerine iz-düşümü cos(wt) olur - w × t n 7.5 açısal frekans [rad/s] . Zaman [s] 9 10.5 12 - 12.566 13.5 15 15 10 5 5 10 15 - 14.142 v real ( t ) n 14.142 Voltaj [V]

BASİT R DEVRESİ SİNYALLERİNİN KARMAŞIK DÜZLEMDE GÖSTERİMİ + imajiner   θ+t θ+t R.K K + reel Gerilim sinyali akım sinyalini R kadar ölçeklenmiş olarak ancak aralarında açı farkı olmaksızın takip eder.

BASİT C DEVRESİ SİNYALLERİNİN KARMAŞIK DÜZLEMDE GÖSTERİMİ + imajiner  θ+t 1/ωC.K K + reel ωt+θ-90o  Gerilim sinyali akım sinyalini 1/ωC kadar ölçeklenmiş olarak ve aralarında açı farkı -90o olarak takip eder.

BASİT L DEVRESİ SİNYALLERİNİN KARMAŞIK DÜZLEMDE GÖSTERİMİ + imajiner   ωt+θ+90o θ+t ωL.K K + reel Gerilim sinyali akım sinyalini ωL kadar ölçeklenmiş olarak ve aralarında açı farkı +90o olarak takip eder.

FAZÖR Sin/Cos bir kaynak ile R, L ve C elemanından kurulu basit bir AC devredeki akım veya gerilim büyüklükleri daha önce tanımlandığı şekliyle karmaşık düzlemde gösterildiklerinde: akım ve gerilim büyüklükleri aynı ω açısal hız ile dönen noktalarla temsil edilebilirler bunun benzeri şekilde tanımlı herhangi bir karmaşık akım ve gerilim büyüklüğüne FAZÖR adı verilir genelikle akım fazörü Ĩ şeklinde ve gerilim fazörü Ũ (V ile aynı sembol elde edilemediği için U) şeklinde gösterilirler

FAZÖR FAZÖRLER aynı ω açısal hızı değerine sahip olduklarında yani devrede tek bir ω büyüklüğü olduğunda: birbirlerine olan bağıl konumları değişmediği için dönme hareketi yokmuş gibi yani basit bir KARMAŞIK SAYI gibi de düşünülebilirler bir elektrik devre elmanına ait akım fazörünü gerilim fazörüne bağlayan, en genel halde genlik ve faz açısı büyüklüklerini değiştiren karmaşık sayıya EMPEDANS adı verilir EMPEDANS aslında R, L, C elemanlarının tanım bağıntılarının sadece sinüzoidal işaretler göz önüne alındığındaki matematiksel ifadesi olarak ta tanımlanabilir

EMPEDANS Sinüzoidal AC akıma gösterilen karşı koymanın (direnimin) ölçüsüdür. Biri reel diğeri sanal olmak üzere iki bileşeni vardır: Reel bileşeni klasik direnç gibi davranmanın ölçüsünü tanımlayan REZİZTANS olarak adlandırılır. Sanal bileşen ise bobin veya kapasite gibi davranmanın ölçüsünü tanımlayan REAKTANS olarak adlandırılır. Empedans = Rezistans + j.Reaktans şeklinde tanımlı olup, EE uygulamalarında Z=R+jX [ohm] ile sembolize edilir.

EMPEDANS DİRENÇ ELEMANI: değeri R0 olan eleman için Rdirenç= R0 ve Xdirenç=0  ZR=R BOBİN ELEMANI: değeri L olan eleman için Rbobin= 0 ve Xbobin=ωL  Zbobin=jωL KAPASİTE ELEMANI: değeri C olan eleman için Rkapasite= 0 ve Xkapasite=-1/ωC  Zkapasite=1/jωC

ADMİTANS Elektrik devrelerinde Sinüzoidal AC gerilim için tanımlı iletkenliğin ölçüsüdür. Biri reel diğeri sanal olmak üzere iki bileşeni vardır: Reel bileşeni klasik iletkenlik gibi davranmanın ölçüsünü tanımlayan KONDÜKTANS olarak adlandırılır. Sanal bileşen ise bobin veya kapasite gibi davranmanın ölçüsünü tanımlayan SUSEPTANS olarak adlandırılır. Admitans = Kondüktans + j.Suseptans şeklinde tanımlı olup, EE uygulamalarında Y=G+jB [siemens] ile sembolize edilirler.

EMPEDANS’ ın Anlamı Empedans’ın R, L, C elemanları için sinüzoidal akım ve gerilim arasındaki ilişkiyi tanımladığı söylenmişti. Bu aslında, SADECE SİNÜZOİDAL İŞARETLER varken özellikle L ve C elemanlarının tanım bağıntılarının karmaşık sayılar kullanılarak düzenlenmiş halidir.

Z V I V = I Z  vR(t) = R iR(t) VR=R.IR

SADECE SİNÜZOİDAL GERİLİM VE AKIM BÜYÜKLÜKLERİ SÖZKONUSU İKEN YANİ SADECE SİNÜZOİDAL GERİLİM VE AKIM BÜYÜKLÜKLERİ SÖZKONUSU İKEN BUNLAR KARMAŞIK SAYI DÜZLEMİNDE TANIMLANDIĞINDA TÜREV İŞLEMİNİN KARŞILIĞI OLARAK, yani d/dt [ 1.Cos(wt+00)]  -w.Sin(wt) = w.Cos(wt+900) d/dt [ 1.Sin(wt+00)]  w.Cos(wt) = w.Sin(wt+900) işlemleri için j ÇARPANI İLE +900 FAZ DEĞİŞİMİ ω ÇARPANI İLE DE ω ÖLÇEĞİNDE GENLİK DEĞİŞİMİ İFADE EDİLMEK ÜZERE jω ÇARPANI KULLANILIR. ASLINDA EMPEDANS DENİLEN BÜYÜKLÜK İÇERİSİNDE TÜREV DE OLAN TANIM BAĞINTISININ KARMAŞIK DÜZLEMDEKİ İFADESİDİR.