T.C. PAMUKKALE ÜNİVERSİTESİ EĞİTİM FAKÜLTESİ FEN BİLGİSİ ÖĞRETMENLİĞİ KONU Asal Sayılar ve Çarpanlara Ayırma MATEMATİK ÖĞRETİMİ UYGULAMASI Hazırlayan ve Sunan ADNAN KÖROĞLU 03117027 3 – A DANIŞMAN Öğretim Görevlisi Zeki KASAP DENİZLİ 2006

ASAL SAYILAR ve ÇARPANLARA AYIRMA MATEMATİK ASAL SAYILAR ve ÇARPANLARA AYIRMA

İÇİNDEKİLER Hedef 1 : Doğal sayıların; 2, 3, 5 ve 9 ile bölünebilmesini kavrayabilme .4 Hedef 2 : Asal sayıları kavrayabilme ..................................................... 10 Hedef 3 : Doğal sayıları asal çarpanlara ayırabilme ...............................11 Hedef 4 : Doğal sayılarda en büyük ortak bölen (E.B.O.B)’u ve en küçük ortak kat (E.K.O.K)’ı hesaplayabilme .....................................................14 Hedef 5 : E.B.O.B ve E.K.O.K ile ilgili problem çözebilme ...................22 İzleme Testi ........................................................................................ 25 Değerlendirme Testi ................................................................................41 Değerlendirme Testi Cevap Anahtarı ......................................................50 Kaynakça …………………………………………………………………….. 51

Hedef 1 : Doğal Sayıların; 2, 3, 5 ve 9 ile Bölünebilmesini Kavrayabilme Davranışlar : Çift ve Tek sayılar Kümesi Bir Doğal Sayının 2 ile Bölünebilmesi Bir Doğal Sayının 3 ile Bölünebilmesi Bir Doğal Sayının 5 ile Bölünebilmesi Bir Doğal Sayının 9 ile Bölünebilmesi

D1: Çift ve Tek Sayılar Kümesini Yazma NOT:Çift sayıların hepsi 2`ye bölünebilir yani 2`ye bölünemeyen sayılar tek sayılardır.

D2: Bir Sayının Tek veya Çift Sayı Olup Olmadığının Söyleyip Yazma NOT: Sayının birler basamağı çift ise sayı çifttir.Eğer tek ise sayı tektir. Örnek: 3846, 5397, 39, 1438 sayılarından hangileri tek hangileri çift ? CEVAP: 3846 ve 1438 sayılarının birler basamağı 6 ve 8 olduğu için çift sayıdır. 5397 ve 39 sayılarının birler basamağı 7 ve 9 olduğu için tek sayıdır.

D3: Bir doğal sayının 2 ile bölünüp bölünemeyeceğini söyleyip yazma. NOT: ÇİFT SAYILAR 2`YE BÖLÜNÜR NOT: Birler basamağındaki rakamı 0 ve 5 olan doğal sayı 5’e tam olarak bölünür. Örnek: 36 ,70 ,83 ,55 sayılarından hangileri 2`ye hangileri 5`e bölünür?

D5: Doğal sayılar kümesinde 3 ile tam bölünüp bölünemeyeceğini söyleyip yazma NOT: Bir doğal sayının tüm basamaklarındaki rakamlarının sayı değerleri toplamı 3 yada 3’ün bir katı ise, bu doğal sayı 3’e tam olarak bölünür. Örnek: 225 ,111 ,458 ,89 sayılarından hangileri 3`e bölünür?

D6: Doğal sayılar kümesinde 9 ile tam bölünüp bölünemeyeceğini söyleyip yazma NOT: Bir doğal sayının tüm basamaklarındaki rakamlarının sayı değerleri toplamı 9 yada 9’un katı ise, bu doğal sayı 9’a tam olarak bölünür. Örnek: 50 ,333 ,116 ,468 sayılarından hangileri 9`a bölünür?

Hedef 2 : ASAL SAYILARI KAVRAYABİLME DAVRANIŞLAR: D 1 :Asal sayıları tanımlayarak, özelliklerini söyleyip, yazma. Yalnızca bire ve kendisine bölünebilen (1 hariç) sayılara ASAL SAYI denir. ÖRNEK: 1,2,3,5,6,7,8 sayılarından hangileri asaldır?

