PARAMETRİK VE HEDEF PROGRAMLAMA Dual Simpleks yöntem ve parametrik doğrusal programlama özellikle, optimallik sonrası karar vericilere kararlarında yardımcı olabilmektedir. Parametrik programlama, seçilen parametrelerdeki sürekli değişimlerin, optimal doğrusal programlama çözümünü nasıl etkilediğini inceler. Önceki bölümlerde, doğrusal programlama modeli ile sadece toplam karın ençoklanması veya toplam maliyetin enküçüklenmesi gibi sadece tek bir amaca yönelik problemlerin çözümü ile ilgilendik. İş hayatında şirketler, bu amacın yanında; istikrarlı karın sağlanması, Pazar payının artırılması, fiyat istikrarının sağlanması, çalışanların moralinin yükseltilmesi, şirket prestijini artırma, üstün müşteri memnuniyeti, ürün kalitesi ve verimliliğinin artırılması ile maliyetlerin indirilmesi gibi diğer farklı amaçlar üzerinde de odaklanırlar. İşte hedef programlama böyle çok çeşitli amaçlara yönelik uğraşıların sağlanmasında bir yöntem olmaktadır.

PARAMETRİK VE HEDEF PROGRAMLAMA Hedef programlamanın temel yaklaşımı, amaçların her birisi için spesifik sayısal bir hedef belirlemek, her bir amaç için amaç fonksiyonunu formüle etmek ve sonra ilişkin oldukları hedeflerden bu amaç fonksiyonların ağırlıklı toplam sapmalarını minimum kılan çözümü araştırmaktır. Olanaklı üç tür hedef vardır. Bunlar; Altına düşmek istenmeyen alt sınırı belirleyen tek taraflı hedef (bu sınırı aşmak başarıdır) Üstüne çıkmak istenmeyen üst sınırı belirleyen tek taraflı hedef ( bu sınırın altına düşmek başarıdır) Her iki tarafta kaçırmak istemediğimiz spesifik hedefi koyan iki taraflı hedeftir.

PARAMETRİK DOĞRUSAL PROGRAMLAMA Parametrik programlama (Parametrik doğrusal programlama) istenen ekonomik olayın oluşumunda etkili olan elemanların, belli kısıtlamalar altındaki değişiminin parametrik değerler ile belirlenmesidir. Bir bakıma, parametrik programlama seçilen parametrelerdeki sürekli değişimlerin, optimal doğrusal programlama çözümünü nasıl etkilediğini inceler. Dolayısı ile parametrik programlama için doğrusal programlamanın varsayımlarının yanında aşağıdaki özelliklerin de gerektiğini görmekteyiz. Bu özellikler; Doğrusal programlama problemi, parametrelerin sabit bir değeri için optimal çözümlü olmalıdır. Optimal çözüme ulaşıldıktan sonra parametrenin değişimi belirlenmeye çalışılmalıdır. Ele alınan problemin optimal çözüme bakılarak bozulma durumunun olmadığı gözlenmelidir. Parametrik programlama, optimaliteye ulaşmak için birçok değişik parametreyi deneyebilme olanağını sağladığı gibi, amaç fonksiyonu katsayılarının değerini parametre teriminde ne kadar değiştirdiğini de belirlemektedir. Bir bakıma duyarlılık analizi, ele aldığı modelin sadece bir parametresindeki değişmenin optimal çözümdeki etkisini incelerken, parametrik programlama ise bazı aralıkta eşanlı parametrelerin pek çoğu değişirken optimal çözümün nasıl sistematik şekilde değiştiğini gösterir.

Amaç Fonksiyonu Parametrelerindeki Sistematik Değişmenin Analizi Amaç fonksiyonundaki cj parametreleri değiştiğinde, alışılmış doğrusal programlama modelinin amaç fonksiyonu; biçimine dönüşür. Burada, değişecek katsayılardaki göreli oranları gösteren verilen girdi katsayılarıdır. Bu yüzden λ ‘nın sıfırdan giderek artışı, katsayıları bu göreli oranlarda değiştirir.

katsayılarının (Örneğin, birim karlar) λ ile ölçülen bazı faktörlere bağlı olarak birlikte nasıl değişeceğine dayanır Bu faktörlerden bazıları karar vericinin kontrolü altında (Personel ve donanım gibi) iken bazıları örneğin ekonominin durumu gibi kontrol altında olmayabilir. Simpleks yöntem ile λ ‘nın verilen değeri için doğrusal programlama probleminin optimal çözümü elde edilebilir. Bu çözüm λ = 0 olduğunda özgün problem için elde edilmiştir. Bununla birlikte, amaç λ ‘nin bir fonksiyon olarak düzenlenen doğrusal programlama probleminin maksimum X (λ ) optimal çözümü bulmaktır. Bu yüzden, çözüm işleminde λ sıfırdan, belirtilen pozitif sayıya kadar artarken, optimal çözümün ne zaman ve nasıl değiştiğinin belirlenmesi gerekir.

