Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş TBF 121 - Genel Matematik I DERS – 6 : Türev Hesabı ve Bazı Uygulamalar Marjinal Analiz Prof. Dr. Halil İbrahim Karakaş Başkent Üniversitesi

Türev. y = f(x) denklemi ile verilen f fonksiyonu ve bir a sayısı düşünelim. f nin a yı içine alan bir aralıkta tanımlı olduğunu kabul edelim ve bu aralıkta bir a+h sayısı alarak aşağıdaki oranı oluşturalım. f nin x = a civarındaki değişim oranı Bu oranı grafikle yorumlamaya çalışalım. y x Eğim: f(a+h) (a+h , f(a+h)) f(a) (a , f(a)) a a+h Yukarıdaki oran, f (x) in x = a dan x = a+h ye kadar ortalama değişim oranı (average rate of change) dır. Bu oran, aynı zamanda, (a , f(a)) ve (a+h , f(a+h)) noktalarını birleştiren doğrunun eğimidir.

Aynı şekil üzerinde gözlemlerimizi sürdürelim. x (a , f(a)) a (a+h , f(a+h)) a+h f(a) f(a+h) Eğim: h sıfıra yaklaşırken, yeşil doğru değişerek teğet durumuna gelir. ile tanımlanan f '(a) değerine(limit varsa) f fonksiyonunun x = a daki türevi (derivative of f at x = a ) denir. f '(a) değeri f fonksiyonunun x = a daki anlık değişim oranını (instantaneous rate of change) verir.

Daha önceki şeklimize tekrar bakalım. y x (a , f(a)) a (a+h , f(a+h)) a+h f(a) f(a+h) Eğim: h sıfıra yaklaşırken, yeşil doğru değişerek teğet durumuna gelir. Başka bir deyimle, f '(a) değeri y = f (x) in grafiğinin (a,f (a)) noktasındaki teğetinin eğimidir. Böylece, y = f (x) in grafiğinin (a,f (a)) noktasındaki teğetinin denklemi y = f '(a) (x - a) + f (a) olur.

Örnek. f (x) = x2 + 2 , f '(1) = ? Böylece, y = x2 + 2 nin grafiğinin (1,f (1)) = (1,3) noktasındaki teğetinin denklemi y = 2 (x - 1) + 3  y = 2 x + 1 olur. Her hangi bir f fonksiyonu için ile tanımlanan f ' fonksiyonuna f fonksiyonunun türevi denir. Örneğimizde

Örnek. f (x) = |x + 2| , f '(1) = ? , f ´(-2) = ? Örnek. , f '(1) = ? , f ´(-2) = ? YOK!..

Örnek. f (x) = c , f '(x) = ? Örnek. , f ´(1) = ? , f '(x) = ?

Örnek. f (x) = x3 , f '(x) = ? Bir f fonksiyonu için f nin x teki türevi varsa f fonksiyonu x’ te türevlenebilir (differentiable) denir. f fonksiyonunun türevini hesaplama işlemine türev alma (differentiation) denir. f fonksiyonunun türevini hesaplama eylemine türev almak (to differentiate) denir.

Türev kavramının somut bir uygulaması: Örnek. Çocuk bisikleti üreten bir şirketin x adet bisiklet üretmek için toplam gideri olarak veriliyor. Para birimi TL dir. a) Üretilen bisiklet sayısı 400 den 500 e yükseldiğinde giderdeki değişim nedir? b) Üretilen bisiklet sayısının bu değişimi için giderdeki ortalama değişim oranı nedir? c) 500 bisiklet üretildiği anda giderdeki anlık değişim oranı nedir? Bu soruları sırasıyla şöyle yanıtlayabiliriz: a) TL dir. b) TL dir. c) TL dir.

Türev Hesabı. Herhangi bir f fonksiyonunun x teki türevinin olduğunu anımsayalım. y = f (x) denklemi ile tanımlanmış bir f fonksiyonu için f ´(x) yerine aşağıdaki gösterimler de kullanılır: Sabit Fonksiyonun Türevi. f(x) = c , c sabit. f '(x) = ? Diğer gösterimle, Böylece, türev hesabında kolaylık sağlayacak bir kural elde etmiş olduk. İzleyen sılaytlarda, tanım kullanılarak elde edilebilecek benzer kuralları listeleyeceğiz:

Kuvvet Fonksiyonunun Türevi. f(x) = xn , n ℝ  f '(x) = n xn-1 Diğer gösterimle yazılırsa şu formül elde edilir: Örnek. f(x) = x5  f '(x) = 5 x4 ; Örnek. Örnek. Örnek. Bir Sabit ile bir Fonksiyonun Çarpımının Türevi. y = k . f(x)  y´ = k . f '(x) Diğer gösterimle yazılırsa şu formül elde edilir: Örnek. f(x) = 3x5  f '(x) = 3.5 x4 = 15 x4 , f(x) = 3x-2  f '(x) = 3.(-2 )x-3 = -6x-3. Örnek.