Hedef 3 : ÇARPANLARA AYIRABİLME

D1: Bir doğal sayının bölenlerinin ve çarpanlarının kümesini yazma Örnek : 18 sayısının bölenlerini bulalım. Çarpan Çarpım Bölünen Bölen Bölüm 2 x 9 = 18 : 6 3 1

D2: Bir Doğal Sayıyı Asal Çarpanlarına Ayırabilme Örnek : 36 sayısını asal çarpanların çarpımı şeklinde yazınız. 36 = 4 x 9 36 = 2 x 2 x 3 x 3 eşitliğini elde ederiz. 36 sayısının asal çarpanları 2 x 2 x 3 x 3 olur. NOT: Asal olmayan bir sayma sayısı asal sayıların çarpımı şeklinde yazılmış ve bu sayı asal çarpanlarına ayrılmış denir.

Hedef 4 : E.B.O.B ve E.K.O.K hesaplayabilme En Büyük Ortak Bölen ve En Küçük Ortak Kat

D1: E.B.O.B.`u hesaplayabilme Örnek : 60 ve 72 sayılarının E.B.O.B’ unu bulalım. 72 2 36 2 18 2 9 3 3 3 1 60 2 30 2 15 3 5 5 1 * Verilen sayılar ayrı ayrı asal çarpanlarına ayrılır. * Bu asal çarpanlardan tabanları ortak olanların en küçük üslüleri ve üsleri eşit olanlardan bir tanesi alınıp çarpılır. Bu çarpım E.B.O.B’ u verir. Buna göre; 60 ile 72’nin E.B.O.B’ u 22 x 3 = 4 x 3 = 12

D2: E.K.O.K.`u hesaplayabilme Örnek : 36 ve 48 sayılarının E.K.O.K.’ unu bulalım. 48 2 24 2 12 2 6 2 3 3 1 36 2 18 2 9 3 3 3 1 36 = 22 x 32 48 = 24 x 3 * Ortak asal çarpanlardan üssü en büyük olan ile ortak olmayan asal çarpanların çarpımı E.K.O.K.’ u verir. { 36, 48 } EKOK = 24 x 32 =16 x 9 = 144

D3: EBOB VE EKOK BULMA Örnek : 24 ve 42 sayılarının E.B.O.B.’ unu ve E.K.O.K`unu bulalım? 24 42 2 12 21 2 6 21 2 3 21 3 1 7 7 1 2 x 3 = 6 ( 24, 42 ) EBOB = 12 * İki veya 2’ den fazla sayının E.K.O.K’ u, bu doğal sayıların asal çarpanlarının çarpımıdır. ( 24, 42 ) EKOK = 23 x 3 x 7 =16 x 9 = 168

D 3 : Verilen iki sayının aralarında asal olup olmadığını işlem yaparak gösterme. İki doğal sayının 1`den başka ortak çarpanı yoksa bu sayılar aralarında asaldır denir.

Örnek : 9 ve 14 sayılarının asal çarpanlarını bulalım. 9 = 3 x 3 ve 9 = 1 x 9 14 = 2 x 7 ve 14 = 1 x 14 * 9 ve 14 doğal sayılarının 1’den başka ortak çarpanı yoktur. 9 ile 14 çarpanı aralarında asaldır.

D4: Aralarında Asal Sayıların E.B.O.B.`unu Bulma Örnek : 25 ile 49 sayılarının E.B.O.B’ unu bulunuz ? * 25 ile 49 sayıları aralarında asaldır. 12 35 2 6 35 2 3 35 3 1 35 5 1 7 7 1 1 ( 12 , 35 )EBOB= 1

D5: Aralarında Asal Sayıların E.K.O.K`unu Bulma Örnek : 16 ve 5 sayılarının E.K.O.K’ unu bulunuz. 16 5 2 8 5 2 4 5 2 2 5 2 1 5 5 1 1 ( 16, 5 )EKOK= 24 x 5 =80 = 16 x 5 =80

Hedef 5 : E.K.O.K. ve E.B.O.B ile İlgili Problemler

D1: E.K.O.K yardımıyla çözülebilecek problemi çözebilme Örnek : Bir sandıktaki elmalar 5 er , 6şar, 7şer sayıldığında her seferinde 4 elma artıyor. Sandıkta kaç elma vardır ? Cevap: Sandıktaki elmaların sayısı; 5, 6 ve 7’nin E.K.O.K.’unun 4 fazlasına eşit olur. 5, 6, 7 aralarında asal sayı olduklarından ( 5, 6, 7 )EKOK = 5 x 6 x 7 = 210 210 + 4 = 214 elma vardır.