3x1 + 2x2 + 10x3 + 4x4 ≤ 18.000 2x3 + 1/2x4 ≤ 3.000 ve ÖRNEK; Bir işletmenin doğrusal programlama modeli aşağıda verilmiştir. Max z = 10x1 + 9x2 + 65x3 + 27x4 Kısıtlayıcılar; 3x1 + 2x2 + 10x3 + 4x4 ≤ 18.000 2x3 + 1/2x4 ≤ 3.000 ve x1,x2,x3,x4 ≥ 0 Ürünlerin birim işçilik maliyetleri x1 için1 TL, x2 için 1 TL, x3 için 15 TL ve x4 için ise 8 TL’dir. Bu işletme piyasa koşullarından etkilenerek genel ücret düzeyini artırmak zorundadır. İstenen, genel ücret düzeyi artışının amaç fonksiyonunu nasıl değiştirdiğini parametrik programlama ile analiz etmektir.

3x1 + 2x2 + 10x3 + 4x4 ≤ 18.000 2x3 + 1/2x4 ≤ 3.000 ve ÇÖZÜM Bu işletmenin modelindeki parametrelerden, sadece işgücü maliyeti ile ilgili parametre değişeceğinden, işletmenin sade amaç fonksiyonu değişir. İşgücü maliyetini λ parametresi ile ifade edersek α1 = 1, α2 = 1, α3 = 15 ve α4 = 8’ dir. İşgücü maliyetlerindeki değişme x1 ve x2 ürünü için λ, x3 ürünü için 15 λ ve x4 ürünü için 8 λ ‘dir. İşgücü maliyetlerindeki artış işletmenin karını dolayısı ile amaç fonksiyonunun değerini azaltacaktır. Buna göre, işletmenin amaç fonksiyonu; Max z = (10 - λ )x1 + (9 - λ )x2 + (65 - 15 λ)x3 + (27 - 8 λ)x4 olur. Parametrik programlama modeli: Max z (λ)= (10 - λ)x1 + (9 - λ)x2 + (65 - 15 λ)x3 + (27 - 8 λ)x4 olur. Kısıtlayıcılar; 3x1 + 2x2 + 10x3 + 4x4 ≤ 18.000 2x3 + 1/2x4 ≤ 3.000 ve x1,x2,x3,x4 ≥ 0

Başlangıç Simpleks Tablosu Önce üstteki tabloda λ = 0 kabul edilerek yani işletmenin doğrusal programlama modeli simpleks yöntemi ile çözülerek optimal çözüme ulaşılır. Problemin optimal çözüm tablosu aşağıda verilmiştir. Optimal çözüm tablosunda karar değişkenlerinin parametrik katsayıları verilerek düzenlenmiştir.

Parametrik Programlama için Başlangıç Simpleks Tablosu

PARAMETRİK VE HEDEF PROGRAMLAMA Buna göre 0≤λ≥1/2 aralığında cari çözüm optimaldir, λ değeri en küçük olan x3 ü λ=1/2 den daha fazla artırdığımızda onun zj-cj katsayısı negatif olacağından temel değişken olarak çözüme girer. Bu yüzden cari çözüm için λ’nın üst sınırı λ ≤ ½ dir. Alt sınır ise sıfırdır. Simpleks yöntemine devam ettiğimizde x3 temel değişken olarak çözüme girerken, s2 değişkeni de çözümü terk eder. I. İterasyon sonunda elde edilen parametrik simpleks çözüm tablosu aşağıda hesaplanmış olarak verilmiştir.

Birinci İterasyon Sonucundaki Parametrik Simpleks Tablosu

Burada dikkat edilirse, bir önceki çözümdeki λ‘nın üst sınır değeri bir sonraki çözümde alt sınır değeri olmaktadır. Şimdi bulduğumuz parametrelendirilmiş optimal çözümde, yine temel olmayan değişkenlerin zj-cj satırındaki katsayılarından birisi negatif oluncaya kadar λ artırılır ve böylece isteninceye kadar λ artırılarak simpleks yöntemi ile yeni optimal çözümler bulunur. Önceki sayfadaki tabloda λ≥8/7 olduğunda x2 temel değişken olarak çözüme girer ve x4 çözümü terk eder. Simpleks yöntemini uyguladığımızda 2. iterasyon sonucunda aşağıdaki tabloda verilen yeni optimal çözüm değerlerini elde ederiz.

İkinci İterasyondaki Parametrik Simpleks Tablosu İkinci iterasyonda ulaşılan çözümün ‘nın hangi aralık- larında optimal olduğunu belirlemek için yine temel olmayan değişkenlerin katsayılarının ≥ 0 eşitsizliğinden yararlanılır

Üçüncü İterasyondaki Parametrik Simpleks Tablosu

Dördüncü İterasyondaki Parametrik Simpleks Tablosu

Beşinci İterasyondaki Parametrik Simpleks Tablosu

SAĞ TARAF PARAMETRELERİNDEKİ SİSTEMATİK DEĞİŞMENİN ANALİZİ

Başlangıç Simpleks Tablosu

Birinci Simpleks Çözüm Tablosu

İkinci Simpleks Çözüm Tablosu

Birinci Parametrik Programlama Çözüm Tablosu