Toplam ve Farkın Türevi. y = u(x)  v(x)  y´ = u´(x)  v´(x) Diğer gösterimle yazılırsa şu formüller elde edilir: Örnek. f(x) = x5 + x-2  f '(x) = 5 x4 + (-2 )x-3 . Örnek. f(x) = x5 - x-2  f '(x) = 5 x4 - (-2 )x-3 = 5 x4 +2x-3 Toplam ve farkın türevi ile ilgili kuralların ikiden çok fonksiyonun toplam ve farkı için de geçerli olduğunu görmek kolaydır. Örnek. Diğer gösterimle

Elde edilen kuralları özetleyelim: ( n < 0 ise x  0.) Buraya kadar elde edilen kurallardan polinom fonksiyo- nunun türevini hesaplayabiliriz:

Türev ve Hız. y - ekseni üzerinde hareket eden bir nesnenin x anındaki yeri y = f(x) denklemi ile verilmişse, bu nesnenin x = a anından x = a +h anına kadar ortalama hızı ve x = a anındaki anlık hızı dır. Örnek. y - ekseni üzerinde hareket eden bir nesnenin x anındaki yeri y = f(x) = x3 - 6x2 + 9 olarak veriliyor. Aşağıdakileri bulunuz a) a) x = 2 den x = 5 e kadar geçen sürede ortalama hız b) f '(x) = 3x2 - 12x b) anlık hız fonksiyonu c) f '(2) = -12 ve f ´ (5) = 15 c) x = 2 ve x = 5’te (anlık) hız d) f '(x) = 0  x = 0 veya 4 d) hızın sıfır olduğu zamanlar.

Çarpımın Türevi. u ve v fonksiyonlar olmak üzere y = f(x) = u(x) · v(x) denklemi ile tanımlanan fonksiyonun türevi formülü ile bulunur. Bu formülün değişik yazılışları: Örnek. Örnek.

Örnek. Örnek. Örnek.

Bölümün Türevi. u ve v fonksiyonlar olmak üzere denklemi ile tanımlanan fonksiyonun türevi formülü ile bulunur. Bu formülün değişik yazılışları şöyledir: Örnek.

, Örnek. Örnek. Parçalı Tanımlı Fonksiyonların Türevleri. Örnek. Parçaların birleşim yerine karşılık gelen x = -1 ve x =1 için f '(-1) ve f '(1) tanım kullanılarak hesaplanır.

Yaklaşık Değerler. f fonksiyonunun (a , f(a)) noktasındaki teğetinin eğiminin f ´(a) ve teğetin denkleminin de y = f ´(a) (x – a) + f(a) olduğunu biliyoruz. a ya yakın bir a+h değeri için f (a+h) değerini düşünelim. (Şekil-den izleyiniz). Teğet üzerinde ap-sisi a+h olan noktanın ordinatı olan f ´(a) h + f(a) değeri f(a+h) için yaklaşık değer olarak alınabi-lir. y x (a , f(a)) a (a+h , f(a+h)) a+h f(a) f(a+h) (a+h, f ´(a) h + f(a)) f (a+h)  f ´(a) h + f(a) Örnek. Yukarıdaki fikir kullanılarak için bir yaklaşık değer bulunabilir. alınırsa, olur ve formülden elde edilir.

Örnek. sayısına bir yaklaşık değer bulalım. alınırsa, olur ve formülden elde edilir.

Marjinal Değerler. Şimdi ekonomide karşılaştığımız fonksiyonları ele alalım. Örneğin gider fonksiyonu M(x) . M(x) : x ürün için toplam gider M(x+1) – M(x) : x+1’inci ürün için yapılan gider Yukarıdaki yaklaşık değer formülünü M(x) için yazalım: M(a+h)  M'(a) h + M(a) Bu formülde a = x , h = 1 alınırsa M(x+1)  M'(x) + M(x) ya da M(x+1) - M(x)  M'(x) elde edilir. Buradan görüyoruz ki, x tane üründen sonra x+1’inci ürünü üretmek için yapılan gider yaklaşık olarak M'(x) tir. Bu nedenle M'(x) e marjinal gider (marginal cost) fonksiyonu denir. Marjinal gelir fonksiyonu ve Marjinal kâr fonksiyonu benzer biçimde tanımlanır.