D2: E.B.O.B. yardımıyla çözülebilecek problemi çözebilme Örnek : 12m, 18m ve 42m’lik 3 tel eşit uzunlukta en büyük parçalara ayrılmak isteniyor. Her parçanın uzunluğu kaç metredir ? Cevap: İstenilen parçaların her biri 12, 18 ve 42m’nin E.B.O.B.’u olmalıdır. 12 18 42 2 6 9 21 2 3 9 21 3 1 3 7 3 1 7 7 1 (12, 18, 42 )EBOB = 2 x 3 = 6

İZLEME TESTİ

Soru 1 : 369 sayısının 2 ile bölümünden kalan nedir ? C) 2 D) 1 Çözüm : 369 = (2 x 184) + 1 görüldüğü gibi CEVAP: D

Soru 2 : 31a sayısının 5`e kalansız bölünebilmesi için a ne olabilir ? C) 4 D) 8 Çözüm : a = { 0, 5 } olabilir CEVAP: B

Soru 3 : 175 sayısı 3`e bölümünden kalan kaçtır ? C) 2 D) 0 Çözüm : Rakamları toplamı 1 + 7 + 5 = 13 13 = (4 x 3) + 1 Cevap : B

Soru 4 : 37a sayısı 9 a tam olarak bölünebilmesi için birler basamağındaki sayı kaç olmalıdır ? A) 3 B) 7 C) 8 D) 9 Çözüm : 3 + 7 + a = 9 ve 9 un katları olmak zorundadır. a: 8 olur Cevap : C

Soru 5 : 52 x n sayısının bir doğal sayının karesi olması için n en az kaç olmalıdır ? A) 16 B) 15 C) 14 D) 13 Çözüm : 52 = 22 x 13 tür o halde en az 13 olur. Cevap : D

Soru 6 : 60, 72 ve 90 sayısının E.B.O.B.’u kaçtır ? A) 6 B) 4 C) 2 D) 8 60 72 90 2 30 36 45 2 15 18 45 2 15 9 45 3 5 3 15 3 1 1 5 5 1 (60, 72, 90 )EBOB = 2 x 3 = 6 olur. Cevap : A

Soru 7 : 8 ve 13 sayılarının E.B.O.B.’u kaçtır ? A) 32 B) 16 C) 8 D) 1 8 13 2 4 13 2 2 13 2 1 13 13 1 ( 8, 13 )EBOB= 1 Cevap : D

Soru 8 : Bir sınıftaki öğrenciler 3 er, 4 er, 5 er kişilik sıra yapıldığında her seferinde iki öğrenci kalıyor. Sınıfta en az kaç öğrenci vardır ? A) 62 B) 60 C) 68 D) 61 Çözüm : 3 = 3 x 1 4 = 2 x 2 5 = 5 x 1 ( 3; 4; 5)EKOK=22 x 5 x 3 = 60  60 + 2 = 62 Cevap : A

Soru 9 :. 28 ve 42 litrelik iki kap zeytin yağı ile doludur Soru 9 : 28 ve 42 litrelik iki kap zeytin yağı ile doludur. Bu yağları, eşit hacimli en büyük kaplara boşaltmak istiyoruz. Boşaltımın tamamlanması için kaç tane kaba ihtiyaç vardır ? A) 12 B) 14 C) 16 D) 18

Çözüm : 28 2 14 2 7 7 1 42 2 21 3 7 7 1 28 = 2 x 2 x 7 42 = 2 x 3 x 7 { 28, 42 } EBOB = 2 x 7 = 14 o halde kapların her biri 14 litrelik olmalıdır. Cevap : C

Soru 10 : Bir öğretmen sınıfını 6şar, 9 ar ve 12 şer kişilik gruplara ayırdığında, her seferinde 4 öğrenci artıyor. Bu sınıfta kaç öğrenci vardır? A)36 B) 37 C) 40 D) 41

Çözüm : 6 9 12 2 3 9 6 2 3 9 3 3 1 3 1 3 1 (6; 9; 12 )EKOK = 2 x 2 x 3 x 3 = 36 sınıftaki öğrenci sayısı 36 + 4 = 40 kişi CEVAP : C

SORU 11: Dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin çevresi 240m dir SORU 11: Dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin çevresi 240m dir. Boyu eninin 3 katı olan bu bahçenin etrafına ağaç dikilecektir. Ağaçların arasının mümkün olan en büyük ölçüde olması için, iki ağaç arası kaç m olmalıdır? A) 30 B) 35 C) 40 D) 45

ÇÖZÜM Dikdörtgenin eni x ise boyu 3x olur. 3X X X 3X 240 = 8x  x = 30m (eni) 3x = 90m (boyu) X X 3X

iki ağaç arası en fazla 30 m olur. CEVAP:A ( 30,90 )EBOB = 2 x 3 x 5 = 30 iki ağaç arası en fazla 30 m olur. CEVAP:A

DEĞERLENDİRME TESTİ

1-) Aşağıdakilerden hangisi 2 ile bölünemez ? A) 18 B) 34 C) 45 D) 66 2-) Aşağıdakilerden sayılardan hangisi hem 2 hem de 3 ile tam bölünebilir ? A) 82 B) 99 C) 104 D) 702

3-) 9 ile bölünebilen 3 basamaklı en büyük sayı ile iki basamaklı en büyük sayının farkı kaçtır? A) 1 B) 9 C) 90 D) 900 4-) Aşağıdaki sayılardan hangisi asal sayıdır? A) 14 B) 23 C) 27 D) 70

5-) 23 x 5 x 7 şeklinde asal çarpanlarına ayrılan doğal sayı kaçtır? A) 175 B) 210 C) 280 D) 300 6-) Bir torbadaki cevizler 8er, 9ar ve 10ar sayıldığında her seferinde 6 ceviz artıyor. Bu torbada en az kaç ceviz vardır? A) 366 B) 504 C) 604 D) 326

7-) En küçük asal sayı aşağıdakilerden hangisidir ? A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 8-) Aşağıdakilerden hangisi 9 ile tam bölünebilir ? A) 6207 B) 7623 C) 20485 D) 41568

9-). 30, 45, 75 litrelik üç fıçı sirke ile doludur 9-) 30, 45, 75 litrelik üç fıçı sirke ile doludur. Bu sirkeler, aynı hacimdeki daha küçük kaplara boşaltılmak isteniyor. Bu kapların sayısının en az olması için her biri kaç lt sirke almalıdır? A) 25 B) 12 C) 15 D) 18 10-) 24 metre ve 30 metrelik iki top kumaş, en büyük uzunlukta eşit parçalara ayrılacaktır. Parçalardan her biri kaçar metre olmalıdır? A) 2 B) 3 C) 6 D) 8

11-) 18, 20, ve 30 dk’ lık aralarda çalan otomatik üç zil birlikte çaldıktan en az kaç dakika sonra yine birlikte çalarlar ? A) 90 B) 110 C) 120 D) 180 12-) 2a iki basamaklı doğal sayısının asal sayı olabilmesi için, a yerine yazılabilecek rakamların kümesi aşağıdakilerden hangisidir ? A) { 0,1,2 } B) { 1,2,3,5 } C) { 2,4 } D) { 3,9 }

13-) 10m, 12m, ve 20m boyundaki üç renk kurdeleyi en büyük ölçüde eşit parçalara ayırırsak her parça kaç m olur ? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5

14-) Bir sınıfta müzik kursuna katılan öğrenciler 4’er ve 5’er sayılınca her seferinde hiç öğrenci artmıyor. Kursa katılan öğrenci sayısı en az kaç kişidir ? A) 11 B) 19 C) 20 D) 25 15-) Aşağıdakilerden hangisi yanlıştır ? A) 36 = 22 x 32 B) 40 = 23 x 5 C) 54 = 22 x 33 D) 60 = 22 x 3 x 5

CEVAP ANAHTARI 1-) C 6-) A 11-) D 2-) D 7-) B 12-) D 3-) D 8-) C 13-) A 4-) B 9-) C 14-) C 5-) C 10-) C 15-) C

KAYNAKÇA Matematik Ders Kitabı.....Meral Aktaş......Pasifik yayınları İlköğretim Matematik Ders Kitabı 6.........Köksal Altıntaş…………MEB http://www.dolmat.com/6_sinif/6_sinif.htm http://www.odevci.com/odev/25224.6.sinif.matematik.sorulari.html Matematik Öğretimi Ders Kitabı

BENİ DİNLEDİĞİNİZ İÇİN TEŞEKKÜRLER.