Örnek. Çelik kapı üreten bir şirketin aylık toplam gideri x kapı için TL olarak veriliyor. a) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz. b) Ayda 30 kapı üretilirse toplam gider nedir? c) 31’inci kapının üretilmesi için yapılması gereken gideri yaklaşık olarak belirleyiniz ve gerçek değeri ile karşılaştırınız. Çözüm. TL TL TL TL TL

a) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz. Örnek. Bir şirket küçük çiftçiler için çapa makinesi üretiyor. x adet çapa üretmek için toplam gideri TL olarak veriliyor. a) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz. b) M'(50) değerini bulunuz ve yorumlayınız. c) 51’inci makinenin üretilmesi için yapılacak gerçek gideri bulunuz ve marjinal gider ile karşılaştırınız. Çözüm. 51’inci makinenin üretilmesi için yapılacak giderin yaklaşık değeri TL TL TL TL TL 50 ürün için marjinal gider olan 775 TL ile 51’inci ürün için gerçek gider olan 774.75 TL arasında 0.25 TL fark vardır.

Marjinal Analiz. Belli bir zaman aralığında üretilen ürün sayısı x ise Toplam Gider : M(x) , Marjinal Gider : M' (x) Toplam Gelir : G(x) , Marjinal Gelir : G´(x) Toplam Kâr : K(x) , Marjinal Kâr : K´(x) x ürün üretilince toplam gider : M(x) x+1 ürün üretilince toplam gider : M(x+1) x+1’inci ürünü üretmek için gerçek gider : M(x+1) -M(x) x+1’inci ürünü üretmek için yaklaşık gider : M'(x) M'(x)  M(x+1) - M(x) Benzer şekilde G´(x)  G(x+1) - G(x) K´(x)  K(x+1) - K(x)

Örnek. Özel olarak tasarlanmış bir MP-3 çalar p TL den satılması durumunda x adet talep görüyor ve x ile p arasında aşağıdaki bağıntı tespit ediliyor: a) Fiyatı gösteren p yi talep, yani x in fonksiyonu olarak ifade ediniz ve bu fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz. b) Gelir fonksiyonunu ifade ediniz ve bu fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz. c) 100 cihaz satılması durumunda marjinal geliri belirleyiniz ve bu değeri yorumlayınız. ç) 250 cihaz satılması durumunda marjinal geliri belirleyiniz ve bu değeri yorumlayınız. Çözüm. a) Dolayısıyla, fiyat fonksiyonu ve onun tanım kümesi şöyledir: b) Toplam gelir satılan ürün sayısı ile satış fiyatının çarpımıdır. Dolayısıyla, gelir fonksi-yonu biçiminde elde edilir.

c) Marjinal gelir fonksiyonu olur. Dolayısıyla, 100 cihaz satılması durumunda marjinal gelir TL olur. O halde, 101’inci cihazdan sağlanacak gelir yaklaşık olarak 205 TL olur. ç) 250 cihaz satılması durumunda marjinal gelir TL olur. O halde, 251’inci cihazdan sağlanacak gelir yaklaşık olarak 200 TL dir.

Örnek. x adet radyolu alarm saatinin satışından elde edilen kâr TL olarak veriliyor. a) 1501’inci saatin satışından elde edilecek gerçek kârı bulunuz. b) Marjinal kârı kullanarak 1501’inci saatin satışından sağlanacak kârı yaklaşık olarak belirleyiniz. c) 2001’inci saatin satışından elde edilecek gerçek kârı bulunuz. ç) Marjinal kârı kullanarak 2001’inci saatin satışından sağlanacak kârı yaklaşık olarak belirleyiniz Çözüm. a) 1501’inci saatin satışından elde edilecek gerçek kâr TL olur.

b) Marjinal kâr fonksiyonu ve 1501’ inci saatin satışından sağlanacak kârın yaklaşık değeri TL olur. c) 2001’inci saatin satışından elde edilecek gerçek kâr TL olur. Demek ki, 2001’inci saatin satışından zarar ediliyor, ancak bu zarar çok küçüktür. ç) 2001’inci saatin satışından elde edilecek gerçek kârın yaklaşık değeri TL olur.

Örnek. Bilgisayar masası üreten bir şirketin bir ayda tanesi p TL den x tane masa satılabi-leceğini varsayarak üretim yapması durumunda toplam gideri M(x)=12500+400x TL olarak veriliyor fiyat talep fonksiyonu da şöyle belirleniyor: a) Fiyatı gösteren p yi talep, yani x in fonksiyonu olarak ifade ediniz ve bu fonksiyonun tanım kümesini belirleyiniz. b) x tane masa satılması durumunda elde edilecek gelir G(x) i hesaplayınız. Gelir fonksiyonu G nin tanım kümesi nedir? c) x tane masa satılması durumunda elde edilecek kâr K(x) i hesaplayınız. Kâr fonksiyonu K nın tanım kümesi nedir? ç) Marjinal gider, marjinal gelir ve marjinal kâr fonksiyonlarını bulunuz. d) M ′(200), G ′(200), K ′(200) değerlerini bulunuz ve yorumlayınız. Çözüm. a) . Dolayısıyla, fiyat fonksi- yonu ve onun tanım kümesi şöyledir: p nin tanım kümesi (0,750) aralığıdır. Burada problemin doğası gereği x ve p ancak tamsayı değerler alabilir. b) Toplam gelir satılan ürün miktarı ile satış fiyatının çarpımıdır. Dolayısıyla, gelir fonksiyonu dir.

c) x tane masa satılması durumunda elde edilecek kâr dir. K nın da tanım kümesi (0,750) dir. ç) Marjinal gider, marjinal gelir ve marjinal kâr fonksiyonları denklemleri ile verilir. d) M′(200)=400, 201’inci masa için yapılacak yaklaşık gideri gösterir. Burada, gider fonk-siyonunun ifadesinden, her bir masa için sabit gider dışında 400 TL gider olduğu görül-mektedir. Dolayısıyla, 200 masa üretildikten sonra, 201’nci masa için yapılacak gerçek gider, 400 TL dir ve bu, ilk cümlede ifade edilen yaklaşık değer ile çakışmaktadır. G′(200)=1500-800=700, 201’inci masadan sağlanacak yaklaşık geliri gösterir. K′(200)=1100-800=300, 201’ inci masa dan elde edilecek yaklaşık kârı gösterir.

Uygulama(Üretim Stratejisi). Fiyat - Talep Denklemi ile ve gider fonksiyonu ile verildiğine göre a) p = p(x) in tanım kümesini bulunuz. b) Marjinal gider fonksiyonunu bulunuz. c) Gelir ve marjinal gelir fonksiyonlarını belirleyiniz, gelir fonksiyonunun grafiğini çiziniz. ç) Kâr ve marjinal kâr fonksiyonlarını belirleyiniz, kâr fonksiyonunun grafiğini çiziniz. d) Maksimum gelir, maksimum kâr hangi üretim seviyelerinde ortaya çıkar? e) 401’inci üründen sağlanacak kârın yaklaşık değerini bulunuz . Çözüm. c) Grafikleri diğer sayfada veriyoruz. ç) d) Diğer sayfada veriyoruz. e)

Maksimum kâr, 300 ürün üretilince, 400 birim para olarak gerçekleşir. x y (0,0) 1600 400 x y (0,0) 300 (300,400) y = G(x) 100 500 (0,-500) 800 (800,-2900) Maksimum gelir, 400 ürün üretilince, 1600 birim para olarak gerçekleşir. Maksimum kâr, 300 ürün üretilince, 400 birim para olarak gerçekleşir.

11’ inci ay boyunca satılan oyun sayısı yaklaşık 9375 adettir Örnek(Satış Analizi). Yeni üretilen bir bilgisayar oyunu t ayda 10 ayda satılan oyun sayısı 125000 adettir 11’ inci ay boyunca satılan oyun sayısı yaklaşık 9375 adettir bin adet satıyor. a) S´(t) yi bulunuz. b) S(10) ve S´(10) değerlerini bulunuz ve yorumlayınız. c) S´(10) u kullanarak 11’inci ayın sonunda yapılacak satışı tahmin ediniz. ç) S nin grafiğini çiziniz ve yorumlayınız. Çözüm. a) b) c) 11’inci ayın sonunda, yaklaşık bin (yani134375) adet oyun satılır. Gerçek değer S(11) = 136.585

S fonksiyonunun tanım kümesi (0, ) aralığıdır. olduğundan, y=500 doğrusu yatay asimptottur. t (0,0) y 500 Grafikten görüldüğü üzere, satılan oyun sayısı her geçen ay artar. Ancak belli bir süre sonunda bu artış yavaşlar. Satılan oyun sayısı 500000 den az kalır. y=S(t)